复变函数积分方法总结(总13页).docx

精选优质文档-----倾情为你奉上复变函数积分方法总结[键入文档副标题]acer[选取日期] 复变函数积分方法总结 数学本就灵活多变，各类函数的排列组合会衍生多式多样的函数新形势，同时也具有本来原函数的性质，也会有多类型的可积函数类型，也就会有相应的积分函数求解方法就复变函数： z=x+iy i=-1 ，x,y分别称为z的实部和虚部，记作x=Re(z),y=Im(z) arg z=θ₁ θ₁称为主值 -π＜θ₁≤π ，Arg=argz+2kπ 利用直角坐标和极坐标的关系式x=rcosθ ，y=rsinθ,故z= rcosθ+i rsinθ；利用欧拉公式eiθ=cosθ+isinθz=reiθ1.定义法求积分： 定义：设函数w=f(z)定义在区域D内，C为区域D内起点为A终点为B的一条光滑的有向曲线，把曲线C任意分成n个弧段，设分点为A=z0 ，z1，…，zk-1，zk，…，zn=B，在每个弧段zk-1 zk(k=1,2…n)上任取一点xk并作和式Sn=k-1nf(xk)(zk-zk-1)= k-1nf(xk)∆zk记∆zk= zk- zk-1，弧段zk-1 zk的长度 δ=max1≤k≤n{∆Sk}(k=1,2…,n),当 δ→0时，不论对c的分发即xk的取法如何，Sn有唯一的极限，则称该极限值为函数f(z)沿曲线C的积分为： cf(z)dz=limδ 0k-1nf(xk)∆zk设C负方向(即B到A的积分记作) c-f(z)dz.当C为闭曲线时，f(z)的积分记作cf(z)dz (C圆周正方向为逆时针方向)例题：计算积分1)cdz 2) c2zdz,其中C表示a到b的任一曲线。

1） 解：当C为闭合曲线时，cdz=0. ∵f(z)=1 Sn=k-1nf(xk)(zk-zk-1)=b-a ∴limn 0 Sn=b-a,即1)cdz=b-a. (2)当C为闭曲线时，cdz=0. f(z)=2z;沿C连续，则积分czdz存在，设xk=zk-1,则 ∑1= k-1nZ（k-1）(zk-zk-1)有可设xk=zk，则 ∑2= k-1nZ（k-1）(zk-zk-1)因为Sn的极限存在，且应与∑1及∑2极限相等所以 Sn= (∑1+∑2)= ∑k-1nzk(zk2-zk-12)=b2-a2 ∴ c2zdz=b2-a21.2 定义衍生1：参数法：f(z)=u(x,y)+iv(x,y), z=x+iy带入cf(z)dz得： cf(z)dz= cudx - vdy + icvdx + udy再设z(t)=x(t)+iy(t) (α≤t≤β) cf(z)dz=αβf(z(t))z(t)dt参数方程书写：z=z0+(z1-z0)t（0≤t≤1）；z=z0+reiθ，(0≤θ≤2π)例题1： 03+iz2dz 积分路线是原点到3+i的直线段解：参数方程 z=（3+i）t 03+iz2dz=01[(3+i)t]2[(3+i)t]dt =(3+i)301t2dt =6+263i例题2： 沿曲线y=x2计算01+i（x2+iy）dz解： 参数方程 x=ty=t2 或z=t+it2 (0≤t≤1)01+ix2+iydz=01（t2+it2）(1+2it)dt =(1+i)[01t2dtdt + 2i01t3dt] =-16+56i1.3定义衍生2 重要积分结果：z=z0+ reiθ ，(0≤θ≤2π)由参数法可得：cdz(z-z0)n+1=02πireiθei（n+1）θrn+1dθ=irn01+ie-inθdθcdz(z-z0)n+1=2πi n=00 n≠0 例题1：z=1dzz-2 例题2：z=1dzz-12 解： =0 解 =2πi 2.柯西积分定理法： 2.1 柯西-古萨特定理：若f(z)dz在单连通区域B内解析，则对B内的任意一条封闭曲线有： cf(z)dz=02.2定理2：当f为单连通B内的解析函数是积分与路线无关，仅由积分路线的起点z0与终点z1来确定。

2.3闭路复合定理：设函数f(z)在单连通区域D内解析，C与C1是D内两条正向简单闭曲线，C1在C的内部，且以复合闭路Γ=C+C1所围成的多连通区域G全含于D则有：Γf(z)dz=cf(z)dz+c1f(z)dz=0即cf(z)dz=c1f(z)dz推论： cf(z)dz=k=1nckf(z)dz例题：c2z-1z2-zdz C为包含0和1的正向简单曲线解： 被积函数奇点z=0和z=1.在C内互不相交，互不包含的正向曲线c1和c2c2z-1z2-zdz=c12z-1z(1-z)dz+c22z-1z(1-z)dz =c11z-1+1zdz+c21z-1+1zdz =c11z-1dz+c11zdz+c21z-1dz+c21zdz =0+2πi+2πi+0 =4πi2.4原函数法(牛顿-莱布尼茨公式)：定理2.2可知，解析函数在单连通域B内沿简单曲线C的积分只与起点z0与终点z1有关，即 cf(x)dx = z0z1f(x)dx 这里的z1和z0积分的上下限当下限z0固定，让上限z1在B内变动，则积分z0z1f(x)dx在B内确定了一个单值函数F(z),即F(z)= z0z1f(x)dx 所以有 若f(z)在单连通区域B内解析，则函数F(z)必为B内的解析函数，且F(z) =f(z).根据定理2.2和2.4可得z0z1f(z)dz= F(z1) - F(z0).例题：求01zcoszdz解： 函数zcosz在全平面内解析 ∴01zcoszdz=zsinz|0i-01sinzdz = isin i+cosz|0i=isin i+cos i-1 =ie-1-12i+e-1+12i-1=e-1-1此方法计算复变函数的积分和计算微积分学中类似的方法，但是要注意复变适合此方法的条件。

2.5柯西积分公式法：设B为以单连通区域，z0位B中一点，如f(z)在B内解析，则函数f(z)z-z0在z0不解析，所以在B内沿围绕z0的闭曲线C的积分cf(z)z-z0dz一般不为零 取z0位中心，以δ>0为半径的正向圆周z-z0=δ位积分曲线cδ，由于f(z)的连续性，所以cf(z)z-z0dz=cδf(z)z-z0dz=2πif(z0)2.5.1定理：若f(z)在区域D内解析，C为D内任何一条正向简单闭曲线，它的内部完全含于D，z0为C内的任一点，有： f(z0)=12πif(z)z-z0dz例题：1）z=2sin zzdz 2）z=2z(9-z2)(z+i)dz 解：=2π isin z|z=0=0 解： =z=2z9-z2z-(-i)dz =2πiz9-z2|z=-i=π52.6解析函数的高阶导数： 解析函数的导数仍是解析函数，它的n阶导数为 f(n)(z0)=n!2πif(z)(z-z0)n+1dz(n=1,2…)其中C为f(z)的解析区域D内围绕z0的任一条正向简单闭曲线，而它的内部全含于D.例题：cezz5dz C:Z=1 解：由高阶导数的柯西积分公式： 原式=2πi∙14!(ez)(4)|z=π2 =πi123.解析函数与调和函数： 定义：（1）调和函数：如果二元实函数φ(x,y)在区域D内具有二阶连续函数，且满足拉普拉斯方程：∂2φ∂x2+∂2φ∂y2=0，则称φ(x,y)为区域D内的调和函数。

若f(z)=u+iv为解析函数，则u和v都是调和函数，反之不一定正确（2）共轭调和函数:u(x，y)为区域内给定的调和函数，我们把是 u+iv在D内构成解析函数的调和函数v(x,y)称为u(x,y)的共轭调和函数若v是u的共轭调和函数，则-u是v的共轭调和函数关系：任何在区域D内解析的函数，它的实部和虚部都是D内的调和函数；且虚部为实部的共轭调和函数3.1求解方法：（1）偏积分法：若已知实部u=u(x,y),利用C-R方程先求得v的偏导数∂u∂x=∂v∂y，两边对y积分得v=∂u∂xdy+g(x).再由∂u∂y=-∂v∂x又得∂∂x∂v∂xdy+g(x)=- ∂u ∂y 从而g(x)=[-∂u∂y-∂∂x∂u∂xdy]dx + C v=∂u∂xdy + [-∂u∂y-∂∂x∂u∂xdy]dx + C同理可由v(x,y)求u(x,y).3.2不定积分法：因为f(z)=Ux+i Vx= Ux-iUy= Vy+iVX所以f(z)=Uzdz+c f(z)=Vzdz+c3.3线积分法：若已知实部u=u(x,y),利用C-R方程可得的dv=∂v∂xdx+∂v∂ydy=-∂u∂ydx+∂u∂xdy 故虚部为v=（x0，y0，）（x，y）-∂u∂ydx+∂u∂xdy+C该积分与路径无关，可自选路径，同理已知v(x,y)也可求u(x,y). 例题：设u=x2-y2+xy为调和函数，试求其共轭函数v(x,y)级解析函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y) 解：利用C-R条件 ∂u∂x=2x+y ∂u∂y=-2y+x ∂2u∂x2=2 ∂2u∂y2=-2所以满足拉普拉斯方程，有∂v∂x=-∂u∂y=2y-x ∂v∂y=∂u∂x=2x+y所以v=(2y-x)dx+φ(y)=2xy- x22 +φ(y)∂v∂y=2x+φ(y)=2x+yφ(y)=y φ(y)=y22+cv(x,y)=2xy- x22+y22+cf(z)=u(x,y)+iv(x,y)=12(2-i)z2+iC4.留数求积分：留数定义：设z0为函数f(z)的一个孤立奇点，即f(z)在去心邻域、0

例如1z、e1z都是以z=0为孤立奇点函数1z+1（z+2）以z=-1、z=2为孤立奇点..........在孤立奇点z=z0的去心邻域内，函数fz可展开为洛朗级数 fz=n=-∞∞cn（z-z0）n洛朗级数中负幂项是否存在，若存在是有限项还是无限项，这对f(z)在z0处的奇异性将起着决定性的作用讨论孤立奇点z0的类型：4.2.1。