水资源规划和利用第九章.ppt

第九章第九章 水资源系统分析水资源系统分析 第一章第一章 目录目录第一节 水资源系统分析的基本概念第二节 水资源系统分析的模型与方法 第一节第一节 水资源系统分析的基本概念水资源系统分析的基本概念 系统分析： 从运筹学派生出来的一种实用的分析方法，用系统论的观点进行寻优决策，是运筹学在各个学科领域中的应用和发展 水资源系统分析： 是用系统分析的方法去解决水资源的规划、设计、运行、施工和管理等问题，并提出经济合理的有效方案 水资源系统通常是多目标、多层次的，由自然系统和人工系统组成的复合系统第一节第一节 水资源系统分析的基本概念水资源系统分析的基本概念 v水资源系统分析常用的数学方法：n回归分析和时间序列分析方法： 用于统计和预测系统的某些特征量n投入产出分析方法： 根据当地社会经济协调发展的需要，编制投入产出表，确定各部门发展的水平，提出相应的需水指标，为水资源规划提供决策依据n最优化方法： 在水资源规划和管理中通常用到线性规划、非线性规划、动态规划、网络理论、排队论、存储论和决策论等优化方法。

n模拟分析方法： 利用数学物理方法和统计技术对降雨、径流及各种需水等过程进行模拟计算第一节第一节 水资源系统分析的基本概念水资源系统分析的基本概念 v水资源系统分析的步骤：水资源系统分析的步骤：n问题的确定 明确研究的对象和问题，建立系统，确定问题的目标、约束条件、可控变量，以及有关技术经济参数，搜集有关资料；n建立数学模型 把问题中的可控变量、参数和目标与约束之间的关系用数学模型表示出来；n求解数学模型 选择适当的方法求解数学模型，其解可以是最优解、次优解、满意解；n模型的验证 首先检查求解步骤和程序有无错误，然后检查解是否反映实际问题；n灵敏度分析 研究模型中所含参数的变化范围及其对解的影响；n系统可行方案的综合评价 利用模型计算结果和各种分析资料，对比各种可行方案的利弊，从系统的整体观点出发，进行综合分析，选出满意的方案；n研究结果的实施 将所选方案、有关文件和软件交付实施单位，与决策实施人员密切合作，对可能出现的问题，及时进行调整和修改，以适应变化了的情况第二节第二节 水资源系统分析的模型与方法水资源系统分析的模型与方法 v线性规划线性规划n线性规划数学模型 （9－1） （9－2） （9－3）第二节第二节 水资源系统分析的模型与方法水资源系统分析的模型与方法 线性规划问题的标准型式： （9－1） （9－2） （9－3）第二节第二节 水资源系统分析的模型与方法水资源系统分析的模型与方法 n标准型式的转化：n目标函数为最小化，即minZ＝CX。

可令Z’=-Z，于是得到maxZ’＝-Z ，同标准型的目标函数的形式相一致n约束方程为不等式：n约束方程为“≤”不等式，则可在“≤”不等式的左端加入非负松弛变量，把原“≤”不等式变为等式；n约束方程为“≥”不等式，则可在“≥”不等式的左端减去一个非负剩余变量（也可称松弛变量），把不等式约束条件变为等式约束条件n对取值无约束的变量xk，可令xk =xk ′-xk〞，其中xk ′,xk〞 ≥0第二节第二节 水资源系统分析的模型与方法水资源系统分析的模型与方法 例9-1 将下述线性规划问题化为标准型 minZ=x1-x2+ x3解： 用x4－x5代替x3，其中x4、x5≥0； 在第一个约束不等式≤号的左端加入松弛变量x6； 在第二个约束不等式≥号的左端减去剩余变量x7； 令Z ’=-Z ，把求minZ改为求maxZ’；即得该问题的标准型第二节第二节 水资源系统分析的模型与方法水资源系统分析的模型与方法 n线性规划的应用例9-2 生产计划问题 某工厂计划生产Ⅰ、Ⅱ两种产品，生产单位产品所需原材料消耗见表9－1该厂生产单位产品Ⅰ、Ⅱ可分别获利2元、3元，问应如何安排生产使该厂获利最多？表9－1ⅠⅡ资源限量原材料A128kg原材料B208kg原材料C026kg第二节第二节 水资源系统分析的模型与方法水资源系统分析的模型与方法 解 : 目标函数 maxZ＝2x1＋3x2约束条件 x1＋2x2≤8 2x1 ≤8 2x2≤6 x1，x2≥0第二节第二节 水资源系统分析的模型与方法水资源系统分析的模型与方法 例9-3 水资源分配问题 有甲、乙两座水库同时向A、B二城市供水，甲、乙水库的日供水量分别为30万m3/d、32万m3/d，二城市的最小日需水量分别为25万m3/d和27万m3/d。

由于水库与各城市的距离以及输水方式上的差别，因此单位输水费用也不同各单位输水费用分别为C11，C12，C21，C22试作出在满足A、B二城市供水需求的情况下，输水费用最小的方案 第二节第二节 水资源系统分析的模型与方法水资源系统分析的模型与方法 解 : 设甲、乙水库向A、B二城市日供水量分别为x11，x12，x21，x22，则最佳方案为，在满足城市需水量和甲、乙两水库供水量约束的情况下，使输水费用为最小，即： 目标函数： 约束条件： 第二节第二节 水资源系统分析的模型与方法水资源系统分析的模型与方法 n线性规划的解法 可行解，最优解 线性规划的基本解法： 图解法和单纯形法两种 以例9-2说明线性规划的图解法图9-1图9-2第二节第二节 水资源系统分析的模型与方法水资源系统分析的模型与方法 线性规划求解结果有可能出现的几种情况：n无穷多最优解（图9－3）图9-3第二节第二节 水资源系统分析的模型与方法水资源系统分析的模型与方法 n无界解（图9-4）n无可行解 如果在例9-2的数学模型中增加一个约束条件－x1＋x2≥4，该问题的可行域为空集，即无可行解，故也不存在最优解。

图9-4第二节第二节 水资源系统分析的模型与方法水资源系统分析的模型与方法 v动态规划动态规划 动态规划用于研究一类多阶段决策过程问题的最优策略 动态规划是求解某些系统问题的一种方法，是考察问题的一种途径，而不是一种特殊算法 动态规划模型分类：Y离散确定性模型Y离散随机性模型Y连续确定性模型Y连续随机性模型n动态规划的基本概念n动态规划的基本原理： 作为整个过程的最优策略具有这样的性质：即无论过去的状态和决策如何，对前面的决策所形成的状态而言，余下的诸决策必须构成最优策略第二节第二节 水资源系统分析的模型与方法水资源系统分析的模型与方法 n多阶段决策寻优过程（图9－5）：图9-5第二节第二节 水资源系统分析的模型与方法水资源系统分析的模型与方法 n输水线路的选择问题 例9－4 某城市E从水库A引水，输水管道要经过B、C、D三个地区每个地区管线的通过点各有若干比较方案，见图9－6图中标在连线上的数字为该段的建设费用求总费用最小的输水方案图9-5第二节第二节 水资源系统分析的模型与方法水资源系统分析的模型与方法 解 设N为阶段变量，N={1,2,3,4}。

S为状态变量，S={S1,S2,S3,S4,S5}，其中，S1={A}；S2={B1,B2}；S3={C1,C2,C3}；S4={D1,D2}；S5={E}dN为决策变量，fN(sN,dN)即第N阶段的管线方案；为第N阶段初始状态为SN，在决策dN下，到第4阶段末状态E的总费用 γN(sN,dN)为N阶段处于状态SN，采用决策dN的建设费用 dN(sN)为第N阶段在状态SN使fN(sN,dN)达到最小的决策fN(sN)为第N阶段初始状态为SN，与dN(sN)对应的fN(sN,dN)的最小值，即: 采用逆序法求解第二节第二节 水资源系统分析的模型与方法水资源系统分析的模型与方法 （1）N＝4时，由初状态D1或D2到终点E，只有一条路线，故f4(D1)=8，f4(D2)=4 相应地d4(D1)=E ,d4(D2)=E 2）N=3时，输水道可能通过的地点即初状态有C1、C2、C3如为C1 ，则可由D1或D2到达E 于是： 相应决策d3(C1)=D1或D2 同理从C2 ，C3到E的最优策略费用为 其相应决策为d3(C2)=D2 第二节第二节 水资源系统分析的模型与方法水资源系统分析的模型与方法 其相应决策为d3(C3)=D2 。

3）N=2时，类似可得：f2(B1)=19, d2(B1)=C2 ;f2(B2)=17, d2(B2)=C2 ;f2(B3)=13, d2(B3)=C2 4）N=1时，为水源处，只有起点A，故： 由此，可得从水源点到城市的最优输水路线是A→B3 → C2 →D2 →E ，最小费用为16第二节第二节 水资源系统分析的模型与方法水资源系统分析的模型与方法 上述计算过程可表示为： 第4阶段： （9－7） 第N阶段： (9－8) 式(9－8)表示N阶段与（N+1）阶段的递推关系，称为递推方程，是动态规划的基本方程第二节第二节 水资源系统分析的模型与方法水资源系统分析的模型与方法 n水资源最优分配问题 例9—5 研究一个地区水资源的最优分配问题其待分配流量为6m3/s，共有三个用水户，各用户的用水流量与相应的经济效益关系见表9—2求总效益最大的配水方案。

表9－2 (单位：万元)第二节第二节 水资源系统分析的模型与方法水资源系统分析的模型与方法 解：按用户1，2，3的次序排列，构成一个多阶段分配系统设状态变量为Qi，表示第i+1阶段待分配的流量；决策变量为qi，表示第i用户分配到的流量，fi(Qi-1)表示第i阶段至第3阶段当分配流量为Qi-1时的最优效益 目标函数： 约束条件： 采用逆序法求解，则动态规划的递推方程为 第二节第二节 水资源系统分析的模型与方法水资源系统分析的模型与方法 状态转移方程： 边界条件： n第3阶段计算 因为Q3=0，故f4(Q3)=0由状态转移方程Q3=Q2-q3 得Q2=q3，即前面各用户引水后剩余的流量Q2就是最后一个用户的引用水量q3，故得： 再根据表9－2中所列资料，可得用户3在不同的可用流量Q2条件下的最优引水流量q3及最优效益f3(Q2)，如表9-3所示第二节第二节 水资源系统分析的模型与方法水资源系统分析的模型与方法 表9－3n第2阶段计算在用户2，3间分配，递推方程为现以Q1=2为例，说明计算方法。

当Q1=2时，q2有0、1、2三种方案当q2=0时,Q2=Q1-q2=2 ，此时用户2的效益γ2(q2)=0，用户3的效益f3(Q2)=6 则用户2、3的总效益为： γ2(q2)+f3(Q2)=0+6=6同理，可得当q2=1、2时，用户2、3的总效益分别为7.5和6.5第二节第二节 水资源系统分析的模型与方法水资源系统分析的模型与方法 对q2=0、1、2等三种方案进行比较：相应的最优决策 当Q1取其它值时，同样计算，结果见表9－4表9－4第二节第二节 水资源系统分析的模型与方法水资源系统分析的模型与方法 n第1阶段计算 在用户1与(2，3)间分配，递推方程为： 计算结果见表9-5用户1的最优配水量q1*=2 q1*=2时，根据状态转移方程求出Q1=Q0-q1*=6-2=4 由表9-4得，Q1=4时,q2*=2 从而得到用户3的最优配水量q3*=Q2=Q0-q2*=2 最优总效益为18.5万元表 9－5第二节第二节 水资源系统分析的模型与方法水资源系统分析的模型与方法 v多目标规划多目标规划n多目标规划数学模型及解的概念 (9－9) （9-10） 式中，x=(x1, x2,…xn)T为决策变量向量；Z(x)为p个独立的目标Zj(x)(j=1,2…p)组成的目标。

通常多目标规划问题不能求出各个目标都为最优的解，只能在一定条件下得到各个目标的较优解，称为非劣解或有效解多目标规划问题的求解步骤为：n对目标进行量化,以便于目标和方案之间的比较，但不要求所有的目标都用相同的单位表示；n列出多目标规划数学模型，求出一组技术上有效、经济上可行的非劣规划方案；n由决策者和分析人员合作，对已求出的非劣规划方案进行比较和选择 第二节第二节 水资源系统分析的模型与方法水资源系统分析的模型与方法 n多目标规划的求解n权重法权重法 (9－11) (9－12) 该方法使用简单，但其缺点是：Z 难以确定加权系数WiZ 不能给出有效方案的整个集合，除非效用边界是严格凸的，即目标函数的生成可能性边界点集为严格凸集n约束法约束法 (9－13) (9－14) 第二节第二节 水资源系统分析的模型与方法水资源系统分析的模型与方法 n多目标规划方案的选择n优势法（控制法） 一个方案优于其它方案的条件是，其所有目标值均优于其它方案的目标值，且该方案至少有一个目标l的值是严格的优于其它方案的目标值。

(9－15) 且对于每一个k’≠k，至少存在一个l，使 (9－16) 则方案Xk’优于Xk ，称为控制方案一个方案优于所有其它方案并不常见但某些方案劣于其它方案却是经常发生的例如，两个比较方案k与h，对所有目标j，有 (9－17) 且对某些非目标l有 (9－18) 则方案控制了方案，进一步筛选时就可以淘汰方案第二节第二节 水资源系统分析的模型与方法水资源系统分析的模型与方法 n最小值筛选法（饱和法）n字典编辑法 上述三种方案选择方法比较简单在多目标规划中，也有些方法将方案的生成与选择综合在一起，如折衷规划法、目标规划法、步进法和代用价值权衡法等。

第二节第二节 水资源系统分析的模型与方法水资源系统分析的模型与方法 n目标规划法 目标规划的基本思路: 要求决策者事先规定每个目标希望达到的目标值，其目标函数是按各目标约束的正、负偏差变量和赋予相应的优先因子而构造的 目标函数的基本形式：n要求恰好达到目标值，即正、负偏差变量都要尽可能的小，此时 minminZ＝f（d＋＋d－）n要求不超过目标值，即允许达不到目标值，就是正偏差变量都要尽可能的小，此时 minminZ＝f（d＋）n要求超过目标值，即超过量不限，但必须是负偏差变量都要尽可能的小，此时 minminZ＝f（d－） 目标规划的约束条件:n分为绝对约束（硬约束）n目标约束（软约束）第二节第二节 水资源系统分析的模型与方法水资源系统分析的模型与方法 例9－6 某农场有农田1万亩，生产Ⅰ、Ⅱ两种作物，有关数据见表9－6决策者在化肥供应受严格限制的基础上考虑：首先是作物Ⅱ的产量不低于作物Ⅰ的产量；其次是充分利用现有地下水资源，不超采；再次是总收益不小于900万元试就该作物种植面积决策问题建立数学模型 表9－6ⅠⅡ拥有量化肥 kg100110105×104地下水 m3150200170×104收益 元/ 亩8001000第二节第二节 水资源系统分析的模型与方法水资源系统分析的模型与方法 解 设x1、x2分别表示作物Ⅰ、Ⅱ种植亩数，根据决策者要求，分别赋予这三个目标P1，P2，P3优先因子，建立该问题的目标规划数学模型：第二节第二节 水资源系统分析的模型与方法水资源系统分析的模型与方法 目标规划的一般模型为： （9－19） (9－20) 第二节第二节 水资源系统分析的模型与方法水资源系统分析的模型与方法v随机规划随机规划n随机动态规划 随机动态规划的状态同系统输入的随机变量有关，所以其阶段效益和状态转移方程都是随机的，可分别表示为该阶段初始状态、所采取的决策以及输入的随机变量的函数： （9－21） （9－22） 设第i阶段输入的随机变量的概率为pi(ki)，则该阶段效益的期望值为： （9－23） 系统期望总效益等于各阶段期望效益之和，即： （9－24） 第二节第二节 水资源系统分析的模型与方法水资源系统分析的模型与方法 根据动态规划的最优性原理，应用逆序法可写出第i阶段的递推方程： (9－25) 如果各随机变量是相互独立的，则上述随机动态规划具有独立概率分布，可用(9－25)式求解。

如果各随机变量不是独立的，则问题将复杂一些n随机线性规划n概率目标规划概率目标规划 概率目标线性规划指其目标函数中的系数是随机的，且概率分布已知，但约束条件是确定的可用的期望值E(ci)代替ci，其数学模型为：目标函数 (9－26)约束条件 (9－27)第二节第二节 水资源系统分析的模型与方法水资源系统分析的模型与方法例9－7 某水库向甲、乙、丙三个工厂供水，年可供水量为1000万甲、乙、丙三个工厂分别生产Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ产品，单位产品的净收益受市场等因数的影响，具有不确定性有关数据见表9-7问应如何分配水资源，使三个工厂的总效益为最大表9－7 计划供水量及经济效益指标工厂单位产品耗水量 m3单位产品净收益（元）p1=0.25p2=0.50p3=0.25甲22012010080乙280155130110丙260142125103第二节第二节 水资源系统分析的模型与方法水资源系统分析的模型与方法解：设X1 、X2 、 X3 分别为甲、乙、丙三个工厂计划生产的产品Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的产量，于是可建立随机线性规划模型： 目标函数: MaxE(Z)=(0.25×120+0.5×100+0.25×80) X1 +(0.25×155+0.5×130+0.25×110) X2 +(0.25×142+0.5×125+0.25×103) X3 约束条件: 220X1+280X2+260X3≤1000×104, X1 、X2 、 X3 ≥0 第二节第二节 水资源系统分析的模型与方法水资源系统分析的模型与方法n概率约束规划概率约束规划 如果线性随机规划问题的目标函数和约束条件都出现了随机性，则数学模型为： 目标函数 （9－28） 约束条件 （9－29）第二节第二节 水资源系统分析的模型与方法水资源系统分析的模型与方法 假设随机数bi的分布函数为Φi，其逆函数是Φi-1，则可将上述随机规划问题等价地转换为确定性的线性规划，然后用单纯形法求解: 目标函数: （9－30） 约束条件: （9－31）第九章第九章 结束束v主目录主目录。