高数下PDF大学课件Ch10-1第一类曲线积分.pdf

重积分重积分定积分概念的推广 定积分 定积分概念的推广 定积分y=f(x) 区间区间a,b 被积函数积分域计算 二重积分 被积函数积分域计算 二重积分z=f(x,y) 平面区域平面区域D化为二次定积分 三重积分 化为二次定积分 三重积分u=f(x,y,z) 空间区域空间区域化为三次定积分化为三次定积分 曲线积分曲线积分z=f(x,y) 平面弧段平面弧段L化为定积分化为定积分 u=f(x,y,z) 空间弧段空间弧段化为定积分 曲面积分 化为定积分 曲面积分 u=f(x,y,z)曲面片化为二重积分 进一步： 曲面片化为二重积分 进一步： 10.1 第一类(对弧长的)曲线积分第一类(对弧长的)曲线积分 第10章 曲线积分与曲面积分第10章 曲线积分与曲面积分 10.2 第一类(对面积的)曲面积分第一类(对面积的)曲面积分 10.3 第二类(对坐标的)曲线积分第二类(对坐标的)曲线积分 10.4 格林公式及其应用格林公式及其应用 10.5 第二类(对坐标的)曲面积分第二类(对坐标的)曲面积分 10.6 高斯公式 通量与散度高斯公式 通量与散度 10.7 斯托克斯公式 环量与旋度斯托克斯公式 环量与旋度 一、第一类曲线积分的概念 二、第一类曲线积分的计算及其应用 一、第一类曲线积分的概念 二、第一类曲线积分的计算及其应用 实例:实例:曲线形构件的质量曲线形构件的质量 O x y A B 1 n M i M 1 i M 2 M 1 M ),( ii L 分割分割, 121in sMMM ,),( iii s 取取.),( iiii sM 求和求和.),( 1 n i iii sM 取极限取极限 .),(lim 1 0 n i iii sM 近似值近似值 精确值精确值 1. 问题的提出问题的提出 近似代替近似代替 解解 ,max 21n sss 令令 一、第一类曲线积分的概念一、第一类曲线积分的概念 ( ) , ( , ), . xOy AB Lx y 设构件占有平面上一条曲线 弧线密度为质量 分布不均匀，求该构件的质量 设构件占有平面上一条曲线 弧线密度为质量 分布不均匀，求该构件的质量 2.定义定义 ox y A B 1 n M i M 1 i M 2 M 1 M ),( ii L 121 1 ,( , ) ., .,(,) , (,), (,), n iii iii n iii i LxOyf x y LLMMML nis i fs fs 设为面内一条光滑曲线弧 函数 在上有界 用上的点把任意 分成个小段 设第 个小段的长度为又 为第 个小段上任意取定的一点 作乘积 并作和 设为面内一条光滑曲线弧 函数 在上有界 用上的点把任意 分成个小段 设第 个小段的长度为又 为第 个小段上任意取定的一点 作乘积 并作和 0 1 lim(,)( , ) (). n iii i fsf x y L 若存在，则此极限值称为 在上的第一类曲线积分 也称对弧长的曲线积分 若存在，则此极限值称为 在上的第一类曲线积分 也称对弧长的曲线积分 n i iii L L sfdsyxf dsyxf 1 0 ),(lim),( ,),(: 即记作即记作 被积函数被积函数 积分弧段积分弧段 积分和式积分和式 曲线形构件的质量曲线形构件的质量.),( L dsyxM 3.存在条件存在条件 ( ,), ( , ). L f x yL f x y ds 当在光滑曲线弧上连续时 对弧长的曲线积分存在 当在光滑曲线弧上连续时 对弧长的曲线积分存在 注 弧长元素 记为为闭曲线时若 弧长元素 记为为闭曲线时若 0)2( ),(,)1( ds dsyxfL L 4.推广推广 0 1 ( , , )lim(,). n iiii i f x y z dsfs ( , , )f x y z 函数在空间曲线弧上 对弧长的曲线积分为 函数在空间曲线弧上 对弧长的曲线积分为 (1)( , )( , )( , )( , ). LLL f x yg x y dsf x y dsg x y ds .),(),(),()2( 21 LLL dsyxfdsyxfdsyxf).( 21 LLL L sds.)4( 5.性质性质 ()L在 分段光滑的情形使用在 分段光滑的情形使用 (3)( , )( , )( , )( , ). ( , )( , ). LL LL Lf x yg x yf x y dsg x y ds f x y dsf x y ds 设在 上，则 特别地， 设在 上，则 特别地， 二、第一类曲线积分的计算及其应用二、第一类曲线积分的计算及其应用 定理定理 22 22 ( , ), ( ), (), ( ), ( ),( ) ,( )( )0, ( , ) ( ),( )( )( ) () L f x yL xt Lt yt ttCtt f x y dsftttt dt 设在曲线弧上有定义且连续 的参数方程为其中 且则 设在曲线弧上有定义且连续 的参数方程为其中 且则 1 0 1 00 1 22 , 0,(), ,(,) ( , )lim(,) lim (), () ( ), ( ) ( )( )( )( iiiiiii n iii L i n L iii i t AMsL AsBsL LAB MssMMss f x y dsfs f x sy ssf x sy s ds ss tttdtds 取弧长为曲线 的参数 则点 对应点 对应于为弧的全长 点对应于并令弧上的一点对应 令 取弧长为曲线 的参数 则点 对应点 对应于为弧的全长 点对应于并令弧上的一点对应 令 22 22 0 ( )( ) ( ( ), ( ) ( ),( ) ( ) ( ) L ttdt f x sy s dsftttt dt 证明证明 注 0, . ii st 表示弧长，总是正的，从而要求 表示弧长，总是正的，从而要求 22 1.( , ), , ( ),( )( )( ). L f x y dsx y ds ttttdt 计算，只要把依次换成 ，再从到积分 计算，只要把依次换成 ，再从到积分 2. 定积分的下限一定要小于上限定积分的下限一定要小于上限 3.奇偶性奇偶性 . 平面曲线积分参照二重积分情况， 空间曲线积分参照三重积分情况 平面曲线积分参照二重积分情况， 空间曲线积分参照三重积分情况 注特殊情形特殊情形 .)(:)1 (bxaxyL 2 ( , ) , ( ) 1( ). b La f x y dsf xxx dx )(ba .)(:)2(dycyxL 2 ( , ) ( ), 1( ). d Lc f x y dsfyyy dy )(dc 如果方程为极坐标形式如果方程为极坐标形式:),()(: rL则则 sin)(,cos)(fd)()( 22 推广推广:)().(),(),(: ttztytx 222 ( , , ) ( ),( ),( )( )( )( ) () f x y z ds ftttttt dt 例1 解 例1 解 222 (), ( )(0,0)(2,0); ( )(2,0)(2,3); (). L Ixy ds i L ii LAB iii LxyR 计算 是与之间的直线段 是与之间的直线段 是的上半圆周 计算 是与之间的直线段 是与之间的直线段 是的上半圆周 22 2 00 ( ):0,(02),0 ()12 L iL yxy xy dsxy dxxdx 33 2 00 ( ):2,(03),0 21 ()(2) 1(2) 2 L iiL xyx xy dsyx dyy dy 2 0 ():cos ,sin (0) ( )sin ,( )cos , ()(cossin )2. L iiiL xRt yRtt x tRt y tRt dsRdt xy dsRtRt RdtR 例2例2 计算曲线积分计算曲线积分其中为螺旋线 上的一段弧 其中为螺旋线 上的一段弧. 解解 222 () dxyzs 2 22222 0 dakak tt 22222 2 (34) 3 akak x y z O a k O x 222 2 :Lxya L1:y=0 y 1 2 3 :0(0),0, :cos ,sin (0), 4 :(02),1,2 Lyxaydsdx Lxat yattdsadt Lyxxaydsdx 例3 解 例3 解 22 222 ,:, . xy L eds L xyayxx 计算及 轴 在第一象限内所围成的扇形的整个边界 计算及 轴 在第一象限内所围成的扇形的整个边界 1 2 3 :0(0),0, :cos ,sin (0), 4 :(02),1,2 Lyxaydsdx Lxat yattdsadt Lyxxaydsdx 22 222222 123 xy L xyxyxy LLL eds edsedseds 2 4 22 000 2 2(1). 4 a a xax aa e dxe adtedx a ee 例4例4 计算计算其中其中L为双纽线为双纽线 222222 ()()(0)xyaxya 解解 在极坐标系下 它在第一象限部分为 在极坐标系下 它在第一象限部分为 ) 4 0(2cos: 1 arL 利用对称性,得利用对称性,得 4 0 22 d)()(cos4 rrr 42 0 4cos da y o x 练习练习 123 (0,3) 123 xyz tt 提示提示: 36 14 2 (), (1,2,3)(4,8,12). Ixy ds AB 计算其中 为连接 点与点的直线段 计算其中 为连接 点与点的直线段 *例例5 . 0 , , 2222 2 zyx azyx dsxI 为圆周其中 求 为圆周其中 求 解法一解法一 由对称性由对称性, 知知. 222 dszdsydsx () 222 1 3 Ixyzds 故故 2 3 a ds . 3 2 3 a )2(,ads 球面大圆周长球面大圆周长 解法二解法二 得代入将得代入将 2222 )(azyxzxy 1 ()(sincos ) 23 a yxztt 化为参数方程化为参数方程 222 dsxyz dt adt 2 cos , 3 1 sin(sincos ), 2223 xat xaa ztztt 2222 222 () 3 2(), 22 xxzza x xza 故故 222 3 2() : 2 2 0 x xza L xyz 2 222 0 3 2 cos 3 2 3 L x dsatadt a 对对弧长弧长的曲线积分的应用的曲线积分的应用 (4) ( , )( , ) ;. ( , )( , ) LL LL xx y dsyx y ds xy x y dsx y ds 曲线弧的质心坐标曲线弧的质心坐标 (2)( , )1. L x yLds 若，则弧长若，则弧长 (1)( , )( , ). L x yMx y ds 若表示曲线的线密度，若表示曲线的线密度， 22 (3) ( , );( , ). xy LL xy Iyx y dsIxx y ds 曲线弧对轴、 轴的转动惯量曲线弧对轴、 轴的转动惯量 计算半径为计算半径为R,中心角为中心角为2 的圆弧的圆弧L对于它的 对称轴的转动惯量 对于它的 对称轴的转动惯量I (设线密度设线密度 = 1). 解解 建立坐标系如图建立坐标系如图, Rx y o L 2 d L Iys 2222 sin(sin )(cos ) dRRR 32 sindR 3 0 sin2 2 24 R 3 (sincos)R - 则则 cos :() sin xR L yR 例6例6 思考与练习思考与练习 1. 已知椭圆已知椭圆 22 :1 43 xy L 周长为周长为a , 求求 22 (234)d L xyxys 提示:提示:2d0 L xys 原式原式 =d 22 12() 43 L xy s 12d L s 12a o22 y x 3 利用对称性利用对称性 2d L xy s 。