精品2000年全国普通高等学校招生统一考试上海数学试卷(文史类).pdf

2000 年全国普通高等学校招生统一考试上海数学试卷（文史类）考生注意：本试卷共有22 道试题，满分150 分一、填空题（本大题满分48 分）本大题共有12 题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4 分，否则一律得零分1已知向量12OA、mOB, 3，若ABOA，则m2函数xxy312log2的定义域为3圆锥曲线1916)1(22yx的焦点坐标是4计算：nnnn)2(lim5已知bxfx2)(的反函数为)(1xf，若)(1xfy的图象经过点)2,5(Q，则b6根据上海市人大十一届三次会议上的市政府工作报告，1999 年上海市完成GDP（GDP 是指国内生产总值） 4035 亿元， 2000 年上海市GDP 预期增长9%，市委、市府提出本市常住人口每年的自然增长率将控制在0.08%，若 GDP 与人口均按这样的速度增长，则要使本市年人均GDP 达到或超过1999 年的 2倍，至少需年按： 1999 年本市常住人口总数约1300 万）7命题A：底面为正三角形，且顶点在底面的射影为底面中心的三棱锥是正三棱锥，命题A 的等价命题 B 可以是：底面为正三角形，且的三棱锥是正三棱锥8设函数)(xfv是最小正周期为2 的偶函数，它在区间0，1上的图象为如图所示的线段AB ，则在区间 1， 2上，)(xf= 。

9在二项式11) 1(x的展开式中，系数是小的项的系数为 （结果用数值表示）10有红、黄、蓝三种颜色的旗帜各3 面，在每种颜色的3 面旗帜上分别标上号码1、2 和 3，现任取出 3 面，它们的颜色与号码不相同的概率是11图中阴影部分的点满足不等式组0,0625yxyxyx，在这些点中，使目标函数yxk86取得最大值的点的坐标是12 在等差数列na中，若0na， 则有等式),19(192121Nnnaaaaaann成立，类比上述性质，相应地：在等比数列nb中，若10b，则有等式成立二、选择题（本大题满分16 分）本大题共有4 题，每题都给出代号为A、B、C、D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4 分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分13函数)2,2)(2sin(xxy是（A）增函数（B）减函数（ C）偶函数（D）奇函数答（）14设有不同的直线a、b和不同的平面a、，给出下列三个命题：（1）若aa /，ab/，则ba /2）若aa /，/a，则/a3）若a，则/a其中正确的个数是（A）0 （B）1 （C）2 （ D） 3 答（）15若集合TSRxxyyTRxyySx则, 1|.3|2是（A）S（B）T（C）（D）有限集答（）16下列命题中正确的命题是（A）若点)0)(2,(aaaP为角a终边上一点，则552sin a。

B）同时满足23cos,21sinaa的角a有且只有一个C）当1| a时，)(arcsin atg的值恒正D）三角方程3)3(xtg的解集为Zkkxx,|三、解答题（本大题满分86 分）本大题共有6 题，解答下列各题必须写出必要的步骤17 （本题满分12 分）已知椭圆C 的焦点分别为)0 ,22(1F和)0 ,22(2F，长轴长为6，设直线2xy交椭圆 C 于 A、B 两点，求线段AB 的中点坐标解 18 （本题满分12 分）如图所示四面体ABCD 中， AB 、BC、 BD 两两互相垂直，且AB=BC=2 ，E 是 AC中点，异面直线AD 与 BE 所成的角的大小为1010arccos，求四面体ABCD 的体积解 19 （本题满分14 分）本题共有2 个小题，第1 个小题满分6 分，第 2 小题满分 8 分已知函数, 1,2)(2xxaxxxf1）当21a时，求函数)(xf的最小值2）若对任意, 1x，0)(xf恒成立，试求实数a的取值范围解（1）解（2）20 （本题满分14 分）本题共有2 个小题，第1 小题满分4 分，第 2 小题满分10 分根据指令),(r)180180,0(r，机器人在平面上能完成下列动作：先原地旋转角度（为正时， 按逆时针方向旋转，为负时， 按顺时针方向旋转） ，再朝其面对的方向沿直线行走距离r。

1）现机器人在直角坐标系的坐标原点，且面对x轴正方向， 试给机器人下一个指令，使其移动到点（4， 4） 2）机器人在完成该指令后，发现在点（17，0）处有一小球正向坐标原点作匀速直线滚动，已知小球滚动的速度为机器人直线行走速度的2 倍，若忽略机器人原地旋转所需的时间，问机器人最快可在何处截住小球？并给出机器人截住小球所需的指令（结果精确到小数点后两位）解（1）解（2）21 （本题满分16 分）本题共有3 个小题，第1 小题满分4 分，第 2 小题满分6 分，第 3 小题满分6分在 XOY平面上有一点列,),(,),(),(222111nnnbaPbaPbaP对每个自然数n，点nP位于函数)100()10(2000aayx的图象上，且点nP，点)0,(n与点)0, 1(n构成一个以nP为顶点的等腰三角形（1）求点nP的纵坐标nP的表达式；（2）若对每个自然数n，以nb，1nb，2nb为边长能构成一个三角形，求a的取值范围；（3）设)(1Nnbgcnn，若a取（ 2）中确定的范围内的最小整数，问数列nc前多少项的和最大？试说明理由解（1）解（2）解（3）22 （本题满分18 分）本题共有3 个小题，第1 小题满分5 分，第 2 小题满分5 分，第 3 小题满分8分。

已知复数yixzmmiz),0(10和，其中yxyx,均为实数，i为虚数单位，且对于任意复数z，有zzw0，|2|zw1）试求m的值，并分别写出x和y用x、y表示的关系式：（2）将（x、y）用为点P的坐标， (x、y)作为点Q的坐标，上述关系式可以看作是坐标平面上点的一个变换：它将平面上的点P变到这一平面上的点Q已知点P经该变换后得到的点Q的坐标为)2 ,3(，试求点P的坐标；（3）若直线kxy上的任一点经上述变换后得到的点仍在该直线上，试求k的值解（1）解（2）解（3）2000 年全国普通高等学校招生统一考试上海数学试卷（文史类）答案要点及评分标准说明1本解答列出试题的一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同，可参照角答中评分标准的精神进行评分2评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅，当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后不解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定反面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分3第 17 题至第22 题中左端所注的分数，表示考生正确做到这一步应得的该题的累加分数。

给分或扣分均以1分为单位解答一、 （第 1 题至第 12 题）每一题正确的给4 分，否则一律得零分14 2)3 ,21(3 （ 4， 0） ， （6，0）42e51 69 7侧棱相等 /侧棱与底面所成角相等/8x9 462 1014111 （0，5）12),17(172121Nnnbbbbbbnn二、 （第 13 题至第 16 题）每一题正确的给4 分题号13 14 15 16 代号C A A D 三、 （第 17 题至第 22 题）17解设椭圆 C 的方程为12222byax（ 2 分）由题意3a，22c，于是1b椭圆 C 的方程为1922yx（ 4 分）由19222yxxy得02736102xx因为该二次方程的判别0，所以直线与椭圆有两个不同交点 8 分）设),(),(2211yxByxA则51821xx，故线段 AB 的中点坐标为)51,59(（ 12 分）18解法一 如图建立空间直角坐标系，（ 2 分）由题意，有)0,2,0(A，)0,0 ,2(C，)0, 1 , 1(E设 D 点的坐标为),0, 0(z)0(z，则0. 1. 1BE，zAD, 2, 0（ 6 分）则2cos422zBEAD，且BEAD与所成的角的大小为1010arccos。

10142cos22z，得4z，故 BD 的长度是 4，（ 10 分）又BDBCABVABCD61，因此四面体ABCD 的体积是38，（ 12 分）解法二 过 A 引 BE 的平行线，交 CB 的延长线于F， DAF是异面直线BE 与 AD所成的角 DAF=1010arccos，（ 4 分）E 是 AC 的中点， B 是 CF 的中点，AF=2BE=226 分）又 BF，BA 分别是 DF，DA 的射影，且BF=BC=BA ，DF=DA （ 8 分）三角形 ADF 是等腰三角形，AD=BDBCABDAFAF61V20cos12ABCD故，（ 10 分）因此四面体ABCD 的体积是38（ 12 分）19解（1）当21a时，221)(xxxf，)(xf在区间 , 1上为增函数，（ 3 分）)(xf在区间 , 1上的最小值为27)1 (f（ 6 分）（2）解法一 在区间的 ,1上，02)(2xaxxxf的恒成立022axx恒成立，（ 8 分）设, 1 ,22xaxxy，1) 1(222axaxxy递增，当1x时，ay3min，（ 12 分）于是当且仅当03minay时，函数0)(xf恒成立，故3a（ 14 分）（2）解法二 , 1 .2)(xxaxxf，当0a时，函数)(xf的值恒为正，（ 8 分）当0a时，函数)(xf递增，故当1x时，03)(minaxf，（ 12 分）于是当且仅当03)(minaxf时，函数0)(xf恒成立，故3a（ 14 分）20解（1）24r，45，得指令为)45,24(，（ 4 分）（2）设机器人最快在点)0,(xP处截住小球（6 分）则因为小球速度是机器人速度的2 倍， 所以在相同时间内有,)40()4(2|17|22xx（ 8 分）即0161232xx得7323xx或。

要求机器人最快地去截住小球，即小球滚动距离最短，7x故机器人最快可在点)0,7(P处截住小球，（ 10 分）所给的指令为)13.98, 5(（ 14 分）21解（1）由题意，21nan，21)10(2000nnab（ 4 分）解（2）函数xay)10(2000递减，对每个自然数n，有nb1nb2nb，则以nb，1nb，2nb为边长能构成一个三角形的充要条件是2nb+1nbnb，即01)10()10(2aa，（ 7 分）解得) 15(5)51(5aa或，10) 15(5a（ 10 分）解（3）10) 15(5a，7a，21)107(2000nnb，（ 12 分）于是7.01)21(213)107(2000121gnggcnn, 数列nc是一个递减的等差数列因此，当且仅当0nc，且01nc时，数列nc的前n项的和最大由07 .01)21(213gngcn，得8 .20n，20n（ 16 分）22解（1）由题设，2|,|2|000zzzzzzw，于是由3,0,412mmm得且（ 3 分）因此由iyxyxyixiiyx)3(3)()31 (，yxyyxx33得关系式（ 5 分）解（2）由题意，有2333yxyx（ 7 分）41433yx解得，即 P点的坐标为)41,343(。

10 分）解（3）直线kxy上的任意点P),(yx，其经变换后的点)3,3(yxyxQ仍在该直线上，)3(3yxkyx，即xkyk)3() 13(（ 13 分）解法一 当0k时，0y，xy3不是同一条直线，0k，于是kkk3113，（ 16 分）即03232kk解得333kk或（ 18 分）解法二 取直线kxy上的点),1 ( k333,0323,3)13(2kkkkkkk或得即得（ 16 分）经检验，xyxy333或确实满足条件（ 18 分）。