构造法求数列通项.docx

构造法求数列通项对于数列通项公式的求解，除了我们已经学习过的方法以外，根 据数列递推公式的特点，还有以下几种构造方法．构造法1 —阶线性递推(形如an + ］二pan + q, p/0 ,其中a】二a型)⑴若p二1,数列｛an｝为等差数列;⑵若q二0,数列｛an｝为等比数列;(3)若p/1且qH0,数列｛an｝为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求．方法如■下 U jJt Qn-1 "TA ~P(£3n + Z),得乐十 1 =左馮 + @ _ i ”,乂巧亠]所以(p—iy=qt ElfJz=—(>7^1),L I o ] ”例' 1在数列｛an冲，^ a】二1,an+广2an + 3,求｛an啲通项公 式．解 ®+广2an + 3，®+i + 3二2(an + 3)，又a】 + 3二4,二数列｛an + 3｝是首项为4,公比q二2的等比数列， .•气 + 3 二牛2n -1二 2n + 1,.・.an 二 2n + 1-3.变式 若例1中“an+广2an + 3”变成“an +广2an + 3n”，其他 条件不变，求｛an｝的通项公式.解 Van + 1 = 2an + 3n，.•气 + ] +入・3n + 1二 2@ +入・3n),即 an + 1 - 2an -入・3n ,•.入二-1 ,即 an + 1 - 3n + 1二 2(an - 3n),又a1-3=-2,.｛an - 3n｝是首项为-2，公比q二2的等比数列， .an -3n 二-2・2n -1—-2n ,.an 二 3n - 2n.构造法2二阶线性递推(形如an + 1 — pan + qan-1,其中a1 — a,a2 = b 型)可以化为 an + 1 - x^n 二 x2(an - xlan _ 1)，其中 xl, x2是方程X2 - px -q二0的两个根，若1是方程的根，则直接构造数列｛an -an-1｝,若 1不是方程的根，则需要构造两个数列，采取消元的方法求数列｛an｝.例 2 (1)在数列｛an｝中，^ 二1，a2 二 3,an + 2 = 3an + 1 - 2an，则 an二 答案 2n-1解析 an + 2-an + 1 = 2(an + 1-an)，•.•a2-a广2「.｛an - an -』为首项为2，公比也为2的等比数列，an-an-1二2n-1(n>1),n〉1 时,an二(an -an-1) + (an-1- %-2)+…+ @-叩 + *1二2n-1 + 2n-2 + ... + 2 + 1二1-2 n1-2二2n-1.显然n二1时满足上式，.a n 二2n-1.⑵已知在数列｛an ｝中 ‘a】二5,a2二2,an二2an-1 + 3an-2( nn3), 求这个数列的通项公式．解 ®二2an-1 + 3an-2,•••an + an-1 = 3(an-1 + an-2)，又a1 + a2 = 7,｛an + an-J形成首项为7，公比为3的等比数列，则 an + an-1-7x3n-2，①又 an-3an-1=-(an-1-3an-2)，a2 - 3a1 =-13,｛an - 3an - J形成首项为-13，公比为-1的等 比数列，则 an-3an-1 = (-13)・(-1)n-2,②①x3 + ②得，4an 二 7x3n-1 +13・(-1)n-1 ,— 74x 3n -1 + 134( - 1)n -1.构造法 3砲如声产P%'型］倒数为特殊数列芝"坷+ J■|两边同时取倒数转化为丄=巴丄+匚的形」点化妇为乩1=曲+彳型，求出丄的表达式,Qn+1 P % P g 血例3 ⑴己知数列｛為｝中,_ 3■£j_n 亠］—.—,求数列｛岛｝的通项公式* ^+2解％尸為山勺I 1 12?即£lfl $ I 口”又如=1】则一=1・ai为首项*士为公差的等差数列•Ou Hl 上 忆⑵已蚓在数列｛%｝中，~2 j t7”_i = 打匚'N"）： 乂_ CJfp解 V—=3■-Gj□十 1 Qn是以｝为首项，3为公比前等比数列.-=3n_12PT。