抽象代数自选题.docx

自选题目：1、 设G是一个群，证明：(1)在G中，阶大于2的元素的个数一定是偶数；(2)在G中，阶等于2的元素的个数与G的阶有相反的奇偶性2、 证明：6 阶交换群是循环群3、 设N < G,且[G: N]= 2,证明 N G4、 设M, N是群G的正规子群，证明:：(1) MN = NM ；(2) MN是G的正规子群；(3) 若M c N = {e},那么MNN与M同构，且mn=nm, Vm g M,n g N.5、 设p是一个素数，G是p的方幕阶的群，试证G的非正规子群的个数一定的p的倍数6、 证明148阶群G不是单群7、 设p是素数，则P2阶群G是Abel群8、 设G是p2阶群，p，q为不同素数证明：G不是单群9、 设G，G分别为n，n阶循环群，证明：G G on |n .1 2 1 2 12 2 110、 若群中元素a的阶为m，元素b的阶为n，则当ab = ba且(m,n) = 1时，有|ab| = mn，即 |ab| = |a||b|.11、 设群中元素a的阶为n，证明[as] = ；；0；： o (s,n)=(t,n).12、 设H，G是群的两个正规子群，且二者的交为{e}，证明：H与G中的元素相乘时可 换.13、设H是包含在群G的中心内的一个子群，证明：当GH是循环群时，G是交换群.14、 证明：n > 3时n-2个3轮换(123),(124)(12n)是A的一组生成元。

n15、 证明：同构意义下，6阶群只有 与S .6 3 ...16、 设p为素数，证明：p2阶群G为Abel群.17、 若G是由a , b生成的群，且a2bab二e , |a|二3,|b|二4，证明：G为Abe I群18、 设f： GTH是群同态，若g是G的一个有限阶元试证：f(g)的阶整除g的阶19、 证明：任意一个群G,都不能被它的两个真子群覆盖20、 设皿< G , N< G若 M AN二{e}，证明：Va g M,b g N，有ab = ba.21、 设G是一个群，而u是G中任意一个固定的元素证明：G对新运算ab = aub也作 成一个群22、 证明：1)在一个有限群里,阶数大于2的元素的个数一定是偶数2)偶数阶群中阶等于2 的元素的个数一定是奇数23、 证明：交换群中所有有限阶元素作成一个子群对非交换群如何24、 设H, K分别是群G的两个m与n阶子群，证明：若(m,n) = 1,，则H c K = {e}.25、 设H是群G的—子群，a g G，证明：aHa-1 < G,且H仝aHa-126、 证明：若群G的n阶子群有且只有一个，则此子群必为G的正规子群27、 S =〈(12)(13)…,(1n)或S =((12)(23)…,(n- 1n):.28、 A = ： (rsk)1 < r,s,k < n,r,s,k互不相同：29、 令G是实数对(a,b), a工0的集合，在G上定义(a,b) (c,d) =(ac,ad+b),试证G是群。

30、 设 G 是一个群，a,be G,证明：（bab-1” 二bab-1 o ak = a.31、 证明：任何群都不能是两个真子群的并32、 试证A4没有6阶子群33、 设群G作用在集合工 上，令t表示工 在G上的作用下的轨道个数，对任意gw G, f （g）表示E 在g作用下的不动点个数试证：Y f （g） = t|GgwG34、 设m,n是大于1的奇数，（Z㊉Z ,+）是循环群mn35、 一个有限群的每个元素的阶都有限.36、 假如a和b是一个群G的两个元，并且ab=ba，又假定|a|二m，|b|二n，且（m,n）= 1. 证明：|a,b| = mn.37、 设 f 是群 G 到群 G'的同态，a,b w G 证明：f（a）= f（b）o akerf = bkerf .38、 设G是群，G'是交换群.f是G到G'的同态，且kef < N < G .证明：N < G .39、 设H是群G的子集•证明：若关于H的任意两个左陪集的乘积仍是一个左陪集，则 H < G.40、 设P是有限群G的一个sylow-p子群，又H < G，证明：若p不能整除D :H］， 则 P u H .41、 设 G 是群.G . < G , j = 1,2 . G = Gq 且 N V G .证明：GN = GyN x G -42、 证明6阶群必存在一个3阶子群。

43、举例说明若八 ■ E < = 不一定有U44、 彳 \ -壬，证明3 ：二 2 :门45、 匚二’亠''匚，证明「.⑺二匚：.彳〕''匚：.'=；46、 证明有限群G有唯一Sylow p-子群L的充要条件是-：匸47、 设--■ iL 3^ ：；若存在、「：:- t 1,使得心二弍-，则丄二i48、 设出雹，U，且廿、=三,是单位元，则对任何乞三辽 二三二有說==49、 证明交换群的商群是交换群50、 设是循环群，「是二与：的满同态，证明；也是循环群51、 证明交换群二中所有有限阶的元素构成二的一个子群52、 当匸工［时，试证n-2个3轮换；.二注；.二=；，…,C 堤九.的生成元53、 设二作用在集合工上，对任意「二三工，若存在二三I使得三七二二，则：二二二54、 设：「；=齐，其中口 2均为素数，=:■- ■-■--证明：二是循环群55、 设：-；：,：-；：是群，证明：二:—:七'■<56、 设m、n是大于1的奇数，（Z㊉Z，+）是循环群，证明（m，n） =1mn57、 证明：有理数加群Q与非零有理数乘群Q*不同构.+58、 设G作用在集合工 上，对任意a，b丘工，若存在g G工 使ga二b，Ga二g~lGbg。

换句话说，同一轨道中元素的固定子群彼此共轭59、 设P是一个素数，G是P的方幕阶的群试证G的非正规子群的个数一定是P的倍数60、 试证200阶群G —定含有一个正规的西罗子群61、证明；p2阶群必是交换群，其中P是一个素数62、凡 200 阶群都不是单群 63、指数为 2 的子群必是正规子群64、 设G是n阶群（P是素数），证明：若n