第七章 解析几何与微分几何 SECTION9.docx

§9 空间曲线曲线的基本概念与公式［曲线的方程与正向］曲线方程的形式曲线的正向交面式；F(x，y，z) = 0[①(x, y, z) = 0f X = x(t) [ X = x( s)参数式 < y = y(t)或 < y = y(s)[z = z (t) [ z = z (s)(t为任意参数，s为曲线的弧长) 矢量式r = r (t )或r = r (s )(r (t) = x (t) i + y (t)j + z (t)k, t, s 同上)t （或s）增加时，曲线上一点运动的 方向［活动标架的三个单位矢量］t为单位切线矢量，方向与曲线的正向一致；n为单位主法线矢量，它指向曲线的凹方；b为单位副法线矢量， b=txn.t,n,b构成右手系（图7.18）.这三个矢量称为 曲线在点M的活动标架（或叫动标三面形、伴随三 面形，也叫活动标形）.［活动标架所在直线和平面的方程］设 M为 （x0,y0,z0）（图 7.18）.1°切线 过曲线上两点N,M的直线NM,当Nt M时的极限位置.其方程为参数式 ——= ——人= ——（以 t为参数） xo yo z0式中X表示d X在点M（x0,y0,z0）处的值，等等.参数t可以取为弧长s,这时用X表示x'，等等.00矢量式r=r0+九r （以t为参数） 式中r表示—在点M（x0，y0，z0）处的值，九为另一个参数.X 一X0=y -y 0 =z —z0FFFFFFEy0z0z0x0x0y0交面式式中F表示竺在M点的值，等等.X0 Qx2°法面 与切线垂直的平面（通过M的法面上一切直线都称为曲线在M的法线）.其方程为参数式 X （x-x0）+ y （y-y0）+ z （z-z0）=0 （以 t 为参数）0 0 0 0 0 0 式中也可取弧长 s 为参数.矢量式 （r-r0） -r =0 （以t为参数）y - y z - z交面式0 0F F = 0①儿 ①0y0 y0 z03°密切面通过曲线上三点M,P,N作一平面，当N,P T M时，平面的极限位置（切线在密切面上）.其方程为参数式000xyz000xyz000x - x y - y z - z=0 （以t为参数）式中x表示d-x在M点的值，等等，参数t也可取为弧长s.0 dt 2矢量式（（r-r0） r r ）=0 （以t为参数）0 0 04° 主法线 法面与密切面的交线.其方程为参数式 x -x —0-=y -z -z —0-(以t为参数）yzzxxy000000mnnllm式中l=yzzxx y00,m=00x,n=0 0y0z0z00x y0 01 ［（以s为参数）x" y" z"0 0 0x"表示d-x在点M的值，等等.0 ds 2矢量式 r=r0+九r x （r xr ） （以t为参数）0 0 0 0r=r0+九r （以s为参数）式中九为另一个参数.5° 副法线 垂直于密切面的直线.其方程为 参数式x-x0 二 y - y 0 二 z-z0 （以 t 为参数） l m n式中 l,m,n 如（1）式定义.矢量式r0=r0+ x （r x r ） （以 t 为参数）0 0 0 06° 从切面 通过切线与副法线的平面.其方程为参数式矢量式x 一 xy-yz 一 z000xyz=0000/mnx0"(x- x0) + y0"(y - y0) + z0"(z - z0)二 0以 t 为参数）（以 s 为参数）((r - r )r (r x r ))二 0 (以 t 为参数)0 0 0 0(r - r ) - r " = 0 (以 s 为参数)00［曲率与挠率的定义与公式］公式与意义曲率k = limN T M曲率半径vtd t-MNd s1 P - kk表示包含点M的部分曲线偏 离直线的程度，也是切线方向对于 弧长的转动率k = limN tMVbd b—bMN—d s挠率半径1T =KK表示包含点M的部分曲线偏离平 面曲线的程度.K =0的曲线是平面曲 线.KI是曲线在点M挠率K的绝对 值，它等于副法线方向对于弧长的 转动率.挠率k的符号：当点M沿曲线的d bNMbMb正向移动时，矢量与n反向,则K取正号，反之取负号（图（b））(a)表中t:b分别表示t,对S的导数.［曲率与挠率的计算公式］1° 曲率参数式I Z • 、/■■ • • ・■、 / • • ・• • • • X.k= ：(X2 + y2 + Z2)(X2 + y2 + Z2)-(XX + 厂 + ZZ)2 (以 t 为参数)(x 2 + y 2 + z 2)3（以s为参数）矢量式i'r 2r2 -(rr)2 或 |r x r|以 t 为参数）以 s 为参数）2° 挠率的绝对值 参数式挠率矢量式Kl =Kl =式中s为弧长，t为任意参数,x y zx y zx y zk 2( x 2 + y 2 + z 2)3以 t 为参数）fffxyzffJffxyzfffffftffxyzff c ,x 2 +y 2+ z 2以 s 为参数）|(rr •)k 2 r 23或附6(r x r )2K | ="表示对s求导,以 t 为参数）（以 s 为参数） ” 表示对 t 求导.［雪列-弗莱纳公式（或基本公式）］d t n d n -1 b = , = + , d s p d s p t式中 t,n,b 为活动标架的三个基本单位矢量， p 为曲率半径， t 为挠率半径.这组公式的特点就 是基本矢量 t,n,b 关于弧长 s 的导数可以用 t,n,b 的线性组合来表达，它的系数组成一个反对称 方阵：这组公式与dr =t合并起来描述了点M在曲线上移动时活动标架的运动规律.ds把活动标架看作一个刚体，就是当M沿曲线移动时，M的活动标架好象刚体那样绕M转 动.这时把s看作时间，则根据运动学的原理可以得出活动标架的瞬时转动速度的表达式为①=Kt +Kb这表明转动矢量落在从法面上 .这个瞬时转动矢量称为达布矢量 .它仅分解为两个矢量 Kt 和K b，因此活动标架的瞬时转动可以看作两个转动之和.一个转动对应于K t,按转动速度的定义, 它绕着方向为K t的轴转动；另一个绕着方向为K b的轴转动.因此得到曲率与挠率的运动学意 义：曲线的曲率等于活动标架绕着副法线的转动支量，挠率等于绕着切线的转动支量. 最后，由①二Kt +Kb可以验证，空间曲线的雪列-弗莱纳公式就是dtdsdndsdbds=® x t=® x n=® x b这就是雪列-弗莱纳公式的运动学意义.［基本定理与自然方程］在一闭区间a < s < b上给定任意两个连续函数k（s）和k （s）,其中k(s)>0,则除了空间的位置差别外，唯一地存在一条空间曲线，它以s为弧长，可k(s)为曲率, K⑸为挠率.方程组k=k(s), K =K (s)称为空间曲线的自然方程.二、 螺旋线的方程与图形［一般螺旋线］ 与柱面母线的交角为定角@ )的空间曲线称为一般螺旋线(或定倾曲线).这种曲线具有性质：1°曲率与挠率的比等于常数(k= k tan a).2°切线与一固定方向的交角为定角(a).3° 主法线与一固定方向垂直.4°副法线与一固定方向的交角为定角(兀-a'12丿图 7.19［圆柱螺旋线］一动点绕一直线作等速转动，并沿这直线作等 速移动，则称这个动点的轨迹为圆柱螺旋线(图7.19),其参数方程 为x = a cos 0< y = a sin 0z = ±b0 = ± h 0 = 土a0 cot P 、 2兀式中0=®t，®为角速度，h称为螺距，P称为螺旋角，式中对右螺 旋线取正号，对左螺旋线取负号，如果以弧长s为参数，其方程为sx = a cos , r £a2 +b2bs图 7.20z = ± —曲率与挠率都是常数：k=±bk =—a 2 + b 2、：a 2 + b 2［圆锥螺旋线］ 与一圆锥面母线的交角为定角的曲线称为圆锥螺旋 线(图 7.20)，其方程为sinap = p exp0x=psina cos0 y=psina0sin0 z=pcosa0 0式中a为圆锥顶角的一半，p为螺旋角，p ,a , P都是常数.由于这种曲 0 0 0线投影到Oxy平面上是对数螺线，所以又称其为圆锥对数螺线.。