第23讲函数可积条件2009.doc

《数学分析 I》第 23 讲教案1第 23 讲 可积条件及可积函数类授课题目 可积条件及可积函数类教学内容 1. 函数可积的必要条件；2. 函数可积的第一、二充要条件； 3.可积函数类（最基本三种）；4. 黎曼（Rieman）函数的可积性.教学目的和要求通过本次课的教学，使学生能理解函数可积的必要条件，函数可积的第一、二充要条件，学会证明连续函数，只有有限多个间断点的函数和单调函数的可积性问题，了解黎曼（Rieman）函数的可积性的证明方法.教学重点及难点教学重点：函数可积的第一、二充要条件，可积函数类（三种） ；教学难点：函数可积的第一、二充要条件.教学方法及教材处理提示(1) 理解定积分的第一、二充要条件是本节的重点．(2 通过证明连续函数，只有有限多个间断点的函数和单调函数的可积性，强化学生对积分第一、二充要条件的理解和掌握.(3 关于黎曼（Rieman）函数的可积性的证明只作出一些提示，要求较好学生能理解，在习题课种再讨论.作业布置 作业内容：教材 :1，2，3，4.1P讲授内容一、可积的必要条件定理 9．2 若函数 在 上可积，则 在 上必定有界．fba,fba,证：用反证法．若 在 上无界，则对于 的任一分割 ，必存在属于 的某个小区间TT上无界．在 各个小区间 上任意取定 ，并记kkxf在, kiii.ikixfG现对任意大的正数 ，由于 在 上无界，故存在 ，使得Mfk k.kkGMf于是有 xkikikini xfxfxf 1由此可见，对于无论多小的 ，按上述方法选取点集 时，总能使积分和的绝对值大于任何预先给出的Ti正数，这与 在 上可积相矛盾． fba,例 1 （有界函数不一定可积）证明狄利克雷函数 ，在 上有界但不可积．xD,01为 无 理 数为 有 理 数 10，证：显然 ，对于 的任一分割 ，由有理数和无理数在实数中的稠密性，在属于.1,0xD， T《数学分析 I》第 23 讲教案2的任一小区间 上，当取 全为有理数时， ；当取 全为无理数时，Tii11niiniixDi．所以不论 多么小，只要点集 取法不同( 全取有理数或全取无理数)，积分和有不01inixDTi同极限，即 在 上不可积．由此可见，有界是可积的必要条件．以后讨论函数的可积性时，总是假1，设函数是有界的．二、可积的充要条件要判断一个函数是否可积，固然可以根据定义，直接考察积分和是否能无限接近某一常数，但由于积分和的复杂性和那个常数不易预知，因此这是极其困难的．下面即将给出的可积准则只与被积函数本身有关，而不涉及定积分的值．设 为对 的任一分割．由 在 上有界，它在每个 上存在上、下确界：niT,21ba,fba, i作和 分别称为 关于分割.,21,if,supnixmxfMii  ,,11ini nii xmTsxMTSf的上和与下和(或称达布上和 与达布下和，统称达布和)．任给 ，显然有T ,2,ii 与积分和相比较，达布和只与分割 有关，而与点集 无关．通过讨论上.1niiTSxfs Ti和与下和当 时的极限来揭示 在 上是否可积．所以，可积性理论总是从讨论上和与下和的性0fba,质入手的．定理 9．3 (可积准则) 函数 在 上可积的充要条件是：任给 ,总存在相应的一个分割 ，f, 0T使得 TsS设 称为 在 上的振幅，有必要时也记为 。

由于 S(iiimMfifi)－ (或记为 )，因此可积准则又可改述如下：sni1ixiTx定理 函数 在 上可积的充要条件是：任给 ，总存3.9fba, 0在相应的某一分割 ，使得 iTx几何意义是：若 在 上可积，则包围曲线 的一系列小矩f, yxf形面积之和可以达到任意小，只要分割充分地细；反之亦然．三、可积函数类根据可积的充要条件，我们证明下面一些类型的函数是可积的(即可积的充分条件) ．《数学分析 I》第 23 讲教案3定理 9．4 若 为 上的连续函数，则 在 上可积．fba, fba,证：由于 在闭区间 上连续，因此在 上一致连续．这就是说，任给 ，存在 0，对中任意两点 ，只要 ，便有 所以只要对 所作的分割ba,x`xabxffba,满足 ，在丁所属的任一小区间 上，就能使 的振幅满足TiabxffmMiii sup从而导致 ，由定理 ，证得 在 上可积．TiiTabx3.9fba,定理 9．5 若 是区间 上只有有限个间断点的有界函数，则 在 上可积． ，f, f,证：不失一般性，这里只证明 在 上仅有一个间断点的情形，并设该间断点即为端点 ．fba, b任给 ，取 ，满足 ，且 ，其中 与 分别为 在 上的上0mM20abMmfa,确界与下确界(设 ，否则 为常量函数，显然可积) ．记 在小区间 上的振幅为 ，mf fb, 则 ， 因为 在 上连续，由定理 9．4 知 在 上可2Mfba, fa,积．再由定理 9．3，(必要性 )，存在对 的某个分割 ，使得ba, 121,,nT 2iTx令 ，则 是对 的一个分割，对于 ，有 nnT,,121 ba,.iTiTx根据定理 9.3(充分性)，证得 在 上可积． fba,定理 9.6 若 是 上的单调函数，则 在 上可积．fba, f,证：设 为增函数，且 ，则 为常量函数，显然可积．对 的任一分,f若 f ba,割 ，由 的增性， 在 所属的每个小区间 上的振幅为TffTi,1iii xf于是有 Txffxni iiTi11.Tafb《数学分析 I》第 23 讲教案4由此可见，任给 ，只要 这时就有 所以 在 上可积．0,afbT,iTxfba,注意：单调函数即使有无限多个间断点，仍不失其可积性．例 2 试用两种方法证明函数 ,21 ,1 , 0 0nxnxf在区间 上可积．1,0证：[证法一]由于 是一增函数，虽然它在 上有无限多个间断f ,0点 但由定理 9.5，仍保证它在 上可积． ,32,nx 1[证法二](仅利用定理 9.3，和定理 9.5) 任给 ，由于0，因此当 充分大时 ，这说明 在 上只有有限01limn 21nf,2个间断点．利用定理 9．5 和定理 9．3，推知 在 上可积，且存在对 的某一分割 T，使得f1,1,22iTx在把小区间 与 合并,成为对 的一个分割 .由于 在 上的振幅 ，因此得到,0T1,0Tf2,010. 所以 在 上可积．  220iTiTxx f1,0例 3 证明黎曼函数 内 的 无 理 数以 及 互 素1,0, ,0,1xpqpqf在区间 上可积，且 1,010df分析：已知黎曼函数在 ，以及一切无理点处连续，而x，在 内的一切有理点处间断．证明它在 上可积的直观构思如下：, 1,0在黎曼函数的图象中画一条水平直线 ,在此直线上方只有函数图象中有限个点，这些点所对应的自变2y量可被含于属于分割 的有限个小区间中，当 足够小时,这有限个小区间的总长可为任意小;而 T 中其余TT小区间上函数的振幅不大于 ,把这两部分相合,便可证得 .2 2iTx。