【八年级下册数学人教版】第十七章 勾股定理（10类题型突破）.docx

第十七章　勾股定理（10类题型突破）考点一 勾股树(数)问题例题：下列各组数中，是勾股数的是（    ）A．2，3，4 B．4，5，6 C．5，12，13 D．，，变式训练1．我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（    ）A． B． C． D．2．下列各组数是勾股数的是（　　）A．，， B．，， C．，， D．，， 考点二 用勾股定理解三角形例题：（2023上·河南南阳·八年级统考阶段练习）如图，在中，，是的平分线，于点E，，，求的长．变式训练1．直角三角形的两直角边分别为和，则斜边上的高为___________cm．2．长方形中，长，宽，点为直线上一点，当为等腰三角形时，_______．3．（2023上·浙江金华·八年级校考阶段练习）如图，在中，．(1)若，求的长；(2)若，求的长．考点三 以直角三角形三边为边长的图形面积例题：如图，以的三边为直角边分别向外作等腰直角三角形．若，则图中阴影部分的面积为___________．变式训练1．如图，已知直角三角形的周长为24，且阴影部分的面积为24，则斜边的长为______．2．如图，中，，以它的各边为边向外作三个正方形，面积分别为，，，已知，，则______．考点四 勾股定理的证明方法例题：如图，将两个全等的直角三角形按照如下的位置摆放，使点A，，在同一条直线上，，，，．(1)填空：______，根据三角形面积公式，可得的面积______；根据割补法，由梯形的面积减去阴影部分的面积，可得的面积______．(2)求证：．变式训练1．我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形（如图1）与中间的一个小正方形拼成一个大正方形（如图2）．(1)利用图2正方形面积的等量关系得出直角三角形勾股的定理，该定理的结论用字母表示：_______；(2)用图1这样的两个直角三角形构造图3的图形，满足，，，，求证（1）中的定理结论；(3)如图，由四个全等的直角三角形拼成的图形，设，，求正方形BDFA的面积．（用m，n表示）考点五 勾股定理的实际应用例题：如图，一个长为米的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端A距地面的垂直高度为米，梯子的顶端下滑米后到达点，底端也水平滑动米吗？试说明理由．变式训练1．学过《勾股定理》后，李老师和“几何小分队”的队员们到操场上测量旗杆AB高度，得到如下信息：①测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长2米（如图1）；②当将绳子拉直时，测得此时拉绳子的手到地面的距离为1米，到旗杆的距离为9米（如图2）．根据以上信息，求旗杆的高度．2．如图，在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船．河岸上一男孩拽着绳子另一端向右走，绳端从C移动到E，同时小船从A移动到B，且绳长始终保持不变．回答下列问题：(1)根据题意可知：AC______．（填“”“ ”或“”）(2)若米，米，米，求小男孩需向右移动的距离．3．台风是一种自然灾害，它在以台风中心为圆心，一定长度为半径的圆形区域内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，监测中心监测到一台风中心沿监测点B与监测点A所在的直线由东向西移动，已知点C为一海港，且点C与A，B两点的距离分别为300km、400km，且，过点作于点，以台风中心为圆心，半径为260km的圆形区域内为受影响区域，台风的速度为25km/h．(1)求监测点A与监测点B之间的距离；(2)请判断海港C是否会受此次台风的影响，若受影响，则台风影响该海港多长时间？若不受影响，请说明理由．4.如图，是一块长、宽、高分别是，和的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点处，沿着长方体的表面到长方体上和相对的顶点处吃食物，那么它需要爬行的最短路径是多少？考点六 用勾股定理构造图形解决问题例题：木工师傅为了让直尺经久耐用，常常在直尺的直角顶点与斜边之间加一根小木条，如左图所示，右图为其示意图．若，线段的长为15cm，线段的长为20cm，试求出小木条的最短长度．变式训练1．现有一楼房发生火灾，消防队员决定用消防车上的云梯救人，已知消防车高，云梯最多只能伸长到，救人时云梯伸至最长如图，云梯先在处完成从高处救人后，然后前进到处从高处救人．(1)_________米，_________米；(2)①求消防车在处离楼房的距离（的长度）；②求消防车两次救援移动的距离（的长度）．（精确到，参考数据，，）2．如图，城心公园的著名景点B在大门A的正北方向 ，游客可以从大门A沿正西方向行至景点C，然后沿笔直的赏花步道到达景点B；也可以从大门A沿正东方向行至景点D，然后沿笔直的临湖步道到达大门A的正北方的景点E，继续沿正北方向行至景点B（点A，B，C，D，E在同一平面内），其中米，米，米，米．(1)求A，B两点的距离；(2)为增强游客的浏览体验，提升公园品质，将从大门A修建一条笔直的玻璃廊桥AF与临湖步道DE交汇于点F，且玻璃廊桥AF垂直于临湖步道DE，求玻璃廊桥AF的长．考点七 判断三边能否构成直角三角形例题：如图所示，已知中，于，，，．(1)求的长；(2)判断的形状，并说明理由．变式训练1．如图，，垂足为D，且，．点E从B点沿射线向右以2个单位/秒的速度匀速运动，F为的中点，连接，设点E运动的时间为t．(1)当t为何值时，；(2)当时，判断的形状，并说明理由．2．已知 满足．(1)求的值；(2)试问以为边能否构成直角三角形？请说明理由．考点八 在网格中判断直角三角形例题：如图，正方形网格的每个小方格边长均为，的顶点在格点上．(1)直接写出______，______，______；(2)判断的形状，并说明理由；(3)直接写出边上的高______．变式训练1．如图，方格纸中每个小正方形的边长都为1，点均在格点上．(1)求四边形的面积，(2)是直角吗？为什么？2．如图，在7×7网格中，每个小正方形的边长都为1，点，．(1)建立平面直角坐标系；(2)判断的形状，并说明理由；(3)在轴上找一点，当最小时，此时点坐标是_______．考点九 利用勾股定理的逆定理求解例题：如图，在四边形中，，，，．(1)求的度数；(2)四边形的面积为______．变式训练1．如图，在中，点是边上一点，连接．若，，，求的长．2．如图，四边形中，已知，，，，且．求四边形的面积．考点十 勾股定理逆定理的实际应用例题：在一条东西走向的河流一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点D（A、D、B在同一条直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米．求原来的路线的长．变式训练1．为响应政府的“公园城市建设”号召，某小区进行小范围绿化，要在一块如图四边形空地上种植草皮，测得∠B=90°，，，，，如果种植草皮费用是200元/，那么共需投入多少钱？2．某气象局监测到一个沙尘暴中心沿东西方向有A向B移动，已知点C处为以城镇，且点C与A、B两点的距离，以沙尘暴中心为圆心，周围以内都会受到沙尘暴影响．(1)通过计算说明城镇C是否会受到影响；(2)若沙尘暴中心的移动速度为，则沙尘暴影响该城镇持续的时间有多长？第十七章　勾股定理（10类题型突破）答案全解全析考点一 勾股树(数)问题例题：下列各组数中，是勾股数的是（    ）A．2，3，4 B．4，5，6 C．5，12，13 D．，，【答案】C【分析】欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．【详解】解：A、，不能构成直角三角形，不合题意；B、，不能构成直角三角形，不合题意；C、，能构成直角三角形，符合题意；D、三边长，，都不是正整数，不是勾股数，不合题意；故选：C．【点睛】此题主要考查了勾股数，关键是掌握勾股数的定义，及勾股定理的逆定理：已知的三边满足，则是直角三角形．变式训练1．我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据“勾股数”的定义，逐项判断，即可求解．【详解】解：A、，不是“勾股数”，故本选项不符合题意；B、，不是“勾股数”，故本选项不符合题意；C、，不是“勾股数”，故本选项不符合题意；D、，是“勾股数”，故本选项符合题意；故选：D【点睛】此题主要考查了勾股数，关键是掌握勾股数的定义：若满足的三个正整数，称为勾股数．2．下列各组数是勾股数的是（　　）A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D【详解】解：A、，，都不是正整数，故不是勾股数，不符合题意；B、不是正整数，故不是勾股数，不符合题意；C、，不能构成直角三角形，故不是勾股数，不符合题意；D、，能构成直角三角形，故是勾股数，符合题意；故选：D．【点睛】本题考查勾股数的定义：满足且a、b、c为整数，则a、b、c为勾股数．考点二 用勾股定理解三角形例题：（2023上·河南南阳·八年级统考阶段练习）如图，在中，，是的平分线，于点E，，，求的长．【答案】【分析】本题考查了角平分线的性质，角平分线上的点到角的两边距离相等以及勾股定理．根据角平分线的性质可先求出的长，的长已知，根据勾股定理可求出解．【详解】解：是的平分线，于，，．，．变式训练1．直角三角形的两直角边分别为和，则斜边上的高为___________cm．【答案】4.8或【分析】根据勾股定理可求出斜边．然后由于同一三角形面积一定，可列方程直接解答．【详解】解∶直角三角形的两条直角边分别为，斜边为，设斜边上的高为，则直角三角形的面积为，解得∶，这个直角三角形斜边上的高为．故答案为∶．【点睛】本题考查了勾股定理的运用以及直角三角形的面积的求法，正确利用三角形面积得出其高的长是解题关键．2．长方形中，长，宽，点为直线上一点，当为等腰三角形时，_______．【答案】13或或【分析】分三种情况画图，①当时，②当时，③当时，利用勾股定理即可解决问题．【详解】解：分三种情况画图，如图，在长方形中，，，，，①当时，；②当时，，，；③当时，，．综上所述：当为等腰三角形时，或或．故答案为：13或或．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，解决本题的关键是利用分类讨论思想．3．（2023上·浙江金华·八年级校考阶段练习）如图，在中，．(1)若，求的长；(2)若，求的长．【答案】(1)(2)【分析】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、角平分线的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．（1）由等角对等边可得，再由勾股定理。