有限元应用举例2（精编版）.docx

有限元法及应用1 有限元的发展历程1965 年，“有限元”这个名词第一次在我国出现 , 到今天有限元在工程上得到广泛应用 , 经历了三十多年的发展历史 , 理论和算法都已经日趋完善 有限元法(Finite Element Method, 简写为 FEM)是求解微分方程的一种非常有效的数值计算方法 , 用这种方法进行波动数值模拟受到越来越多的重视有限元法起源于固体力学, 并逐步扩展到热传导、 计算流体力学、 电磁学等不同领域 , 已经成为数学物理中很重要的数值计算方法有限元法的发展历程可以分为提出 (1943)、发展 (1944 一 1960)和完善 (1961-二十世纪九十年代 )三个阶段有限元法是受内外动力的综合作用而产生的1943 年，柯朗发表的数学论文《平衡和振动问题的变分解法》和阿格瑞斯在工程学中取得的重大突破标志着有限元法的诞生有限元法早期 (1944 一 1960)发展阶段中，得出了有限元法的原始代数表达形式，开始了对单元划分、 单元类型选择的研究， 并且在解的收敛性研究上取得了很大突破 1960 年，克劳夫第一次提出了“有限元法”这个名称，标志着有限元法早期发展阶段的结束。

有限元法完善阶段 (1961 一二十世纪九十年代 )的发展有国外和国内两条线索在国外的发展表现为 : 第一，建立了严格的数学和工程学基础 ;第二， 应用范围扩展到了结构力学以外的领域 ;第三，收敛性得到了进一步研究，形成了系统 的误差估计理论 ;第四，发展起了相应的商业软件包在国内， 我国数学家冯康在特定的环境中独立于西方提出了有限元法 1965 年，他发表论文《基于变分原理的差分格式》 ，标志着有限元法在我国的诞生 冯康的这篇文章不但提出了有限元法， 而且初步发展了有限元法 他得出了有限元法在特定条件下的表达式，独创了 “冯氏大定理” 并且初步证明了有限元法解的收敛性2 有限元法的基本思想有限元法的基本思想是将计算域划分为有限个互不重叠的单元 , 在每个单元内, 选择一些合适的节点作为求解函数的插值点 , 将微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式 , 借助于变分原理或加权余量法 , 将微分方程离散求解 采用不同的权函数和插值函数形式 , 便构成不同的有限元方法有限元方法最早应用于结构力学 , 后来随着计算机的发展逐渐用于流体力学的数值模拟。

在有限元方法中 , 将计算域离散剖分为有限个互不重叠且相互连接的单元 , 在每个单元内选择基函数 , 用单元基函数的线形组合来逼近单元中的真解, 整个计算域上总体的基函数可以看作是由每个单元基函数组成的 , 则整个计算域内的解可以看作是由所有单元上的近似解构成3 有限元的主要优点 [2]（1） ） 概念浅显，容易掌握，可以在不同的水平上建立对该法的理解，因而可以通过非常直观的物理途径来学习这一方法2） ） 具有很强的实用性，应用范围极为广泛不仅可以成功的处理应力分析中的一般性问题，而且可以用来求解诸如热传导、流体力学及电磁场等连续介质领域的许多问题3） ） 该法采用矩阵形式的表达式，便于编制计算机程序4 有限单元法的分析过程有限单元法的分析过程概括起来可以分为以下七步：1 结构力学模型的简化 首先要从实际问题中抽象出力学模型， 即对实际问题的边界条件，约束条件和外载荷条件进行简化2 结构的离散化 它是有限单元法的基础就是将分析的结构物体划分成有限个单元体， 并在单元体的指定点设置节点， 并把相邻的单元体在节点处连接起来组成单元的集合体，以代替原来的结构3 选择位移模式 位移函数的适当选择是关键。

在有限单元法中普遍的选择多项式作为位移模式 根据选择的位移模式， 可以导出用节点位移表示单元内任意一点的位移关系，其矩阵式是 {f}=[N]{ δ}4 分析单元的力学特性5 计算等效节点力 将作用在单元边界上的表面力及作用在单元上的体积力， 集中力都等效到节点上去6 集合所有单元的刚度方程，建立整个结构的平衡方程 一是由各个单元的刚度矩阵集合成整个物体的整体刚度矩阵； 二是将作用在各单元的等效节点力列阵集合成总的载荷列阵7 求解位置节点位移和计算单元应力 由集合起来的平衡方程组， 解出未知位移5 有限元的发展趋势 [3][4][5]随 着 有 限 元 技 术 应 用 的 不 断 扩 大 ， 其 发 展 呈 现 以 下 特 点 ：（1） ）单一场计算向多物理耦合场问题的求解发展有限元分析技术应用在装备产品的设计制造中 , 主要是求解线性的结构问题 , 但根据火电、风电、核电等装备产品的极端性、复杂性、多场性特点 , 结构非线性, 流体动力学和耦合场问题的应用迫在眉睫 , 如汽轮机叶片、风机桨叶的流体动力学问题、流固耦合问题 , 重型装备产品热加工过程的热、结构、电磁多场耦合的问题随着有限元技术的深层次应用 , 需要解决的工程问题也越来越复杂 , 耦合场的计算求解必定成为有限元软件开发的发展方向。

2） ）由求解线性问题发展到求解非线性问题随着科学技术的发展，线性理论已经远远不能满足设计的要求，许多工程问题如材料的破坏与失效、 裂纹扩展等仅靠线性理论根本不能解决， 必须进行非线性分析求解， 例如薄板成形就要求同时考虑结构的大位移、 大应变（几何非线性） 和塑性（材料非线性）；而对塑料、橡胶、陶瓷、混凝土及岩土等材料进行分析或需考虑材料的塑性、蠕变效应时则必须考虑材料非线性众所周知， 非线性问题的求解是很复杂的， 它不仅涉及到很多专门的数学问题， 还必须掌握一定的理论知识和求解技 巧，学习起来也较为困难为此国外一些公司花费了大量的人 力和物力开发非线性求解分析软件，如 ADINA 、ABAQUS 等它们的共同特点是具有高效的非线性求解器、丰富而实用的非线性材料库， ADINA 还同时具有隐式和显式两种时间积分方法3) 与 CAD/CAM等软件的集成有限元分析软件的一个发展趋势是与通用计算机辅助工程软件的集成使用 , 即数据信息在整个产品设计制造过程中的无缝多向流通 , 实现新产品开发中三维设计、有限元分析优化、数控加工等过程的快速响应 , 满足工程师快捷地解决复杂工程问题的要求 , 提高设计水平和效率。

4) 提高自动化的网格处理能力应用有限元技术求解问题过程中 , 产品几何模型离散后的有限元网格质量直接影响着计算量的大小和分析结果的正确性 各软件公司在网格处理方面的投入也在加大 , 划分网格的效率和质量都有所提高 , 但在实际工业生产中 , 尤其是专业领域复杂产品的分析中还存在问题 , 如网格划分的自动化、网格质量检查的标准化要想摆脱装备产品分析中繁重的网格处理任务 , 就必须突破自动六面体网格功能的技术瓶颈 , 实现可循环的网格自动优化功能5) 软件面向专业用户的开放性有限元软件应用的技术领域多 , 用户需求各不相同 , 因此开放的软件环境对用户而言至关重要 , 用户可根据企业产品的特点对软件进行二次开发 , 实现单元属性、材料参数、复杂边界、疲劳寿命规律的自定义和产品专家系统的自开发6) 软件开发强强联合根据有限元软件在装备行业的应用情况 , 有限元软件之间的强强联合必将更加有效推进有限元技术的应用 , 随着数值模拟软件的商业化和软件公司开发方向的专业化 , 各数值模拟软件公司将会出现强强联合的局面 , 以解决复杂装备产品的设计制造难题6 有限元的应用有限元法最初应用在求解结构的平面问题上 ,发展至今 , 已由二维问题扩展到三维问题、 板壳问题 , 由静力学问题扩展到动力学问题、 稳定性问题 ,由结构力学扩展到流体力学、电磁学、传热学等学科 , 由线性问题扩展到非线性问题 , 由弹性材料扩展到弹塑性、塑性、粘弹性、粘塑性和复合材料 , 从航空技术领域扩展到航天、土木建筑、机械制造、水利工程、造船、电子技术及原子能等 , 由单一物理场的求解扩展到多物理场的耦合 , 其应用的深度和广 度都得到了极大的 拓展。

7 有限元方法实例机械结构有限元分析——以主轴的有限元分析为例以 CA6140机床主轴结构有限元分析为例1 CA6140 机床主轴受力模型的建立1) 机床主轴计算转速的确定在机床主轴计算转速的确定的情况下， 低速重载时，主轴受力变形大，所以应该选择机床传动中的低速分支，CA6140 共 24 级转速，低速分支共有 I6 种转速，从 10r/min ～500r/min 成等比数列分布，因此只要在 10r/min ～ 500r/min 之间确定出传递全功率的 最低转速，就可以确定出机床主轴承受的最大扭矩 从而建众机床主轴的力学模型图 1 CA6140 机床主传动功率和扭矩特性图 1 是 CA6140 机床的主传动功率和扭矩特性图，其中 n 表示转速， T 表示扭矩， P 表示功率主轴计算转速 nc，指主轴传递全功率时的最低转速 Tmax 表示主轴最大扭矩， Pmax 表示主轴的最大功率 n≥nc 时,主轴传递全功率，而 T 则随转速增加而减小此段为恒功率工作范围； n≤nc 时 T=T max，而 P 则随转速的降低 而减少，此为恒扭矩工作范围通用机床及专门化机床，其计算转速是根据调查分析和测定而得出的。

对中型通用机床和用途较广的半自动机床的 nc 确定公式为：nc=nminφ z/3-1 （ 1）其中 nc 表示机床计算转速， nmin 表示机床的最低转速，φ表示机床转速之间的公比， Z 表示机床转速级数 CA6140 机床 nmin=10r/min ，φ=1.25， Z=24计算可得到 CA6140 机床计算转速 nc=101.25 7=50r/min 2) 受力横型的简化及力的计算图 2 所示为 CA6140 主轴箱展开图，图中中间支撑、后支撑都是短支撑，机床前支撑为长支撑 传递全功率的最低转速处于低速传动组内， 所以动力通过 V 轴上的小齿轮和 VI 轴上的大齿轮 26 : 58 传给上轴车床的车削力中主切削力 最大，其余两个相比之之下影响较小， 所以忽略不计， 由此简化后的力学模型如图 3 所示后支撑中支撑低速分支后支撑图 2 机床主轴箱展开图其中 Fr,Ft 分别表示主轴上大齿轮所受轴向力和切向力 F3 表示刀具对工件的主切削力 T1 表示由 Ft 产生的扭矩， T2 表示 F3 产生的扭矩主轴扭矩计算公式如下：T=9550P/nc （2）其中 T 为主轴传动的扭矩，单位 N.m， P 表示轴的计算功率，单位 kw。

nc 为主轴计算转速 r/min 代人机床电机功率 7.5KW ，取效率为 0.9 , T=9550P/nc= 9550 7.5 0.9/ 50 = 1289（ N.m )，切削过程中，主轴平稳，所以可以认为处于平衡状态，因此 T1=T2=1289 （N.m )，方向如图 3 所示：图 3 机床主轴受力模型当主轴以 50r /min 传递全功率时，动力通过齿数 58，φ 240mm 的齿轮传递到主轴，因此可由 T1 推导出切向力： Ft = 1289N.m／0.12m=1074(N)，轴向力0Fr=tg20 Ft =3909(N)T1=T2=1289(N.m)低速时，一般用于大切用量，取工件半径 0.1m，由此估算主轴传递扭矩为Tmax 时的主切削力为：F3=T2。