计算流体cfd2004-3.ppt

第三章 有限差分方程式,基本思想,以离散网格点上的变量的差分形式代替微分，结果得到一个包括所有节点上未知量的联立代数方程组3.1 简单的方法 ——台劳级数展开,在i+1和i-1上的u ，对i点展开的Taylor级数,前差 后差 中心差,二阶中心差分,差分格式的精度(截断误差)容易得到,3.2 一般方法,任意阶的精度的有限差分方程,利用相关的三个点推导出一阶导数的二阶精度差分方程,单边公式,二阶导数的一阶精度差分方程(单边三点公式 ),推导：,(3.2.1),(3.2.2a),(3.2.2b),aui+b*(3.2.2a)+c* (3.2.2b)得：,与(3.2.1)比较得：,a=3/2 b= –2 c=1/2,,推广：,引入位移算子E和微分算子D：,前向差分算子,一阶精度,二阶精度,(3.2.9),三阶精度？,,由级数展开可知,后向差分算子,中心差分算子,二阶精度 (第一项),另一个中心差分算子,,二阶精度,四阶精度,,3.3 高阶导数,中心差分二阶精度,中心差分——(整数+1/2) 的点 二阶精度,四阶精度,四阶精度,表3.3.1 不同阶的有限差分公式,1 -2 1,-1 16 -30 16 -1,-1 0 1,1 -8 0 8 -1,,,,3.4多维有限差分公式,(i-1,j+1) (i,j+1) (i+1,j+1)(i-1,j) (i+1,j)(i-1,j-1) (i,j-1) (i+1,j-1)图3.4.1 二维空间网格,,,,,,,,,,利用中心差分和平均中心差分算子,利用中心差分算子,,,多维,a b a b 1 1 1 1 1 1〇 □ 〇 □ 〇 〇 〇 〇 〇 〇-4b -4b □ 〇 □ 〇-4a 1〇 〇 〇1 1〇 〇 〇1-4a -8 -20〇 □ 〇 □ 〇 〇 〇 〇 〇 〇a b a b 1 1 1 1 1 1 图3.4.3五点格式的奇偶震荡. (a) b =2/3. (b) b =1/3 图3.4.4 九点式公式,3.5 有限差分解的精度,有限差分格式以及随后在边界值问题上的应用，都必须保证在描述模拟问题的物理关系上的精度。

这个精度取决于下面定义的相容性，稳定性和收敛性该格式1940年提出，1951年被证明是错误的,实例：对流现象的方程和边界条件：,初始条件 t=0, u(x,0)=f(x),边界条件 x=0, u(0,t)=f1(t)x=L, u(L,t)=f2(t),,,,,0 f(x) L x,t T,f1(t),f2(t),3.5.1、差分离散的基本原则,时间前差、空间前差FTFS 时间前差、空间中心差FTCS 时间前差、空间后差FTBS,用差分形式离散上方程时，FTFS，FTBS， FTCS及其他形式似乎都可以其差分离散是否任意?不是对一个确定的微分方程，可以用不同的差分格式离散，但绝不是任意差分离散均可获得合理的解而且可以使用的差分格式一般也存在着优劣下面介绍为了取得有意义的微分方程的数值解，差分离散时应当遵循的基本原则指的是差分方程必须与微分方程相容，即将差分方程用Taylor级数展开后当变量增量t，x趋于零时，差分方程与微分方程相容这样才能获得接近于微分方程的解考虑上式的FTBS差分格式,Taylor级数展开：,1、相容性(Consistency),代人FTBS方程：,当x、t趋于0时，上式等号右侧趋于零，因此该差分方程与原微分方程相容。

2、收敛性(Convergence),设U是微分方程的精确解，u是差分方程的精确解，那么对一个具体问题来说自变量增量趋于零时，u必须趋近于U，即：,式中t=j·t ，x＝j·x满足上式的差分方程的解具有收敛性，否则差分方程的解无意 义，不能用它来解对应的微分方程3、稳定性(Stability),用计算机解差分方程时，由于计算中的舍入误差及迭代精度等的限制，计算出来的是近似解，用 表示数值计算微分方程的解的误差可表示为：,D=U-u为离散(discretization)误差，称r=u - 为舍入(round—off)误差 由此可见：lim D =0恰好是收敛性定义的表达式；而随着时间迭代步数n的增长，r 是否有界则是稳定性问题如果求解过程不稳定，解可能出现指数增长性振荡，使数 值计算无法进行下去 上面三个要求是用有限差分法(或有限体积法)求解微分方程时选择差分格式必须满 足的条件，但并不充分，即并不是满足上述条件，流体力学控制方程或其他方程即可求得较正确的解截断误差(Truncation Error)=差分方程 - 将差分方程精确解代入微分方程显然当自变量t,x趋于零时，截断误差 趋于零， 则达到相容性条件。

离散(discretization)误差D=U-u ， lim D =o 收敛性条件 舍入(round—off)误差r=u - ，随着时间步数n的增长，r 是否有界则是稳定性问题差分格式的选择必须与微分方程所反映的物 理问题的要求相适应这个方面牵涉的问题较多， 且都是十分重要的问题例如，超声速流场中出 现的间断问题，凡满足上述三个要求的差分格式 并不是均能较好地捕捉激波，即将激波的位置及 跨激波的物理量较好地计算出来这要求在差分 方法上另作一些研究与改进这方面的问 题很多，我们不予研究4、与物理问题的要求相适应,5、 Lax等价定理,在采用一种差分格式写成差分方程并讨论其相容、收敛与稳定的性质时可以看到，相 容性是比较容易证明的，只须用Taylor级数展开就行；稳定性的证明以后可以介绍诸如 Von Neumann法等来解决，而收敛性证明一般比较麻烦，但Lax等价定理很好地解决了 这个难题Lax定理：对给定的适定的线性初值问题，用有限差分方程去近似时，若差分方程满 足相容性条件，则其稳定性是其收敛性的充分必要条件简单地表达为： 适定的线性初值问题，若差分方程相容，则稳定收敛。

这个定律的作用是明显的对适定的线性初值问题，只须证明其相容性与稳定性，收 敛性自然满足，从而省却证明收敛性的麻烦3.5.2、差分离散的其它性质,1、显式、隐式差分格式,用差分代替方程中的微分得到的方程称为差分格式(或差分方程)对扩散方程差分离散得：,即：,A就是系数矩阵可见，只要前一时间步的量u n已知，u n+1就能方便地计算出来这种格式称为显格式其一般表达式为：,式中W是空间差分算子式，由若干个空间差分算子组成常见的空间差分算子有前差、后差 、中心差 、平均算子等这里算子式W为：,上式称一步显格式，下一个时间步的变量u n+1(未知量)可直 接由各空间点上的已知变量uj+1n， ujn ， uj-1n ，…等求出，求解方便简单，但它迭代的步长受到稳定性的严格限制，因而整个过程需迭代的次数增加了这是对扩散方程的时间前差，ujn+1的空间中心差分组成隐式 差分格式计算的时间步长几乎不受稳定性的限制但每迭代一次所占的时间比显格式要长得多，因为它常常遇到矩阵求逆的问题一般情况下，矩阵是几（三、五、七、九）对角矩阵，并且满足对角占优势，故可用简单的追赶法求解即使如此，也比显式差分格式多费机时。

总之，上式中Z=1时是显式差分格式，Z含有算子时则是隐式差分格式，而W的存在对稳定的程度多少有些影响差分方程如有形式：,z是另一个作用于未知变量ujn+1上的空间差分算子式此式称为隐式差分格式 例如令z＝(1一r 2)，W＝1，则有：,2、输运性： 例如,差分格式,初始条件,u为任一物理量，当地速度a>0时，u0影响到下游，不应该影响到上游该平均中差格式与物理现象不符，输运性不好；同理， a<0时，平均中差格式的输运性也不好空间后差,a>0时用空间后差格式有好的输运性 同理，a<0时用空间前差格式才有好的输运性,此种情况下，平均中差格式有逆风效应；后两种格式无逆风效应，常称为迎风(或上风)格式又可写为：,3、耗散与频散,仍以一维对流方程为例，如果初始条件u(x,0)=eiax,其精确解为： u(x,t)=eia(x-at),a>0的常数,对于a>0的迎风格式,沿着特征线x=at,则ujn+1= uj-1n,与u(x,t)=eia(x-at)一致xat时，设,的解u(x,t)=et+iax,代入方程求得β后差分方程的近似解有：,与精确解相比，波幅的衰减（常称耗散）和波速的下降（常称色散）分别为：,显然，近似解不满足原微分方程，而满足如下微分方程：,——又叫修正方程,数值耗散 数值色散 耗散与修正方程的二阶导数有关，色散与三阶导数有关,数值耗散:增加稳定性，但降低精度；所以数值耗散应该小于物理耗散 数值色散：减少稳定性，会不利于波动问题的研究，应该尽量避免,Fromm格式：两个二阶精度格式的组合，色散项相互抵消，耗散项略有提高,4、守恒性：,守恒型方程的中心差分往往自动满足流动守恒性,0-1：ρ1u1- ρ0u0=0 1-2: ρ2u2- ρ1u1=0 0-1：(ρ1–ρ0)u1/2 - (u1–u0)ρ1/2 =01-2: (ρ2–ρ1)u3/2 - (u2–u1)ρ3/2 =0,,,u1ρ1/2 +ρ1u1/2 ≠ u1ρ3/2 +ρ1u3/2 不守恒,1-1上守恒,,,,。