棱柱、棱锥的面积和体积.ppt

棱柱、棱锥的 表面积和体积棱柱的侧面积和体积：S直棱柱侧=ch, S斜棱柱侧=c’l, V柱体＝ShhSLSS’柱体体积公式的推导： 等底面积等高的几个柱体 被平行于平面α的平面所 截截面面积始终相等体积相等∵V长方体＝abc∴V柱体＝Shα定理一、等底面积等高的两个锥体体积相等 αh1S1h2S2h ShS取任意两个锥体，它们 的底面积为S，高都是h ＋ 平行于平面α的任一平面去截 ＋ 截面面积始终相等＝两个锥体体积相等定理一、等底面积等高的两个锥体体积相等 αh1S1h1S2h ShS证明：取任意两个锥体，设它们的底面积为S，高都是h 把这两个锥体 放在同一个平面α上，这是它们的顶点都在和平面α平行的同一个平 面内，用平行于平面α的任一平面去截它们， 截面分别与底面相似，设截面和顶点的距离分别是h1，截面面积分别是S1，S2根据祖搄原理，这两个锥体的体积相等锥体的体积公式定理三：如果一个锥体的底面积是S ，高是h，那么它的体积是V锥体＝ Sh棱锥的侧面积和体积 1、正棱锥的侧面积：S= ch’2、等底面积等高的两个棱锥的体积相等。

3、如果一个棱锥的底面积是S,高是h，那么它的体积是 V锥体＝ Sh例1：三棱柱的底面是边长为5的等边三角 形，其中一条侧棱与底面两边都成600的 角，侧棱长为4，求三棱柱的侧面积ABCA’B’C’例2.如图是一石柱, 石柱顶上部是一个正四棱锥,下部是一个正四棱柱. 已知正四棱柱底面边长0.5米, 高1米, 正四棱锥的高是0.3米.石料比重d为每一立方米2400千克. 求这个石柱的重量.解:V棱锥=V棱柱=所以石柱的重量P=(V棱柱+V棱锥)×d=660(千克).0.5米1米0.3米例3.在三棱锥V-ABC中,AC=BC=13,AB=10，三 个侧面与底面所成的二面角均为60o,VO⊥平 面ABC, 交平面ABC于O.O在三角形内部BACVEOFD(2) 求： 三棱锥的高.(3) 求： 三棱锥的体积.(1) 求证： O是△ ABC的内心.OD为VD在平面ABC内的射影, 根据 三垂线定理, 得VD⊥AB.于是∠VDO为侧面VAB 与底面所成二面角的平面角，∠VDO= 60o. 同理∠VEO=∠VFO=60o. CV 解:（1） 过O在平面ABC 内分别 作AB、AC、BC的垂线,D、F、E 为垂足. 连结VD、VF、VE. AEOFDB因为VO⊥平面ABC,OD⊥ AB,显然 OD =OE =OF = VOctg60o, 即点O到 △ABC三边距离相等. 因此 O是△ABC的内心.CVEOFDAB例4. 已知正四棱锥相邻两个侧面所成二面角为120o, 底面边长a, 求它的高、体积.ABCDSEOABCDSEO解：连结AC、BD交于O，连结SO，则SO为正四棱锥的高.过B作BE⊥SC, E为垂足.连结DE,则∠DEB为二面角D-SC-B的平面角,所以DEB=120o.ASBCDEO连结OE,例5.如图三棱锥V-ABC中, D为BC上一点,E为AV上一点, BC⊥ED, BC⊥AV, ED⊥ AV,已知 BC=6cm,ED=4cm,AV=8cm.求:三棱锥的体积.VABCDENEXTRETURNVABC DEBC=6, ED=4, AV=8.解 ：EVABCDBC=6, ED=4, AV=8.例6、如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,G为 A1B1上的点,E、F在棱AB上,H在C1D1上.(1).若点G在A1B1上滑动, H在C1D1上滑动,线段 EF在AB上滑动,则VH-EFG的值有何变化?(2).若点G滑动到B1,E、F滑动到A、B点,H滑动 到D1点,则VH-EFG体积为多少?ABCDA1B1C1D1GHEFADB CEθ证明：在平面BCD内，作DE ⊥BC，垂足为E ，连接AE, DE就是AE在平面BCD上的射影。

根据三垂线定理，AE ⊥ BC∴ ∠AED＝θ例7：已知：三棱锥A-BCD的侧棱AD垂直于底面BCD， 侧面ABC与底面所成的角为θ求证：V三棱锥＝ S△ABC·ADcosθ＝ S△AB C · ADcosθ＝ × BC · AEcosθ· ADV三棱锥＝ S△B CD · AD＝ × BC · DE· AD例8：已知:三棱锥A-BCD的侧棱AD垂直于底面BCD，侧面ABC与底面所成的角为θ求证：V三棱锥＝ S△ABC·ADcosθADB CEθ问题1、ADcosθ有什么几何意义？ F结论： V三棱锥＝ S△AB C · DF 例9、已知：三棱锥A-BCD的侧棱AD垂直于底面BCD， 侧面ABC与底面所成的角为θ求证：V三棱锥＝ S△ABC·ADcosθADB CEθ结论： V三棱锥＝VC-AED＋VB-AED 问题2、解答过程中的 × BC · AEcosθ· AD其中AEcosθ· AD可表示什么意思？∵AEcosθ＝ED∴S△AED＝ ED·AD 又BE与CE都垂直平面AED，故BE、CE 分别是三棱锥B-AED、C-AED的高。

分析：练习1：将长方体沿相邻三个面的对角线截去一个三棱锥 ，这个三棱锥的体积是长方体体积几分之几？ （请列出三棱锥体积表达式）ABCDA’C’B’D’问题1、你能有几种解法？问题2、如果这是一个平行六面体呢？或者四棱柱呢？练习2:从一个正方体中，如图那样截去四个三棱锥，得 到一个正三棱锥A-BCD，求它的体积是正方体体 积的几分之几？CDAB问题2、如果改为求棱长为a的正四面体A-BCD的体积你能有几种解法？问题1、你能有几种解法？解一、补形，将三棱锥补成一个正方体解二、利用体积公式V四面体＝ S△BCD·h解三、将四面体分割为三棱锥C-ABE和三棱锥D-ABEE练习：1、四面体O-ABC中，除OC外其余的棱长均为1，且OC与平面ABC所成的角的余弦值为 ，求此四面体的体积2、三棱锥P-ABC中，已知PA⊥BC，PA＝BC＝a ，PA,BC的公垂线段为EF(E、F分别在PA、BC上)，且EF＝h，求三棱锥的体积。