数列-不动点法求通项公式.docx

用不动点法求递推数列t - Q2+C2工0)的通项n+1 c・t + dn1通项的求法a ・ t + b为了求出递推数列t 1 = « 的通项，我们先给出如下两个定义:+1 c ・ t + dn定义1：若数列｛t ｝满足t — f (t )，则称f (x)为数列匕｝的特征函数.n n+1 n n定义2:方程f (x) =x称为函数f (x)的不动点方程，其根称为函数f(x)的不动点.下面分两种情况给出递推数列tn+1a ・ t + b通项的求解通法.n⑴当c=0,时，a ・ t + b a由t = n n t — -1 + —+1 c ・ t + d n+1 d nn记纟—k, — c，则有t 1 = k・t + cd d n+1 n(kHO),・・・数列｛t ｝的特征函数为f (x) =kx+c,n由 kx+c=xnx=—，则 t — k ・ t + c1 — k n+1 n・・.数列｛t ——｝是公比为k的等比数列，n 1 — kc c c c• • t — — (t — )・ kn—1 t — + (t — )・ kn—1 •n 1 — k 1 1 — k n 1 — k 1 1 — k⑵当cHO时，n t — — — k (t ——) n+1 1 — k n 1 — ka ・ x + b数列｛tn ｝的特征函数为：念)=巾丄 a - x + b由 =x cx2 + (d — a)x — b — 0c ・ x + d设方程cx2 + (d - a) x - b = 0的两根为x ,x ,则有:ex2 + （d - a）x 一 b = 0, cx2 + （d 一 a）x 一 b = 01 1 2 2:.b = cx2 + （d - a）x （1）1 1b = cx2 + （d 一 a）x （2）tn—x t — xi+12 n 2a -1+ b n—x由t—x t — xe -1+ d1t — x―n 11—1- = k . 1-n n-=k -n 1-t—x t — xa -1+ bt — xn+12 n 2 n—xn 2e・t+ d2at+ b - ex t - dx,t—x，•⑶n n4 =k • —n 1-at+ b - ex t - dxt—xn2 n 2n22 2又设 = k •(其中,n£N*k为待定常数).将⑴、(2)式代入(3)式得:at + ex2 - ex t - ax t - x n 1 1-n = k • ―n 1-at + ex2 - ex t - ax t - xn 2 2 n 2 n 2（a 一 ex ）（t 一 x ） ” t 一 x ” a 一 exn 1一n 1 = k .f 1 n k = 1（a 一 ex ）（t 一 x ） t 一 x a 一 ex2 n 2 n 2 2・・・数列｛Lit — xn 2｝是公比为=a 一 ex2(易证匚二丰0)的等比数列.a 一 ex2.t — x t — x• • 1 = 1t — x t — xn 2 1 2厂 a - ex 1.a - ex' 2t — x1 1t — x1 2/ a - ex 1.a - ex2t — x1 - -1 1t — x1 2厂 a - ex 1.a - ex' 2A n-1丿2．应用举例，求｛a｝的通项。

n例1：已知数列｛a｝中，a =2, a =竺上n 1 n+1 3解因为叫的特征函数为：f(x)=乎，由 f (x) = 2 丁 1 = x n x = 1,• • an+1=注 n a -1 = 2(a -1)3 n+1 3 n 7•数列｛叮1｝是公比为3的等比数列,• «a _1= (a —n 1n-1 n a=1+ (2) n-1 .例2已知数列｛a｝中，a =3,n 1解：因为｛a｝的特征函数为:n4a — 2a = —n—n+1 a +1n、 4x — 2 f (x)=x + 1求｛a｝的通项n=1, x = 224 x — 2由 f (x)=—- =x n x2 — 3x + 2 = 0 n xx + 1 1a — 1 a — 1^设—= k • —n—a — 2 a — 2n+1 n4a — 2 n — 1a +1 a — 1—n = k •——n 4a — 2 a — 2 n — 2 n a +1na — 1 —n— a — 2n3a — 3 a — 1 n = k • —n—2a — 4 a — 2n n、-3 (a -1)=]— • n = k •2 (a - 2)na — 1—，a — 2n7 3日仃a -1 3n k =艮卩一n+1 =2 a - 2 2n+1・・・数列a — 1 ——n— a — 2n是公比为3的等比数列.n-1a — 1 a―n = 1a —2nVai=3, •壬2=2 •nn-12n-2 - 2 ・3n-1n a _n2 n - 2 — 3 n-1例3已知数列｛a｝中,na =2,1n+1_芒，求｛a｝的通项。

n解：因为｛a｝的特征函数为:n1 + x由 f (x) _ 一 _ x n x2 +1 _ 0 n x _ i, x1 — x 1 21 + a . n — i1 — an n——1 + a . n + i设 a , - i设一n 11 a + in+11 a -1 =k •a + ina -1 =k •a + in1 + a n n1 + a + i —n—i + a i a — i=k •—a i a + in n(a 一 i)=k •a 一 i—n a + in-i■n・•・数列a 一 i——n a + in是公比为土的等比数列.1 - i.a — i a 一 i" — a + i1n-1Va=2,・•・a 一 i——U a + i 2 + inn-1a -1—n a + in1 + i 日仃 a - i 1 + i a k _ 艮卩一n+1 _ ・一1 一 i a + i 1 - i a + in+1 n(2 — i )in — 1 + 2i例4已知数列｛a｝的前n项和为Sn—n(n — 1),n求｛a｝的通nn an 2 + i — (2 — i)in-1项解：T S = n 2 a 一 n (n 一 1)nn•・ S = (n +1)2 a 一 (n + 1)nn+1 n+1②-①得：a n2a 一 (n + 1)n + n(n 一 1)2+ —n + 22n+1 n+1 nn (n + 2)a = na + 2 n a = — a因为叫的特征函数为f(x)=佳x+辰,n+1 n n+1 n + 2 n由 f (x) = —-— x + —-— = x n x=1. n + 2设 a 一 1 = b n a = b +1, a = b +1 ④n n n n n+1 n+1将④代入③得：b +1 = ^— (b +1) +，一n+1 n + 2 n n + 27 n 1 b nn b = b n ^+1 =—n+1n + 2 nbnn + 2bbbb1•・b =b - -2 •3-—,•・• b = a-1 =--n1 bbbb1 12123n-11 123人n一 11•・b =A -n2 345 n+1n(n +1)=b +1 = 1 --一 n n(n +1)。