黎曼-勒贝格引理的推广.doc

黎曼－勒贝格引理的推广黎曼－勒贝格引理的推广摘要：本文主要是通过对黎曼摘要：本文主要是通过对黎曼-勒贝格引理的思考勒贝格引理的思考,从而得出更一般化的结论从而得出更一般化的结论: 若若在在绝对可积，绝对可积，)(tg],[ba满足：（满足：（1））是以是以为周期的函数；为周期的函数；)(tf)(tfT（（2））在一个周期内黎曼可积且在一个周期内黎曼可积且 ，，TSdttf 0)(则有则有 bag(t)dt )()(limbapTSdtptftg1、引言、引言黎曼-勒贝格引理如下：若在绝对可积，则( )g t, a blim( )sind0,lim( )cosd0.bapbapg tpt tg tpt t下面对该引理作一些直观上的分析思考. 此结论看起来似乎不容易想象其过程，实际上，认真观察一下，还是能发现其中的玄 机的首先，注意到函数 sinx 和 cosx 都是周期为 T = 2π 的周期函数且， Ttdt00sinTtdt00cos考察 g(x)sin(px), 当 t 的变化量为时， sin(pt)经过了一个周期. 而(), p202pp且由 g(t)在[a, b]绝对可积, 可以想象若 不是瑕点, 有0t 0|)cos()(sin)(22 00000pttpttptptgdtpttg当然，这不是严格的数学证明，但至此，大家已经能较好地想象 bapdtpttgsin)(lim的积分过程了。

2、黎曼、黎曼-勒贝格引理的推广勒贝格引理的推广 由上，我们可以大胆地猜想以下结论： 定理定理 1 若 g(t)在[a, b] 绝对可积，则对函数 f(x), 只要满足 （1）f(x)为周期函数（记周期为 T） （2） f(x)在一个周期内黎曼可积且积分为零，即，就有Tdttf00)(bapdtptftg0)(lim为证明定理，对满足定理条件的函数，，先给出几个引理)(xf引理１：引理１：在任意一个周期长度的区间的积分为０，即有)(xfRa Taadttf0)(证明： 因为 TaTTTaaadttfdttfdttfdttf)()()()( 00令有Ttt,)()()T()()(000TaTaaadttfdttftdTtfdttf从而 TaaTdttfdttf 00)()(引理２引理２：，对任意的和，有 0GR,0ppGdtptf|)(|证明：不妨设令 有ptt ppppdttfpt dtfpdtptf)(1)(1)(记，其中为正整数，，则由引理 1 有)()(puTpkpp)(pkTpu | )(|)()()()()()()(1)(1)(1)(puTpkpTpkpTpkpppuTpkppdttfpdttfpdttfpdtptf)()()()(1puTpkpTpkpdttfp因为是周期函数且在一个周期内黎曼可积，则有界，即使得)(xf)(xf0M，Mxf | )(|Rx故 ｜｜＝｜｜, dtptf)()()()()(1PuTpkpTpkpdttfpMTp1令 G＝MT 引理 2 得证。

下面给出定理的证明：因为是周期函数且在一个周期内黎曼可积，则有界，即使得)(xf)(xf0M，Mxf | )(|Rx先设在黎曼可积．给以分法：( )g t, a b, a b01natttbL记，则)(inf ],[1xgmkkttxk bankttkkdtptftgdtptftg11|)()(||)()(||)()())((|1111nkttnkttkkkkkkdtptfmdtptfmtg|| )(||||)(|1111 nkttnkttkkkkkkdtptfmdtmtgM nkknkkkpGmtM11||其中为在的振幅，．由黎曼可积知，对任给的，k( )g t1,kktt1kkkttt( )g t0存在分法使得，对这个分法，是确定的数，只要 Mxnkkk2/1  nkkm1||，就有 nkkmG p1||2badtptftg|)()(| nkknkkkpGmMx11||即  bapdtptftg0)()(lim再讨论在是绝对收敛的瑕积分的情形.( )g t, a b不妨设瑕积分有唯一瑕点 x=a, 则>0，，使得0Mdttgaa2/|)(|则2/|)(||)()(|aaaaMdttgdtptftg对上述，由于在黎曼可积，由已证结论知 0( )g t, a b，故存在，只要，有bapdtptftg 0)()(limNpN2/|)()(| badtptftg 从而 ，badtptftg 22|)()(|故。

定理证毕 bapdtptftg0)()(lim对此结论进一步拓展，有下面的定理 2定理定理 2 若 g(t)在[a, b] 绝对可积，则对函数 f(x), 只要满足 （1）f(x)为周期函数（记周期为 T） （2）f(x)在一个周期内黎曼可积且积分 TSdttf0)(则有 bag(t)dt )()(limbapTSdtptftg事实上，只要令 h(x) = f(x), 则 h(x)满足定理 1 的条件，TS（因为)0)(])([)( 000TTTSdttfdtTStfdtth从而 0)()(lim])()()([lim bapbapdtpthtgdtTStgptftg故  babapbapbapdttgTSdttgTSdttgTSptftgdtptftg)()(lim)]()()([lim)()(lim参考书目：[1]《数学分析简明教程》邓东皋，尹小玲高等教育出版社，1999 年第 1 版。