4塘厦中学陈名树论文：化解高一学生函数认知障碍的几点教学策略（定稿）.doc

化解高一学生函数认知障碍的几点教学策略【摘要】函数成为高一学生的学习难点是多因素作用的结果；其中一个不可忽视的因素乃是高一学生缺乏函数“抽象学习”所需的“认知结构”，从而导致高一学生对函数概念系统不同程度地存在认知障碍，为此提出化解这些认知障碍的几点函数教学策略.【关键词】：函数 抽象 认知障碍 教学策略1 问题的提出函数是高一学生在人教版《必修1》学习的主要内容，它是学生公认的一个难点.试问是什么因素导致了高一学生在函数学习中难点重重？或者试问函数的教学内容成为学生学习的难点的深层原因何在？我们应该采取什么教学策略来帮助学生消减函数的学习难度？这是每一位数学老师都值得去研究的问题以下结合自己个人的教学实践，谈一点体会.2 高一学生函数认知障碍分析函数成为高一新生数学学习的难点是多因素作用的结果，有学生自身方面的原因如初中函数基础不扎实，学习兴趣、学习方法、学习习惯等，也有高中函数内容本身方面的原因，归纳起来主要有以下三个方面.2.1函数概念本身的复杂性 函数概念的形成经历了一个漫长的历程，历史上不同时期、不同的数学家的观点也各不相同，说明函数概念本身的复杂性，它是一个比较难形成的概念，如果学生初中就没有学好函数的概念，到了高中，用集合和对应的语言来刻划的函数他们会觉得更抽象更难理解.此外，函数概念表示形式的多样性亦增加了学生认知的障碍.2.2函数语言理解的障碍函数语言除了自然语言，还有符号语言和图像语言.学生要将这三种语言灵活地转化，相互促进理解并不是一件容易的事，比如增函数的概念，就出现了“定义域I、区间D、任意、、” 等大量的概念和符号，以及用这些符号进行的形式化推理和运算. 所有的这些概念和符号，都具有特定的含义且它们有着极强的逻辑性，这就注定了这些概念具有高度的抽象性，而高一新生对这种“抽象性”显然准备不足，存在着明显的认知上的障碍.2.3数学思维的障碍数学思维是对数学对象（空间形式、数量关系、结构关系等）的本质属性和内部规律的间接反映，并按照一般思维规律认识数学内容的理性活动.高一新生对函数的认知只停留在初中的一次、二次、反比例等具体的函数上，对它们的理解更多依赖感性经验的直接支持，即形象思维仍然起着重要作用，而高中函数内容需要的思维具有明显的特征，抽象逻辑思维开始占优势.这两者之间的落差同样会导致学生对函数认知产生障碍.3 教学策略 基于高一学生函数认知障碍的分析，结合高一函数的主要内容，我们提出化解这些认知障碍的几点教学策略.3.1 注重函数概念的形成过程函数概念是比较抽象的，这主要体现在用集合和对应对初中函数的概念重新进行了“包装”，出现了“非空的数集”、“对应关系”、“任意”、“唯一”、“：AB”、“”等概念和符号.那么，我们化解函数的抽象性，就需要让“抽象”回归“现实原型”.在人教版《必修1》中，给出了三个实例：第一个例子从解析式的角度给出炮弹距地面的高度随时间变化的规律；第二，第三个例子分别从图像和表格角度让学生探索共同点和规律,并用集合语言来描述.对于这三个“现实原型”，有些教师觉得处理起来费时费力，不如直接告知定义做练习效率高，这完全是一种本末倒置的做法.我们要让“非空的数集”、“对应关系”、“任意”、“唯一”、“：AB”、“”等概念和符号有依附，变得“有意义”，就必需加大力气解剖这三个实例，让这些术语或符号落脚到实例当中，甚至于列出如下表格，让学生体会两个变量之间的依赖关系.实例（1）时间的变化范围是数集A高度的变化范围是数集B对应关系是实例（2）时间的变化范围是数集A臭氧层空洞面积的变化范围是数集B对应关系是图中的曲线实例（3）时间的变化范围是数集A城镇居民恩格尔系数的变化范围数集B对应关系是表格中所给数据一般情况比如说，“唯一”对应于实例（1）是指炮弹飞行时间构成的数集A＝中的任意一个时间都可以在高度的变化范围数集B＝中找到唯一的一个值和它对应，例如，对应了唯一的一个.同样地，对应于另两个实例又分别表示具体的什么含义，不妨一一指出来.在探索分析过程中，学生可以获得变量之间相互依存关系的切身感受，进而对三个实例进行抽象概括：①都与两个非空的数集有关；②两个数集都有确定的对应关系，并且是A中的每个，数集B中都有唯一确定的一个值与之对应，只不过这个值在三个例子中表示不同，但是可以抛开实际背景，都用表示.从而可以得到函数概念的雏形，之后顺其自然地给出函数严谨的定义.在函数表达式“”中对应关系“”学生理解起来是比较困难的，同样可以引导学生回到三个实例：实例（1）是用解析式来体现的，表示一种“算法”： ；实例（2）（3）分别是用图像和表格来体现的，因此，函数的表示法自然就有解析法、图像法和列表法.如果需要的话，还可以把初中里函数的定义拿来加以对照，让学生了解函数定义是如何一层一层演变过来的，学生会发现：高中里的函数定义只不过是用集合语言和符号对初中里的定义进行了“抽象”表达，本质上是一致的.在函数概念的形成过程中，教学时注意揭示出自变量是如何引起因变量的变化的，这对学生深刻理解函数的本质，掌握函数的思维特征是有帮助的，它对接下函数性质的把握也会起到关键的作用.3.2 注重函数性质的思维特征何谓“性质”？性质是指事物所具有的本质，即事物内部稳定的联系.那么，问题就来了：对于函数性质“事物内部”指什么？“稳定的联系”是怎么表现的？到底怎样才能发现这种联系？函数性质本质上要研究的问题是：满足特定关系的两个自变量，其对应的函数值之间具有什么关系.如下图所示：以偶函数为例.定义：一般地，如果对于函数定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做偶函数.显然，这里不仅有抽象的符号“”，还有对符号进行了运算“”.实际上，这里要研究的问题是：对于自变量里的两个值，它们的值相等.在这个问题的引领下，我们不妨“回归特殊”.教材里举的特殊函数是学生熟悉的二次函数.对着图象和对应的表格：…………那么我们就可以进行“有意义的学习”了：“事物内部”指的是函数的自变量和因变量；“稳定的联系”表现在：自变量取一对相反数时，相应的两个函数值相同，在图象上关于轴对称；到底怎样才能发现这种联系呢？就要引导学生观察图象和表格.比如：由，如果我们将具体的数“”变成内任意的一个即有：，事实上，，，，事已至此，顺势给出偶函数的定义就非常自然了.通过上述的分析，我们发现：①是偶函数；②代数特征：自变量互为相反数，其对应函数值相等，定义域关于原点对称；③几何特征：点 与点同时在函数的图像上，函数图象关于y轴对称.从这个例子，我们也不难发现：函数的性质（单调性、奇偶性、对称性、周期性等）实质上可以认为是用代数的方法来研究几何问题.因此，学生在研究函数性质时，要掌握以下的思维和方法：首先看看自变量是如何变化的，再看看它们对应的函数值之间有什么关系，要能用语言及图形把这个关系说清楚，并能用符号语言表示出来，或能够读懂符号语言.3.3 注重将抽象问题具体化策略高一函数问题比较抽象比较难解决的当属抽象函数，即:不给出具体解析式，只给出函数的特殊条件或特征的函数称为抽象函数.要化解抽象函数的“抽象性”，我们在教学中就需要化抽象为具体.【案例1】若的定义域为，则的定义域为（ ）A． B． C． D．无法确定【变式1】若的定义域为，则的定义域为（ ）A． B． C． D．无法确定这两道题比较容易混淆，由于没有给出具体函数，高一学生又觉得比较抽象.解决的办法可以回归函数的本质去理解: 对于函数和，（其中）其实是没有区别的，对内的任意一个值，函数和取得相同的函数值，即有，由可得第（1）的答案为C.如果我们用“图形”来说明会变得很简便，很容易理解，其实的图象是把的图象往左平移两个单位（纵坐标不变）得到的，所以定义域也相应地往左平移了两个单位变成即为所求.由此可见，抽象的函数如果能用图象来揭示本质，那是比较形象直观的，往往能达到化“抽象”为“具体”的目的.同理不难得出第（2）题的结果选B.分析抽象函数问题时，要关注这个函数是以谁为自变量的，当它的自变量具有什么变化的时候，对应的函数值能够相等或其它的什么关系，这个关系能否用“数形结合”来帮助理解，这就是在用函数的思维方法去思考函数问题.用这样的思维方法去考查抽象函数的对称性、单调性、周期性等同样凑效，如下例及变式:【案例2】若是奇函数，则下列表达式中正确的是（ ）A． B． 【变式2】 若是奇函数，则下列表达式中正确的是（ ）A． B． 【案例3】若满足则（ ）A． 是奇函数 B．是偶函数 C.关于对称 D. 关于对称【变式3】若满足则（ ）A． 是奇函数 B．是偶函数 C.关于对称 D. 关于对称当然，上述问题，如果采用寻找具体的函数来辅助解决也是可以的.由此可见，化抽象为具体的途径：数形结合或找具体函数引导思路是我们解决抽象问题的一种比较有效的策略.3.3 注重将实际问题模型化策略数学的抽象离不开模型化.而数学的模型化的一种表现形式即是：在现实生活中一些具体问题，需要通过建立数学模型来解决，这就是通常所说的数学建模. 函数的应用人教版《必修一》除了渗透在第一、二两章之外还在第三章第二节专门研究了《函数模型及其应用》，众所周知，这是教学的一个难点，目前的现状是:学生觉得抽象，老师觉得讲不讲一个样，即使教师和学生在这上面花费的精力不少，但收效甚微.那么如何化解这一难点？我们举例说明之.【案例4】教材P60 按复利计算利息的一种储蓄，本金为元，每期利率为，设本利和为元，存期为，写出本利和随存期变化的函数解析式.如果存入本金元，每期利率为%，试计算年后的本利和是多少（精确到元）？【案例5】某商人如果将进价为8元的商品按每件10元出售时，每天销售100件，现在他采取提高销售价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每提高1元，销售数量就减少10件，他将售价定为多少时获利最大？高一学生对此类题感到茫然，认为抽象，不知从何下手.笔者认为导致他们认知障碍的原因及相应的对策如下：其一，由复杂的问题背景引起的障碍.函数应用题源于实际问题，是一个可以转化为纯数学问题来解答的实际问题.客观现实的多样性和复杂性使得问题的背景很复杂.它牵涉到客观物质现象、社会生产生活的方方面面.比如，上面两题，就牵涉到银行利息、商品利润的计算问题，很显然，学生对这方面的常识了解不多，缺乏相关的经验，面对一大堆非形式化的材料，不会去粗取精、去伪存真地理解问题的本质.因此，平时引导学生多读读科普读物，了解一些背景知识对解决函数应用题是有帮助的.其二，不理解基本术语的意义引起的障碍.由于学生不懂或不理解诸如：复利、利息、本金、利率、存期、进价、售价、利润这些表示数量关系的基本术语，故感觉问题“抽象”.因此，对于专有名词，教师应有计划、有步骤地将现代生产、生活中的常识介绍给学生，了解熟悉相关术语及对应的实际意义，逐步积累这些方面的经验.其三，提炼不出问题当中数量之间的关系式，找不到正确的函数模型.以【案例5】为例，我们不妨将其设置为以下的“问题链”：①销售利润如何计算？②“销售数量”如何列式？③“每提高元，销售数量就减少件”是什么意思？是相对谁而言的？④如果售价为，则商品提高了多少元？销售数量减少了多少？减少之后销售数量变成了多少？⑤利润和售价的函数是什么函数类型？我们一般采用什么方式求其最值？⑥如果将题中“每提高元”改成“每提高元”，函数表达式有何变化？将以上“问题链”逐一成功解开，相信学生对其中数量关系的推演便会有了深刻地认识.所谓的“抽象”便。