1984年高考数学全国卷(理科)及其参考答案.doc

11984 年高考数学全国卷（理科）及其参考答案（这份试题共八道大题，满分 120分 奎 屯王 新 敞新 疆第九题是附加题，满分 10分，不计入总分）一． （本题满分 15 分）本题共有 5 小题，每小题都给出代号为A，B，C ，D 的四个结论，其中只有一个结论是正确的 奎 屯王 新 敞新 疆把正确结论的代号写在题后的圆括号内 奎 屯王 新 敞新 疆每一个小题：选对的得 3 分;不选，选错或者选出的代号超过一个的（不论是否都写在圆括号内） ，一律得负1 分 奎 屯王 新 敞新 疆1． 数 集 X={（ 2n+1） π ， n是 整 数 }与 数 集 Y={（ 4k 1） π ， k是 整 数 }之 间 的关 系 是 （ C ）（A）X Y （B）X Y （C）X=Y （D）X≠Y2．如果圆 x2+y2+Gx+Ey+F=0与 x轴相切于原点，那么（ C ）（A）F=0，G≠0，E≠0. （B）E=0，F=0，G≠0.（C）G=0，F=0，E≠0. （D）G=0，E=0，F≠0.3.如果 n是正整数，那么 的值 （ B ）)1]()1[82n（A）一定是零 奎 屯王 新 敞新 疆 （B）一定是偶数 奎 屯王 新 敞新 疆（C）是整数但不一定是偶数 （D）不一定是整数 奎 屯王 新 敞新 疆4. 大于 的充分条件是 （ A ）)arcos(xxarcos（A） （B）]1,0)0,1(x（C） （D）[x ]2[5．如果 θ 是第二象限角，且满足 那么,sinsico2（A）是第一象限角 （B）是第三象限角 （ B ）2（C）可能是第一象限角，也可能是第三象限角（D）是第二象限角二． （本题满分 24分）本题共 6小题，每一个小题满分 4分 奎 屯王 新 敞新 疆只要求直接写出结果）1．已 知 圆 柱 的 侧 面 展 开 图 是 边 长 为 2与 4的 矩 形 ， 求 圆 柱 的 体 积 奎 屯王 新 敞新 疆答： .84或2.函数 在什么区间上是增函数？)4(log25.0x答：x＜-2.3．求方程 的解集 奎 屯王 新 敞新 疆21)cs(inx答： },|{},127|{ ZnZx 4．求 的展开式中的常数项 奎 屯王 新 敞新 疆3)||(答：-20 奎 屯王 新 敞新 疆5．求 的值 奎 屯王 新 敞新 疆132limn答：06．要排一张有 6个歌唱节目和 4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，问有多少种不同的排法（只要求写出式子，不必计算） 奎 屯王 新 敞新 疆答： !647P三． （本题满分 12分）本题只要求画出图形 奎 屯王 新 敞新 疆1．设 画出函数 y=H(x-1)的图象 奎 屯王 新 敞新 疆,0,1)(xH当当32．画出极坐标方程 的曲线 奎 屯王 新 敞新 疆)0()4(2解：四． （本题满分 12分）已知三个平面两两相交，有三条交线 奎 屯王 新 敞新 疆求证这三条交线交于一点或互相平行 奎 屯王 新 敞新 疆证：设三个平面为 α，β，γ，且 .,,abc.,,, bcc从而 c与 b或交于一点或互相平行 奎 屯王 新 敞新 疆1．若 c与 b交于一点，设 ;,,. PcPc有且由aP于 是有又 由 .,∴所以 ,b,c交于一点（即 P点）a2.若 c∥b,则由 accb /,,./, 可 知且又 由有 奎 屯王 新 敞新 疆所以 ,b,c互相平行 奎 屯王 新 敞新 疆a五． （本题满分 14分）设 c,d,x为实数，c≠0，x 为未知数 奎 屯王 新 敞新 疆讨论方程 在什么情1log)(xdc况下有解 奎 屯王 新 敞新 疆有解时求出它的解 奎 屯王 新 敞新 疆解：原方程有解的充要条件是：2． 4O 1 2 X 1． Y 1 0 O 1 X P b αβ aγ c b α β aγ c 4(4) )(3 ,0(2) 1 ,1xdcx由条件（4）知 ，所以 奎 屯王 新 敞新 疆再由 c≠0，可得1xdc12dcx.12x又由 及 x＞0，知 ，即条件（2）包含在条件)(c 0xc（1）及（4）中 奎 屯王 新 敞新 疆再由条件（3）及 ，知 因此，原条件可简化为以下的1)(xdc.等价条件组：(6) .1x5 ,1 02cd由条件（1） （6）知 这个不等式仅在以下两种情形下成立：.01cd①c＞0,1-d＞0,即 c＞0,d＜1;②c＜0,1-d＜0,即 c＜0,d＞1.再由条件（1） （5）及（6）可知 dc1从 而 ， 当 c＞ 0,d＜ 1且 时 ， 或 者 当 c＜ 0,d＞ 1且 时 ，原c dc方程有解，它的解是 奎 屯王 新 敞新 疆x六．（本题满分16分）1．设 ，实系数一元二次方程 有两个虚数根z 1,z2.0p 02qpz再设z 1,z2在复平面内的对应点是Z 1，Z 2 奎 屯王 新 敞新 疆求以Z 1，Z 2为焦点且经过原点的椭圆的长轴的长 奎 屯王 新 敞新 疆（7分）52．求经过定点M（1，2），以y轴为准线，离心率为 的椭圆的左顶21点的轨迹方程 奎 屯王 新 敞新 疆（9分）解：1.因为p,q为实数， ，z 1,z2为虚数，所以0p,4)2(2qp由 z1,z2为共轭复数，知 Z1，Z 2关于 x轴对称，所以椭圆短轴在 x轴上 奎 屯王 新 敞新 疆又由椭圆经过原点，可知原点为椭圆短轴的一端点 奎 屯王 新 敞新 疆根据椭圆的性质，复数加、减法几何意义及一元二次方程根与系数的关系，可得椭圆的短轴长=2b=|z 1+z2|=2|p|,焦距离=2c=|z 1-z2|= ,22121|4)(| pqzz长轴长=2a= .qcb2.因为椭圆经过点 M（1，2），且以 y轴为准线，所以椭圆在 y轴右侧，长轴平行于 x轴 奎 屯王 新 敞新 疆设椭圆左顶点为 A（x,y），因为椭圆的离心率为 ，21所以左顶点 A到左焦点 F的距离为 A到 y轴的距离的 ，从而左焦点 F的坐标为 奎 屯王 新 敞新 疆),23(yx设 d为点 M到 y轴的距离，则 d=1 奎 屯王 新 敞新 疆根据 及两点间距离公式，可得21||1)(4)3(9,22yx即这就是所求的轨迹方程 奎 屯王 新 敞新 疆6七．（本题满分 15分）在△ABC 中，∠A，∠B，∠C 所对的边分别为 ,b,c，且 c=10，a，P 为△ABC 的内切圆上的动点 奎 屯王 新 敞新 疆求点 P到顶点 A，B，C34cosabBA的距离的平方和的最大值与最小值 奎 屯王 新 敞新 疆解：由 ，运用正弦定理，有cs .2sinicosincsi,ino BABABA因为 A≠B，所以 2A=π-2B，即 A+B= 奎 屯王 新 敞新 疆由此可知△ABC 是直角三角形 奎 屯王 新 敞新 疆由 c=10， .8,60,,3422 babacba可 得以 及如图，设△ABC 的内切圆圆心为 O＇，切点分别为 D，E，F，则AD+DB+EC= 但上式中 AD+DB=c=10，.12)680(21所以内切圆半径 r=EC=2.如图建立坐标系，则内切圆方程为:(x-2)2+(y-2)2=4设圆上动点 P的坐标为(x,y),则 因为 P点在内切圆上，所.48764376])2()[(10|||2 2222xxyyxxxPCBAS以 ，0xS 最大值 =88-0=88，S 最小值 =88-16=72 奎 屯王 新 敞新 疆Y B（0，6） D E O＇ P（x,y) X O C（0，0） A（8，0） 7解二：同解一，设内切圆的参数方程为 ),20(sin2coyx从而 2|||PCBPAS cos80)sin()cos2( )4in2()(622 2因为 ，所以0S 最大值 =80+8=88，S 最小值 =80-8=72 奎 屯王 新 敞新 疆八． （本题满分 12分）设 ＞2，给定数列{x n},其中 x1= , 求证：aa)2,1()21nxn1． );2,(1,xnn且2． );,1(,3na那 么如 果3． .3,34lg, 1nxa必 有时那 么 当如 果1．证：先证明 xn＞2(n=1,2,…）用数学归纳法 奎 屯王 新 敞新 疆由条件 ＞2 及 x1= 知不等式当 n=1时成立 奎 屯王 新 敞新 疆aa假设不等式当 n=k(k≥1)时成立 奎 屯王 新 敞新 疆当 n=k+1时，因为由条件及归纳假设知 ,0)2(0421  kkk xxx再由归纳假设知不等式 成立，所以不等式 也成立21kx8奎 屯王 新 敞新 疆从而不等式 xn＞2 对于所有的正整数 n成立 奎 屯王 新 敞新 疆(归纳法的第二步也可这样证： 2)(1]2)1[(21 kkkxx所以不等式 xn>2(n=1,2,…）成立 奎 屯王 新 敞新 疆）再证明 由条件及 xn>2(n=1,2,…）知).2,1(1n因此不等式 也成立 奎 屯王 新 敞新 疆,)(1  nnn xxx ).2,1(1n（也可这样证：对所有正整数 n有 .1)2(1)(21nnxx还可这样证：对所有正整数 n有所以 ）,0)1(21nnxx ).2,1(1xn2．证一：用 数 学 归 纳 法 奎 屯王 新 敞新 疆由 条 件 x1= ≤ 3知 不 等 式 当 n=1时 成 立 奎 屯王 新 敞新 疆a假设不等式当 n=k(k≥1)时成立 奎 屯王 新 敞新 疆当 n=k+1时，由条件及 知2kx,0)]21()[( )1(212kkk kkkkxx再由 及归纳假设知，上面最后一个不等式一定成立，所以不等2kx式 也成立，从而不等式 对所有的正整数 n成立 奎 屯王 新 敞新 疆k11 12nnx9⌒⌒证二：用数学归纳法 奎 屯王 新 敞新 疆证不等式当 n=k+1时成立用以下证法：由条件知 再由 及归纳假设可得)1(21kkkxx2kxkkk 2)(113．证：先证明若 这是因为.43,1kkx则 .)(2)1(21 kkxx然后用反证法 奎 屯王 新 敞新 疆若当 时，有 则由第 1小题知34lgan,31kx.121nxx因此，由上面证明的结论及 x1= 可得a,)43(32311 nnnxx即 ，这与假设矛盾 奎 屯王 新 敞新。