二次函数竞赛题.doc

二次函数竞赛题1．二次函数的图象的顶点为D，与x轴正方向从左至右依次交于A，B两点，与y轴正方向交于C点，若△ABD和△OBC均为等腰直角三角形（O为坐标原点），则 ．2．在直角坐标系中有三点A（0，1），B（1，3），C（2，6）；已知直线上横坐标为0、1、2的点分别为D、E、F.试求的值使得AD2+BE2+CF2达到最小值.3.（2004年“TRULY@信利杯”全国初中数学竞赛试题）实数x、y、z满足x+y+z=5，xy+yz+zx=3，则z的最大值是_______．4.已知直线与抛物线相交于A、B两点，O为坐标原点，那么△OAB的面积等于___________5.（2003年“TRULY@信利杯”全国初中数学竞赛试题）已知二次函数y=ax2+bx+c（其中a是正整数）的图象经过点A（-1，4）与点B（2，1），并且与x轴有两个不同的交点，则b+c的最大值为________．6.设抛物线的图象与x轴只有一个交点，（1）求a的值；（2）求的值.7. 通过实验研究，专家们发现：初中学生听课的注意力指标数是随着老师讲课时间的变化而变化的，讲课开始时，学生的兴趣激增，中间有一段时间，学生的兴趣保持平稳的状态，随后开始分散. 学生注意力指标数y随时间x（分钟）变化的函数图象如图所示（y越大表示学生注意力越集中）. 当时，图象是抛物线的一部分，当和时，图象是线段.（1）当时，求注意力指标数y与时间x的函数关系式；（2）一道数学竞赛题需要讲解24分钟. 问老师能否经过适当安排，使学生在听这道题时，注意力的指标数都不低于36.8．课题研究：现有边长为120厘米的正方形铁皮，准备将它设计并制成一个开口的水槽，使水槽能通过的水的流量最大． 初三（1）班数学兴趣小组经讨论得出结论：在水流速度一定的情况下，水槽的横截面面积越大，则通过水槽的水的流量越大．为此，他们对水槽的横截面进行了如下探索： （1）方案①：把它折成横截面为直角三角形的水槽（如图a）． 若∠ACB=90°，设AC=x厘米，该水槽的横截面面积为y厘米2，请你写出y关于x的函数关系式（不必写出x的取值范围），并求出当x取何值时，y的值最大，最大值又是多少？ 方案②：把它折成横截面为等腰梯形的水槽（如图b）．若∠ABC=120°，请你求出该水槽的横截面面积的最大值，并与方案①中的y的最大值比较大小．（2）假如你是该兴趣小组中的成员，请你再提供两种方案，使你所设计的水槽的横截面面积更大．画出你设计的草图，标上必要的数据（不要求写出解答过程）． 9．如图，抛物线与双曲线相交于点A，B. 已知点A的坐标为（1，4），点B在第三象限内，且△AOB的面积为3（O为坐标原点）.（1）求实数a，b，k的值；（2）过抛物线上点A作直线AC∥x轴，交抛物线于另一点C，求所有满足△EOC∽△AOB的点E的坐标.10.如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点.（1）请求出抛物线顶点的坐标（用含的代数式表示），两点的坐标；（2）经探究可知，与的面积比不变，试求出这个比值；（3）是否存在使为直角三角形的抛物线？若存在，请求出；如果不存在，请说明理由.11．已知抛物线与动直线有公共点，，且. （1）求实数t的取值范围； （2）当t为何值时，c取到最小值，并求出c的最小值.12.已知，，，且，求的最小值.13. 在自变量x的取值范围59≤x≤60内，二次函数的函数值中整数的个数是( )A.59 B.120 C.118 D.6014. 在直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B的两点.若A，B两点到原点的距离分别为OA，OB，且满足，则m=__ ___.15. Rt△ABC的三个顶点A，B，C均在抛物线上，并且斜边AB平行于x轴．若斜边上的高为h，则（ ）（A）h<1 （B）h=1 （C）1216. 设0＜k＜1，关于x的一次函数，当1≤x≤2时的最大值是（ ）（A）k （B） （C） （D）17. 平面直角坐标系中，如果把横坐标、纵坐标都是整数的点叫做整点，那么函数的图象上整点的个数是 （ ）（A）2个 （B）4个 （C）6个 （D）8个18. 函数的最小值是 ．19.对，二次函数的最小值为 （　　）　A. B. C. D. 20.两抛物线和与x轴交于同一点（非原点），且a、b、c为正数，a≠c，则以a、b、c为边的三角形一定是 （　　）　 A. 等腰直角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰或直角三角形21.当n=1，2，3，……，2003，2004时，二次函数的图象与x轴所截得的线段长度之和为（　　）　A. B. C. D. 22.已知二次函数图象如图6-2所示，则下列式子： ab，ac，a+b+c，a-b+c，2a+b，2a-b中，其值为正的式子共有 个.23.如果当m取不等于0和1的任意实数时，抛物线在平面直角坐标系上都过两个定点，那么这两个定点间的距离为＿＿＿＿＿＿＿24.已知抛物线与x轴两个交点A、B不全在原点的左侧，抛物线顶点为C，要使△ABC恰为等边三角形，那么k的值为＿＿＿＿＿＿＿25.设x为实数，则函数的最小值是＿＿＿＿＿＿26.设二次函数 的图象经过点（2，-1）， 且与x轴交于不同的两点A（x1，0） B（x2，0），M为二次函数图象的顶点，求使△AMB面积最小时的二次函数的解析式.27.已知：3x2+2y2=6x, x和y 都是实数，求：x2+y2 的最大、最小值.28.中,∠B=，AC=1，求BA+BC的最大值及这时三角形的形状.29.如图，点、、在直线上，点、、、在直线上，若，从如图所示 的位置出发，沿直线向右匀速运动，直到与重合．运动过程中与矩形重合部分的面积随时间变化的图象大致是（ ）30.（南京）如图，、分别是边长为的正方形的边上的点，,直线 交的延长线于，过线段上的一个动点作，，垂足分别为，设，矩形的面积为⑴ 求与之间的函数关系式；⑵ 当为何值时，矩形的面积最大，最大面积为多少？31.已知某种水果的批发单价与批发量的函数关系如图（1）所示．（1）请说明图中①、②两段函数图象的实际意义．（2）写出批发该种水果的资金金额w（元）与批发量m（kg）之间的函数关系式；在下图的坐标系中画出该函数图象；指出金额在什么范围内，以同样的资金可以批发到较多数量的该种水果．（3）经调查，某经销商销售该种水果的日最高销量与零售价之间的函数关系如图（2）所示，该经销商拟每日售出60kg以上该种水果，且当日零售价不变，请你帮助该经销商设计进货和销售的方案，使得当日获得的利润最大.32．函数的最小值为m，则当m达到最大时，x＝______（2004年全国初中数学联赛）33．设a，b为实常数，k取任意实数时，函数的图像与x轴交于点A（1，0）（1）求a，b的值（2）若函数与x轴的另一个交点为B，当k变化时，求AB的最大值34.（2007年福州）如图所示，二次函数（a≠0）的图象经过点（－1，2），且与x轴交点的横坐标分别为、，其中－2＜＜－1，0＜＜1，下列结论：①；②；③a＜－1；④.其中正确的有：（ ） A、1个 B、2个 C、3个 D、4个 35.（2007年天门）施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其高度为6米，宽度OM为12米，现在O点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系（如图所示）． （1）直接写出点M及抛物线顶点P的坐标； （2）求出这条抛物线的函数解析式；（3）施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”ABCD，使A、D点在抛物线上，B、C点在地面OM上．为了筹备材料，需求出“脚手架”三根木杆AB、AD、DC的长度之和的最大值是多少？请你帮施工队计算一下． 36.（2009年天津市）已知函数为方程的两个根，点在函数的图象上．（Ⅰ）若，求函数的解析式；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若函数与的图象的两个交点为，当的面积为时，求的值；（Ⅲ）若，当时，试确定三者之间的大小关系，并说明理由．37. 已知点A(0,3)，B(-2,-1)，C(2,-1) P(t,t2)为抛物线y＝x2上位于三角形ABC内（包括边界）的一动点，BP所在的直线交AC于E， CP所在的直线交AB于F。

将表示为自变量t的函数38．在直角坐标系xOy中，一次函数的图象与轴、轴的正半轴分别交于A，B两点，且使得△OAB的面积值等于．（1） 用b表示k；（2） 求△OAB面积的最小值． 39．已知点A，B的坐标分别为（1，0），（2，0）． 若二次函数的图象与线段AB恰有一个交点，则的取值范围是 ．40．已知点M，N的坐标分别为（0，1），（0，－1），点P是抛物线上的一个动点．（1）判断以点P为圆心，PM为半径的圆与直线的位置关系；（2）设直线PM与抛物线的另一个交点为点Q，连接NP，NQ，求证：．。