《数学物理方程》习题参考答案.docx

《数学物理方程》习题参考答案 〔A〕1. 判定方程的类型，并将其化成标准形式：习题一22u y u 1 u 0 .x 2 y2 2 y0,当y0时，双曲型 .2解： a12a11a 22y 0,当y0时,椭圆型 .0,当y0时，抛物型 .①当 y 0 时，所给方程为双曲型，其特点方程为〔dy〕 2y〔dx〕 20, 即〔dy〕 2[ y〔dx〕 2 ] 0,就是 〔dyydx〕〔dyydx〕 0 .积分之，得x 2 yc ，此即两族相异的实特点线 .作可逆自变量代换x 2 y,x 2 y,就 1, 1,x x y1 , 1 .y y yu ux xu 1 〔 y yu uyu u 〕,u 2 u, x22u 2 u 2 u2 2 2 ,2222u 1 1 〔 u u 〕 1 [ u 〔 1 〕 u 1y2 2 〔y 〕3y y y222u 〔 1 〕 u 1 ]2222y y1 1 〔 u2 y yu 〕 〔 u 2 uu 〕〔1 〕.2y将这些偏导数代入原方程，得附注 ：如令x, 碰巧2 y ,u u 0 （双曲型的另一标准形） ，这是巧合 .②当 y 0 时，所给方程为椭圆型，其特点方程为〔dy〕2 y〔dx〕2 0即 〔dyi ydx〕〔dy iydx〕 0.其特点线为x i 2 yc 〔 或 2 y ixc〕 .作可逆自变量代换x,2 y,就 1,x x0 , 0 , 1 ,y y yu x2u 2 uu , u y2u1 u , y1 1 u1 2 ux2 2 , y2.2 y y y 2将这些偏导数代入原方程，得22u 1 u2 y2u 1 u20 ,2 y2u 2 u2 20 , 此即（ y0 时）所求之标准形 .③ y 0 时，原方程变为2 u 1 ux2 2 y0 , 已是标准形了（不必再化） .2. 化标准形：2u 2 u 2u2 u 2u 2ux2 z22 2 2 2 0 .x y x z x t z t2解： Lu 〔 1223 1 22 1 32 1 42 3 4〕u .1这是 23xy 的二次型，于是4t1111100010111010zLu T A u ,其中 A 为实对称矩阵 . 就 可逆矩阵 M ，使 BMAM T为对角形 .令 M T, 其中x y zt Lu 〔 1 ,2 就3 4 〕 T MAM T u〔 〕T Bu .M 的找法许多，可配方，可从矩阵入手等 .1 0 0 01 1 0 0取 M0 1 1 00 0 1 1N 1,N T 〔M11110111001100011 〕T , N T , X x y 1 N X MXztxM y . ztLu T A u〔 〕TMAM T u就〔 〕T B u2u 2 u22x y 2u 2 u22.z t 这是超双曲型方程的标准形式 .1. 打算任意函数法：习题二utt2a u xx ,(1). 求解第一问题u x at 0u x at 0〔 x〕,〔 x〕.〔 〔0〕〔0〕〕 .解：所给方程为双曲型，其特点线为x at c .x at,令x at,就可将方程化为u 0 .其一般解为u〔 x,t 〕f1 〔xat 〕f 2 〔 xat 〕（其中f1 , f 2 为二次连续可微函数） .由定解条件有f1 〔2x〕f1 〔0〕f 2 〔0〕f 2 〔2x〕〔 x〕,〔 x〕.f 1 〔0〕f 2 〔0〕〔0〕〔0〕 .f1 〔2x〕就〔 x〕f 2 〔0〕,f1 〔 X 〕〔 X 〕2f 2 〔0〕,f 2 〔2x〕〔x〕f1 〔 0〕,f 2 〔Y〕〔 Y 〕 2f1 〔0〕.故 u〔x,t 〕f1 〔x〔 x2at〕at 〕f 2 〔 x〔 x2at〕at 〕[ f1〔0〕f2 〔0〕]xx〔 x at 〕 2〔 x at 〕 2〔0〕.u tta 2u ,(2). 求解其次问题解：泛定方程的一般解为u x atu t 00 〔 x〕,1 〔 x〕.〔 0 〔0〕1 〔0〕〕u〔x,t 〕f1 〔xat〕f 2 〔 xat 〕由定解条件有f1 〔2x〕f1 〔 x〕f 2 〔0〕f 2 〔 x〕0 〔x〕,1 〔x〕.〔 f1 〔0〕f 2 〔0〕0 〔0〕〕就 f1 〔 x〕〔 x 〕 2f 2 〔0〕,0f2 〔 x〕1 〔x〕f1 〔x〕1 〔x〕〔 x 〕 2f 2 〔0〕.故(3). 证明方程u〔x,t 〕f1 〔x〔x0at〕at 〕2f 2 〔 x〔x0at〕at 〕201 〔 xat 〕.1的解可以写成[〔1xx〕 2 u ]h xa 2 〔1x〕 2 u2h t 2u〔 x,t〕1 [ f 〔x h xat 〕f 2 〔 xat 〕] .由此求该方程满意 Cauchy 条件u t 0ut t 0〔 x〕,〔 x〕的解 .解：令v〔 x, t〕〔h x〕u 〔 x, t 〕, 就v〔 x, t 〕满意方程vtta 2 v .xxv〔x,t 〕f1 〔xat〕f 2 〔 xat〕 .故 u 〔x, t 〕1 [ fh x1 〔 xat 〕f 2 〔xat 〕] .vtta 2v ,xx因 v〔 x, t〕 满意由 DAlembert 公式，得v t 0 〔hvt t 0 〔hx〕 0 〔 x〕x〕 1 〔 x〕〔 x〕,〔 x〕,v〔 x, t〕1 [ 〔 xat〕〔 x at〕]x at1 〔 〕d2 2a x at1 [〔 h〔 x at 〕〕0 〔 xat 〕〔h 〔 xat 〕〕0 〔xat 〕] + 1x at〔h〕 1 〔 〕d2故 u 〔 x, t〕1 1 〔h1 v〔 x, t 〕 h x〔x at 〕〕 0 〔xat 〕〔h 〔 xat 〕〕0 〔 xat 〕2a x atx at1 〔h〕 1 〔 〕dh x 22a x at即为所求之解 .2. Poisson 公式及应用：u tta 2 〔uu yyu zz 〕 〔t0〕,xx(1). 如 uu 〔x,y, z, t〕是初值问题u t 0f 〔x〕g〔 y〕 ,的解，试求解的表达式 .ut t 0〔 y〕〔 z〕解： uu I u IIu III（线性叠加原理） ，其中u I , uII , u III分别满意如下的初值问题：utta 2 〔uu yyu zz 〕 〔t0〕,xxu I :u t 0f 〔 x〕,u II :ut tu ttu t0 0.xxa 2 〔u0 g 〔 y〕,u yyu zz 〕 〔t0〕,xxu t t 0 〔 y〕.u tta 2 〔uu yyu zz 〕 〔t0〕,由 Poisson 公式，可得u III :u t 0 0,ut t 0〔z〕.u I [t 41 f 〔SMa 2tat〕dS]x1at[ f 〔〕d ]。