初中高中数学竞赛常用公式表达式总结.docx

初中高中数学竞赛常用公式表达式总结初中高中数学竞赛常用公式表达式总结乘法与因式分解a2-b2=(a+b)(a-b)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)a3-b3=(a-b(a2+ab+b2)三角不等式|a+b|≤|a|+|b||a-b|≤|a|+|b||a|≤b-b≤a≤b（在三角形中，必然有两边之和大于第三边，即为三角不等式三角不等式1三角不等式还有以下推论：两条相交线段AB、CD，必有AC+BD小于AB+CDa|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|(定理)，也称为三角不等式加强条件：||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|也成立，这个不等式也可称为向量的三角不等式（其中a，b分别为向量a和向量b）将三角函数的性质融入不等式.如:当X在(0,90*)时,有sinxsin(A/2)=√((1-cosA)/2)sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)cos(A/2)=√((1+cosA)/2)cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA))tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA))ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA))ctg(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA))sin^2(α/2)=(1-cosα)/2cos^2(α/2)=(1+cosα)/2tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα)sin(α/2)=±[(1-cosα)/2]^(1/2)(正负由α/2所在象限决定）cos(α/2)=±[(1+cosα)/2]^(1/2)(正负由α/2所在象限决定）tan(α/2)=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα=±[(1-cosα）/（1+cosα）]^(1/2)推导：tan（α/2）=sin（α/2）/cos（α/2）=[2sin（α/4）cos（α/4]/[2cos(α/4)^2-1]=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα和差化积2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B)2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B)-2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosBtanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosBctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB-ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB某些数列前n项和1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/21+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n22+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1)12+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=n(n+1)(2n+1)/613+23+33+43+53+63+…n3=n2(n+1)2/41*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R注：其中R表示三角形的外接圆半径余弦定理b2=a2+c2-2accosB注：角B是边a和边c的夹角圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2注：（a,b）是圆心坐标圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0注：D2+E2-4F>0抛物线标准方程y2=2pxy2=-2pxx2=2pyx2=-2py直棱柱侧面积S=c*h斜棱柱侧面积S=c"*h正棱锥侧面积S=1/2c*h"正棱台侧面积S=1/2(c+c")h"圆台侧面积S=1/2(c+c")l=pi(R+r)l球的表面积S=4πr^圆柱侧面积S=c*h=2pi*h圆锥侧面积S=1/2*c*l=pi*r*l弧长公式l=a*ra是圆心角的弧度数r>0扇形面积公式s=1/2*l*r锥体体积公式V=1/3*S*H圆锥体体积公式V=1/3*pi*r2h斜棱柱体积V=S"L注：其中,S"是直截面面积，L是侧棱长柱体体积公式V=s*h圆柱体V=pi*r2h扩展阅读：高中数学竞赛精华(小结)高中数学竞赛精华小结一、三角函数常用公式由于是讲竞赛，这里就不再重复过于基础的东西，例如六种三角函数之间的转换，两角和与差的三角函数，二倍角公式等等。

但是由于现在的教材中常用公式删得太多，有些还是不能不写先从最基础的开始（这些必须熟练掌握）：半角公式：sin21cos21cos21cos1cossin1cossin1coscos2tan2积化和差：sincos1sinsin21cossinsinsin21coscoscoscos21sinsincoscos2和差化积：sinsin2sin22sinsin2cossin22coscos2coscos22coscos2sinsin22万能公式：cossin22tan21tan1tan2cos221tantan22tan1tan2三倍角公式：sin33sin4sin34sin60sinsin60cos34cos33cos4cos60coscos60二、某些特殊角的三角函数值除了课本中的以外，还有一些sincostan156246245146246242375231872514三、三角函数求值给出一个复杂的式子，要求化简这样的题目经常考，而且一般化出来都是一个具体值要熟练应用上面的常用式子，个人认为和差化积、积化和差是竞赛中最常用的，如果看到一些不常用的角，应当考虑用和差化积、积化和差，一般情况下直接使用不了的时候，可以考虑先乘一个三角函数，然后利用积化和差化简，最后再把这个三角函数除下去。

举个例子246coscos7772提示：乘以2sin，化简后再除下去7求值：cos求值：cos10cos50sin40sin80来个复杂的设n为正整数，求证22sini1ni2n12n12n另外这个题目也可以用复数的知识来解决，在复数的那一章节里再讲四、三角不等式证明最常用的公式一般就是：x为锐角，则sinxxtanx；还有就是正余弦的有界性例求证：x为锐角，sinx+tanx典型例子：an1aanbcand注：我感觉一般非用不动点不可的也就这个了，所以记住它的解法就足够了我们如果用一般方法解决此题也不是不可以，只是又要待定系数，又要求倒数之类的，太复杂，如果用不动点的方法，此题就很容易了令xaxb，即cx2daxb0，cxd令此方程的两个根为x1，x2，若x1=x2则有11pan1x1anx1其中k可以用待定系数法求解，然后再利用等差数列通项公式求解注：如果有能力，可以将p的表达式记住，p=若x1≠x2则有2cadan1x1ax1qnan1x2anx2其中k可以用待定系数法求解，然后再利用等比数列通项公式求解注：如果有能力，可以将q的表达式记住，q=acx1acx2(3)特征根法特征根法是专用来求线性递推式的好方法。

先来了解特征方程的一般例子，通过这个来学会使用特征方程①an2pan1qan特征方程为x2=px+q，令其两根为x1，x2nn则其通项公式为anAx1，A、B用待定系数法求得Bx2②an3pan2qan1ran特征方程为x3=px2+qx+r，令其三根为x1，x2，x3则其通项公式为anAx1Bx2Cx3，A、B、C用待定系数法求得注：通过这两个例子我们应当能够得到特征方程解线性递归式的一般方法，可以试着写出对于一般线性递归式的特征方程和通项公式，鉴于3次以上的方程求解比较困难，且竞赛中也不多见，我们仅需掌握这两种就够了4)数学归纳法简单说就是根据前几项的规律猜出一个结果然后用数学归纳法去证这样的题虽说有不少但是要提高不完全归纳的水平实在不易大家应当都会用数学归纳法，因此这里不详细说了nnn但需要记得有这样一个方法，适当的时候可以拿出来用5)联系三角函数三角函数是个很奇妙的东西，看看下面的例子an12an21an看起来似乎摸不着头脑，只需联系正切二倍角公式，马上就迎刃而解注：这需要我们对三角函数中的各种公式用得很熟，这样的题目竞赛书中能见到很多例数列an定义如下：a12，求an通项2，an124an注：这个不太好看出来，试试大胆的猜想，然后去验证。

6)迭代法先了解迭代的含义f0xx，f1xfx，f2xffx，f3xfffx，f右上角的数字叫做迭代指数，其中f再来了解复合的表示nx是表示fnx的反函数fgxfgx，fghxfghx如果设Fxg1fgx，则Fnxg1fngx，就可以将求F(x)的迭代转变为求f(x)的迭代这个公式很容易证明使用迭代法求值的基础而在数列中我们可以将递推式看成an1Fan，因此求通项和求函数迭代就是一样的了我们尽量找到好的g(x)，以便让f(x)变得足够简单，这样求f(x)的n次迭代就很容易得到了从而再得到F(x)的n次迭代式即为通项公式练习an满足a11，a22，a2n1已知数列a2na2n1，a2n2a2n1a2n，试求数列的2通项公式注：此题比较综合，需熟练掌握各种求通项公式的常用方法下面是我的一个原创题目：已知数列an满足a10，a21，an1nanan1，求该数列的通项公式2数列求和求和的方法很多，像裂项求和，错位相减等等，这些知识就算单纯应付高考也应该都掌握了，这里不再赘述主要写竞赛中应当掌握的方法阿贝尔恒等式阿贝尔（Abel）恒等式有多种形式，最一般的是abSbkkkk1k1knn1kbk1Snbn其中Skai1k注：个人认为，掌握这一个就够了，当然还有更为一般的形式，但是不容易记，也不常用。

Abel恒等式就是给出了一个新的求和方法很多时候能简化不少例：假设a1a2an0，且a1，求证：2ii1i1nnaiii11计数问题1抽屉原则我第一次接触抽屉原则，是在一本奥赛书的答案上，有一步骤是：由抽屉原则可得，于是我就问同学，什么是抽屉原则，同学告诉我，三个苹果放进两个抽屉，必有一个抽屉里至少有两个苹果后来才发现，抽屉原则不只是这么简单的，它有着广泛的应用以及许多种不同的变形，下面简单介绍一下抽屉原则抽屉原则的常见形式一，把n+k（k≥1）个物体以任意方式全部放入n个抽屉中，一定存在一个抽屉中至少有两个物体二，把mn+k（k≥1）个物体以任意方式全部放入n个抽屉中，一定存在一个抽屉中至少有m+1个物体三，把m1+m2+…+mn+k（k≥1）个物体以任意方式全部放入n个抽屉中，那么后在一个抽屉里至少放入了m1+1个物体，或在第二个抽屉里至少放入了m2+1个物体，，或在第n个抽屉里至少放入了mn+1个物体四，把m个物体以任意方式全部放入n个抽屉中，有两种情况：①当n|m时（n|m表示n整除m），一定存在一个抽屉中至少放入了个抽屉中至少放入了[m个物体；②当n不能整除m时，一定存在一nm]+1个物体（[x]表示不超过x的最大整数）n五，把无穷多个元素分成有限类，则至少有一类包含无穷多个元素。

注：背下来上面的几种形式没有必要，但应当清楚这些形式虽然不同，却都表示的一个意思理解它们的含义最重要在各种竞赛题中，往往抽屉原则考得不少，但一般不会很明显的让人看出来，构造抽屉才是抽屉原则中最难的东西一般来说，题目中一旦出现了“总有”“至少有”“总存在”之类的词，就暗示着我们：要构造抽屉了。