IIR数字滤波器的设计.ppt

第6章 IIR数字滤波器的设计§全通系统全通系统§最小相位系统最小相位系统§模拟低通滤波器设计模拟低通滤波器设计§脉冲响应不变法脉冲响应不变法§双线性变换法双线性变换法§模拟域频率变换模拟域频率变换定义：如果用Am(z)表示m 阶实系数全通滤波器的系统函数，则全通滤波器的定义全通滤波器的定义a)一阶全通滤波器的极点和零点极点为：零点为：一阶复系数全通滤波器一阶复系数全通滤波器b)一阶全通滤波器的频率响应故一阶全通滤波器的相位响应是单调递减的a)m阶全通滤波器的极点和零点 如zk为一个极点， 则zk* 也是一个极点, 1/zk和1/zk*必为系统零点b)m阶全通滤波器的频率响应m阶实系数全通系统阶实系数全通系统 m阶实系数全通系统可分解为m个一阶全通系统的积，由于一阶全通系统相位是递减的 m阶实系数全通系统的相位非正递减的阶实系数全通系统的相位非正递减的2阶实系数全通滤波器的相位响应(a)相位响应的主值 (b)解卷绕后的相位响应定义：零极点都在单位圆内的因果系统称为最小相位系统记为Hmin(z)任一实系数因果稳定系统的H(z)都可表示为 设系统H(z)只有一个零点在z = 1/a*在单位圆外，|a|<1，那么H(z)就能表示成 H(z)=H1(z)(z-1 - a*)按定义H1(z)是一个最小相位系统。

H(z)也可等效的表示为故 H(z) =Hmin(z) A1(z)最小相位系统最小相位系统例例 一实系数因果稳定系统的系统函数H(z)为由于系统的零点为z = -1/b，故这不是一最小相位系统和H(z)具有相同幅度响应的最小相位系统为 a=0.9，b=0.4时H(z)和Hmin(z)的相位响应最大相位系统(maximum-phase system): 一个稳定的的因果系统，零点全在单位圆外有理系统函数的稳定性有理系统函数的稳定性设有理系统函数H(z)的分母多项式为构造全通滤波器Am(z)由H(z)稳定的充要条件例例 已知2阶IIR系统的分母多项式为试确定系统稳定的条件解：由定义知 k2=d2所以系统稳定的条件为IIR滤波器设计的基本思想滤波器设计的基本思想§将数字滤波器的设计为模拟滤波器的设计将数字滤波器的设计为模拟滤波器的设计§设计满足技术指标的模拟滤波器设计满足技术指标的模拟滤波器§将模拟滤波器转换为数字滤波器将模拟滤波器转换为数字滤波器•模拟滤波器的技术要求模拟滤波器的技术要求•Butterworth模拟低通滤波器模拟低通滤波器•切比雪夫切比雪夫II型模拟低通滤波器型模拟低通滤波器•切比雪夫切比雪夫II型模拟低通滤波器型模拟低通滤波器•椭圆低通滤波器椭圆低通滤波器模拟低通滤波器的设计模拟低通滤波器的设计模拟滤波器的技术要求模拟滤波器的技术要求pw w: : 通带截止频率通带截止频率w ws: : 阻带截止频率阻带截止频率d d p: : 通带波动通带波动d d s: 阻带波动阻带波动通带衰减通带衰减(db)(passband Attenuation)阻带衰减阻带衰减(db )(stopband Attenuation)|H( jw w)|10通带通带过渡带过渡带阻带阻带pw wsw wsd dpd d- -1w wG(w w)=20log10|H(jw w)| dB 滤波器的滤波器的Gain函数函数w wc10N=1N=3N=50.707巴特沃斯低通滤波器巴特沃斯低通滤波器N: 滤波器阶数滤波器阶数性质：性质：2)幅度响应单调下降幅度响应单调下降(monotonically decreasing)1)|1)|H( ( j 0)|=1, |H(j¥)|=0, -20¥)|=0, -20log10|H( jw wc)| 3dbw wc: 3db 截频截频, 当当w wc =1时，称其为时，称其为 归一化的归一化的BWF在在w=w=0 0点做点做 Taylor series展开展开归一化的归一化的Butterworth滤波器滤波器(BWF)任意的任意的BWF和归一化和归一化BWF的关系的关系3) |H(jw w)|2在在w=w=0 0点点1到到2N- -1阶导数零。

称为最大平坦性阶导数零称为最大平坦性 (maximally flat magnitude filter)归一化归一化Butterworth滤波器的极点滤波器的极点条件：条件：h(t)是实的是实的H( jw w ) =H*(- - jw w )极点：共有共有2N个极点，为了保证系统的稳定，选左个极点，为了保证系统的稳定，选左半平面的半平面的N个极点为左半平面的为左半平面的N个极点个极点•当当N为偶数时为偶数时例：N=2,=p/4 ; k=1例：N=4,=p / 8, 3 p / 8; k=1 ,2•当当N为奇数时为奇数时例：N=1N=3例：设计一个满足下列指标BW型模拟滤波器p1 . 0=wp，p4 . 0=ws，dBAp1=，dBAs10=取N=2，将N=2带入通带满足的方程通带满足指标，阻带超过指标通带满足指标，阻带超过指标验证：验证： Ap=0.9999db ; As= 18.2795 db模拟Butterworth低通滤波器设计步骤:(1)由滤波器的设计指标wp、ws、Ap、As和式确定滤波器的阶数N(2) 确定wc(3)确定滤波器的系统函数H(s)Type I Chebyshev Lowpass filter(CB I 型型)w w) )((w wjH1cw wN=2N=3N=7e e: 通带波纹通带波纹 cw w：通带截频：通带截频 N：阶数：阶数(由阻带指标确定由阻带指标确定)CB I 型型 filter的的性质性质1)在在cw ww w£ ££ £0时，时，2)(w wjH在在 1 和和211e e+ +间振荡间振荡(equiripple filter)2)cw ww w³ ³时，时，2)(w wjH单调下降单调下降（（N 增大，下降加速）增大，下降加速）3)2211)(e ew w+ += =cjH e e控制了通带衰减控制了通带衰减N 为奇时为奇时 1)0(2= =jHN 为偶时为偶时 2211)0(e e+ += =jHw w) )((w wjH1cw wN=2N=3N=7CB I 型型 AF 设计步骤设计步骤1)通带截频确定通带截频确定pcw ww w= =2)通带指标确定通带指标确定e e3)阻带指标确定阻带指标确定N切比雪夫切比雪夫II型模拟低通滤波器型模拟低通滤波器椭圆低通滤波器椭圆低通滤波器MATLAB设计椭圆滤波器函：[N,Wc]=ellipord(Wp,Ws,Ap,As,'s')确定椭圆滤波器的阶数N。

Wc=Wp[num,den]=ellip(N,Ap,As,Wc,'s')确定阶数为N，通带参衰减为Ap dB，阻带衰减为As dB的椭圆滤波器的分子和分母多项式Wc是椭圆滤波器的通带截频•基本原理基本原理•脉冲响应不变法设计脉冲响应不变法设计DF的的步骤步骤•H(z)的确定的确定脉冲响应不变法脉冲响应不变法(Impulse Invariance)H(ejW)和H(jw)的关系：无混叠时：数字滤波器在W点的频响特性和模拟滤波器w = W/ T频响特性只差一个常数因子基本原理基本原理例例: 设H (s)是一个3dB截频为wc的一阶低通滤波器，1)用脉冲响应不变法求出H(z)2)如果用下图所示系统取代H (s)，比较两系统的幅度响应051015202500.20.40.60.81HzHeffHa fs=50 Hz02040608010000.20.40.60.81HzHeffHa fs=200 Hz脉冲响应不变法设计脉冲响应不变法设计DF的的步骤步骤1. 1. 将数字滤波器的频率指标将数字滤波器的频率指标{ {W Wk} }转换为转换为 模拟滤波器的频率指标模拟滤波器的频率指标{ {w wk} } kkT/W W= =w w2. . 设计模拟滤波器的设计模拟滤波器的H(s)。

3. 由由h[k]=T h(t)|t=kT从而得出从而得出H(z)H(z)的确定的确定H(z)的ROC稳定稳定AF 稳定稳定DF优点：T/W=w缺点：混叠例例: 用脉冲响应不变法和一阶巴特沃思低通滤波器，设计一个3dB截频为Wp的数字滤波器解：设脉冲响应不变法中的取样间隔为T1)确定模拟滤波器指标模拟滤波器的3dB截频为2)设计模拟滤波器3dB截频为wp的一阶巴特沃思低通滤波器为3) 将模拟滤波器转换为数字滤波器结论： 1)抽样间隔T的取值和最终的设计结果无关 2)由于所以在用脉冲响应不变法设计出数字滤波器后应该将其频率响应归一化00.2p-9-6-3030.4p0.6p0.8ppWGain, dB Wp=0.2p时幅度归一化和非归一化DF的幅度响应 例：利用AF-BW filter及脉冲响应不变法设计一DF，满足 Wp=0.1p, Ws=0.4p, Ap=1dB, As=10dB00.20.40.60.81-30-20-100Normalized frequencyGain,dbN=2，Ap= 0.9296 dB, As= 17.1220 dB例例:用脉冲响应不变法和一阶巴特沃思低通滤波器，设计的3dB截频为Wp的数字滤波器为Wp1=0.2*pi;Wp2=0.6*pi;b1=[1-exp(-Wp1)];a1=[1 -exp(-Wp1)];b2=[1-exp(-Wp2)];a2=[1 -exp(-Wp2)];w=linspace(0,pi,512);h1=freqz(b1,a1,w);h2=freqz(b2,a2,w);plot(w/pi,20*log10(abs(h1)),w/pi,20*log10(abs(h2)) );xlabel('Normalized frequency');ylabel('Gain,db');grid;00.20.40.60.81-9-6-30Normalized frequencyGain,dbWp=0.2pWp=0.6p基本思想: 利用数值积分将模拟系统变换为数字系统。

设模拟系统的微分方程为用梯形面积近似计算等式右边的积分得双线性变换法双线性变换法所以近似描述离散系统的差分方程为离散系统的系统函数为：和模拟系统的系统函数比较可得稳定性稳定性1)s<0,|z|<1左半平面映射到单位元内稳定AF系统映射为稳定DF系统2)s=0,|z|=13)s>0,|z|>1虚轴映射到单位圆上右半平面映射到单位圆外结论： 因果、稳定的AF系统映射为因果、稳定的DF系统W W和和w w 的关系的关系令s=jw)2/tan(2W=TwWp)(WjeH)(wjHpWsWWpwsww缺点：幅度响应不是常数时会产生幅度失真缺点：幅度响应不是常数时会产生幅度失真优点：无混叠优点：无混叠双线性法设计双线性法设计DF的步骤：的步骤：2) 由模拟滤波器的指标设计由模拟滤波器的指标设计H (s)3) H (s)转换为转换为H(z)1)1)将数字滤波器的频率指标将数字滤波器的频率指标{ {W Wk}由由w wk k= =(2/T)tan(tan(W Wk/2) ) 转换为模拟滤波器的频率指标转换为模拟滤波器的频率指标{ {w wk}解：设双线性变换中的参数为T1)模拟低通滤波器的3dB截率为2)3dB截率为wp的一阶模拟BW LP 滤波器为3)由双线性变换得例：例：用一阶模拟巴特沃思低通滤波器和双线性变换法，设计一个3dB截止频率为Wp的数字低通滤波器。

00.6100.71Normalized frequencyAmplitude例：用1阶模拟巴特沃思低通滤波器和双线性变换法，设计一个3dB截止频率为Wp的数字高通滤波器解：取T=2，则AF HP的3dB截频为 AF LP 的3dB截频为 满足条件的LP AF为 满足条件的HP AF为 例例 用一阶模拟巴特沃思低通滤波器和双线性变换法，设计一个中心频率为W0，3dB带宽为DW的数字带阻滤波器解：取T=2设数字带阻的3dB截频分别为W1和W2，且W2>W11)模拟带阻滤波器的频率指标为 2)频率变换的参数为3)模拟带阻滤波器为4)由双线性变换可得满足条件的数字带阻滤波器为00.10.20.30.40.5-40-30-20-100Normalized frequencyW Wp=0.1p p; W Ws=0.4p p ; Ap=1dB; As=10 dB;例例 用双线性变换及模拟巴特沃思滤波器设计一个满足下列条件的带通数字滤波器 W0=0.5p ; Wp2=0.55p ，Wp1=0.45p ，Ap=3dB Ws2=0.6p ， Ws1=0.4p ， As=10dB解：取双线性变换的参数T=21)由w=tan(W/2)获得模拟带通滤波器的频率指标。

wp2 =1.1708, wp1 =0.8541, ws2 =1.3764, ws1 =0.72652) 确定变换式中的参数 B = wp2- wp1 =0.3168 w0 =sqrt(wp2 wp1)=1;4)确定归一化BW低通滤波器 由 N=buttord(1,ws,Ap,As,'s')； 得 N=25)由变换获得模拟带通滤波器6)由双线性变换获得数字带通滤波器 [b,a]=bilinear(bBP,aBP,0.5)。