直线与方程习提纲例习题(含答案).doc

直线与方程提纲1．斜率及斜率公式：倾斜角：倾斜角与斜率的关系：2．直线方程的五种形式点斜式：斜截式：两点式：截距式：一般式：3．两直线平行与垂直4．方程组的解与交点个数的关系直线系方程：5．两点间距离公式：中点公式：点到直线的距离公式：直线与方程（含答案）例1：已知直线l1的倾斜角α1＝300，直线l2⊥l1，求l1、l2的斜率．例2：一条直线经过点P1(－2，3)，倾斜角α＝45°，求这条直线方程，并画出图形.例3：三角形的顶点是A(－5，0)、B（3，－3）、C（0，2），求这个三角形三边所在直线的方程．例4：已知直线m的倾斜角θ的余弦值等于，在y轴上的截距为－2，求直线方程．例5：求过点P（－5，－4），且与y轴夹角为 的直线方程． 例6：一条直线经过点A（－2，2），并且与两坐标轴围成的三角形面积为1，求这直线的方程．例7：求通过点P（2，3），并在两坐标轴上截距相等的直线方程．例8：求斜率为k且被两坐标轴截得线段为定长m的直线方程．例9：已知直线l在x轴上的截距比y轴上的截距大6，且过点（4，4），求其直线方程．例10：已知直线经过点A(6,-4),斜率为－,求直线的点斜式和一般式方程.例11：把直线l的方程x－2y＋6＝0化成斜截式，求出直线l的斜率和它在x轴与y轴上的截距，并画图.例12：直线l过P（3，2）且与l′：x＋3y－9 = 0及x轴围成底边在x轴上的等腰三角形，求直线l的方程．例13：已知点P（6，4）和直线l1：y = 4x，求过P点的直线l，使它与直线l1以及x轴在第一象限内围成的三角形的面积最小．例14：若一直线l被直线l1：4x＋y＋6 = 0和l2：3x－5y－6 = 0截得的线段的中点恰好在坐标原点，求这条直线方程．例15：已知直线方程l1：2x－4y＋7＝0，l2：x－2y＋5＝0，证明l1∥l2 例16：求过点A（1，-4）且与直线平行的直线的方程.例17：求与直线l1：Ax＋By＋C = 0平行的直线方程．例18：求和直线2x＋6y－11=0平行，且与坐标轴围成的三角形面积为6的直线方程．例19：△ABC中，A(1，1),B(3，5),C(5，－1),直线l∥AC,且l平分△ABC的面积，求l 的方程．例20：求过点A(2,1),且与直线垂直的直线的方程.例21：已知三角形两顶点是A(－10,2),B(6,4),垂心是H（5，2），求第三个顶点C的坐标．例22：求经过原点且经过以下两条直线的交点的直线的方程:例23：已知两条直线l1：x＋my＋6=0，l2：（m－2）x＋3y＋2m=0，当m为何值时，l1与l2（1）相交（2）平行（3）重合例24：已知两条直线l1：x＋m 2y＋6=0，l2：（m－2）x＋3my＋2m=0，问当m为何值时，l1与l2 （1）平行（2）重合（3）相交例25：求点P0（-1，2）到下列直线的距离：（1）例26：求平行线和的距离.例27：已知l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0，求l1与l2间的距离．例28：求与直线3x－7y＋5 = 0的距离为2的直线方程．例29：求两直线l1：x＋y－2 = 0，l2：7x－y＋4 = 0所成角的平分线方程．例30：求过点P（1，2）且与两点A（2，3），B（4，－5）距离相等的直线l的方程．例31：求过点P（1，1）且被两平行直线3x－4y－13 = 0与3x－4y＋7 = 0截得线段的长为4的直线方程．例32：求经过两已知直线l1：x＋3y＋5 = 0和l2：x－2y＋7 = 0的交点及点A（2，1）的直线l的方程．例33：设直线方程为（2m＋1）x＋（3m－2）y－18m＋5 = 0，求证：不论m为何值时，所给的直线经过一定点．直线与方程教案例1：已知直线l1的倾斜角α1＝300，直线l2⊥l1，求l1、l2的斜率．解：l1的斜率k1＝tanα1＝tan300＝∵l2的倾斜角α2＝900＋300＝1200，∴l2的斜率k2＝tanα2＝tan1200＝－tan600＝－例2：一条直线经过点P1(－2，3)，倾斜角＝45°，求这条直线方程，并画出图形.解：这条直线经过点P1(－2，3)，斜率是 k＝tan450＝1.代入点斜式方程，得y－3＝x＋2，即x－y＋5＝0这就是所求的直线方程，图形略例3：三角形的顶点是A(－5，0)、B（3，－3）、C（0，2），求这个三角形三边所在直线的方程．解：直线AB过A(－5，0)、B（3，－3）两点，由两点式得＝整理得：3x＋8y＋15＝0，即直线AB的方程.直线BC过C(0，2)，斜率是k＝＝－,由点斜式得: y－3＝－（x－0）整理得: 5x＋3y－6＝0，即直线BC的方程.直线AC过A(－5，0)，C(0，2)两点，由两点式得: ＝整理得：2x－5y＋10＝0，即直线AC的方程.例4：已知直线m的倾斜角θ的余弦值等于 ，在y轴上的截距为－2，求直线方程．解：∵cosθ＝ ，0≤θ＜π∴k ＝ tanθ＝，得y ＝ x－2例5：求过点P（－5，－4），且与y轴夹角为 的直线方程． x－y＋5－4= 0 或 x＋y＋5＋4= 0例6：一条直线经过点A（－2，2），并且与两坐标轴围成的三角形面积为1，求这直线的方程．解法一：设直线方程为 ＋= 1，则有： 解得a = －1，b = －2 或 a = 2，b = 1∴直线方程为 ＋= 1或 ＋= 1解法二：令y－2 = k（x＋2）从y = 0得x = －－2从x = 0得y = 2k＋2∴︱（＋2）（2k＋2）︱＝1得k = －或k = －2例7：求通过点P（2，3），并在两坐标轴上截距相等的直线方程．解：设直线方程为 ＋= 1，则有： ＋= 1 得a = 5 ∴直线方程为 ＋= 1 又：直线过原点 k = ∴y = x例8：求斜率为k且被两坐标轴截得线段为定长m的直线方程．解：设直线方程为y = kx＋b，则有： b2＋= m2 即 b = ± ∴y = kx±例9：已知直线l在x轴上的截距比y轴上的截距大6，且过点（4，4），求其直线方程．解：设直线方程为y－4 = k（x－4），则： （4－，0），（0，4－4k） ∴4－= 4－4k＋6 得k = 2或k = － 即y－4 = 2（x－4）或y－4 = －（x－4）例10：已知直线经过点A(6,-4),斜率为－,求直线的点斜式和一般式方程.解：经过点A(6，－4)并且斜率等于－的直线方程的点斜式是:y＋4＝－（x－6）化成一般式，得4x＋3y－12＝0.例11：把直线l的方程x－2y＋6＝0化成斜截式，求出直线l的斜率和它在x轴与y轴上的截距，并画图.解：将原方程移项,得2y＝x＋6两边除以2，得斜截式y＝x＋3因此，直线l的斜率k＝，它在y轴上的截距是3，在上面的方程中令y＝0，可得x＝－6，即直线l在x轴上的截距是－6.由上述内容可得直线l与x轴、y轴的交点为A（－6，0）、B（0，3），过点A、B作直线，就得直线l.（如右图）. 例12：直线l过P（3，2）且与l′：x＋3y－9 = 0及x轴围成底边在x轴上的等腰三角形，求直线l的方程．解法一：求k解法二：求l与x轴的交点坐标例13：已知点P（6，4）和直线l1：y = 4x，求过P点的直线l，使它与直线l1以及x轴在第一象限内围成的三角形的面积最小．解：设l与l1的交点为Q（x1，4x1）（x1＞1），则直线l的方程为y－4 = (x－6) ∴ l与x轴的交点为R（，0） S△＝ 10x12－Sx1＋S = 0由△≥0,得：S≥40当S＝40时，x1＝2，此时：x＋y－10 = 0例14：若一直线l被直线l1：4x＋y＋6 = 0和l2：3x－5y－6 = 0截得的线段的中点恰好在坐标原点，求这条直线方程．解：设l：y = kx由 得x = －由 得x = ∴－＋= 0 k = －得l：x＋6y = 0例15：已知直线方程l1：2x－4y＋7＝0，l2：x－2y＋5＝0，证明l1∥l2 证明:把l1、l2的方程写成斜截式l1：y＝x＋，l2：y＝x＋∥例16：求过点A（1，-4）且与直线平行的直线的方程.解:已知直线的斜率是－,因为所求直线与已知直线平行,因此它的斜率也是－.根据点斜式,得到所求直线的方程是:即.例17：求与直线l1：Ax＋By＋C = 0平行的直线方程．解:∵所求直线l的斜率k＝－∴所求直线方程为：y = －x＋b即：Ax＋By－Bb = 0也就是Ax＋By＋b′= 0例18：求和直线2x＋6y－11=0平行，且与坐标轴围成的三角形面积为6的直线方程．解: 设所求直线方程为 2x＋6y＋b=0则有：（0，－）,（－,0）∴S = = 6b2 = 144 b = ±12 即：2x＋6y＋12=0或2x＋6y－12=0例19：△ABC中，A(1，1),B(3，5),C(5，－1),直线l∥AC,且l平分△ABC的面积，求l 的方程．解:∵kAC= = －∴设l：y =－x＋b 且交AB于D∵l平分△ABC的面积∴= = = ＋1∴D点坐标：x =,y = 则：= －＋b得 b = ∴l：x＋2y－13＋5= 0例20：求过点A(2,1),且与直线垂直的直线的方程.解:直线的斜率是-2,因为直线与已知直线垂直,所以它的斜率为:根据点斜式,得到的方程:即.解法二: 设所求直线方程为 x－2y＋b = 0 则：2－2×1＋b = 0 得b = 0 ∴l：例21：已知三角形两顶点是A(－10,2),B(6,4),垂心是H（5，2），求第三个顶点C的坐标．解:∵kBH = 2 ∴kA。