圆锥曲线极点极线问题.docx

圆锥曲线的极点与极线在高考中的应用刘定勇（安徽省宁国中学,242300）圆锥曲线的极点与极线理论在高考中应用较多， 原因有二：其一，有高等数学背景，结论非常完美；其二，运用高中知识解决问题，能够考查学生思维、计算多方面能力•文［1］给出了两个较为简洁的结论:2命题1椭圆x22y1 ，点球PXy°对应的极线x02x巴1.ab2a b22双曲线X2^2 1占? 八、':P x°,y0对应的极线2 2 1.aba b抛物线2y2px，点P\、 ix°, y0对应的极线px y0 y px° 0命题2 圆锥曲线中极线共点于P,则这些极线相应的极点共线于点P相应的极线•反之亦然.称为极点与相应极线对偶性•以上结论在文［2］中有证明•如图给出椭圆的极点与对应极线的简图：P在椭圆内题1、（ 2010湖北文15）•已知椭圆X21的两焦点为F“ F2，点P X0, y0满2x x足0 少 y： 1,则I PF11+ PF2I的取值范围为 ，直线一J y°y 1与椭圆C的2 2公共点个数 .解析：第一个问题，依题意知，点 P在椭圆内部•画出图形，由数形结合可得范围为2,2 2 .2第二个问题，其实是非常容易做错的题目•因为Px0,y0在椭圆C :— y2 1的内2部，所以很多学生误以为直线与椭圆一定有两个交点，但直线XoXy0y 1并不经过P xo, yo .还有学生看到 型 yoy 1这样的结构，认为是切线，所以判断有一个公共2占八、、-2事实上，— yoy 1是P Xo, yo对应的极线，Px°,yo在椭圆C : y2 12 2的内部，由命题 2画出相应极线，此直线与椭圆不可能有交点，故交点数为 0个•如果能够用极点与极线理论，本题能够快速解决 •而常规方法只能联立方程用判别式判断了 •题2、(2O1O重庆文21)已知以原点0为中心，F(「5,0)为右焦点的双曲线 C的离心率e ——2(I)求双曲线 C的标准方程及其渐近线方程;(n)如题图，已知过点M (x-i, y-i)的直线 11 : x1x 4%y4与过点N(x2, y2)(其中C上，直线MN与双曲线的两条渐近线分别交于两点，求OG 0H的值.X2花)的直线12: x?x 4y?y 4的交点E在双曲线2解析：(I) C的标准方程为—y2 1.4、、 1C的渐近线方程为y x.2(II )如图，直线 I、： X1X 4y1y 4 和2 2l2 : x2x 4y1y 4上显然是椭圆 x 4y 4的两条切线，由题意点 E(xE , yE)在直线I' : X1X 4y° 4和I2 ： X2X 4y1 y 4上，MN即是由E点生成的椭圆的极线•因此直线MN的方程为xEx 4yE y 4.MN的方程求出后剩下工作属常规计算设G、H分别是直线 MN与渐近线x 2y 0及x 2y 0的交点,由方程组XeX 4YeYXeX 4yEy 4,x 2y 0x 2y 0,4Xc,Xn解得Xe2yE2yc,yNXe2yE4XE 2 yE2Xe 2yE故Xe 2 yE Xe 2『e2 2Xe 2yE Xe 2 yE124yE因为点E在双曲线4.所以2Xe12~ 2Xe 4yE3.分析：如果是常规方法求直线MN的方程，只能是观察：由题意点E（Xe，yE）在直线l'：XiX 4yi y 4 和 12 : X2X 4yiy 4 上，因此有 XiXe 4y"E 4,X2Xe 4y2 yE 4故点M、N均在直线xEx 4yEy 4上，因此直线 MN的方程为xEx 4yE y 4.应该说很难观察，所以很多学生只能不了了之2 2题3、（2010江苏18）、在平面直角坐标系 xoy中，如图，已知椭圆 — J 1的左、9 5右顶点为A、B,右焦点为F设过点N(X2, y2),(1)设动点(n)设 x1其中m>0, y1P满足PF22,X2 3，0, y2PB20.4,求点P的轨迹;求点T的坐标;T （ t,m）的直线TA、（川）设t 9,求证：直线 MN必过x轴上的一定点（其坐标与 m无关）解析：（I） （n）很简单，略（川）我们先看看常规做法：点 T的坐标为（9,m）直线TA: y曇（x 3），与椭圆联立得m（23(m 80)m2 80代）分析：怎么样？目瞪口呆吧•应该说，一点也不难，但是很难算对如果知道点T的坐标为9, m，事实上T的轨迹是x9，可以看成是一条极线：1x—y 1，所以匕一疋过疋点 D(1, 0) •95题4、已知椭圆C的离心率e ■，长轴的左右端点分别为2A1 2 , 0 , A2 2,0。

I）求椭圆C的方程；直线TB :y m(x623），与椭圆联立得N （竺20）m20代）X2时，直线MN方程为:8020my 20 m240m 20m2 2m2 20 m23(80 m )3(m2 20)202、80 m22m23(m 20)20 m20,解得:x 1•此时必过点D (1, 0)；X2时，直线MN方程为：x1，与x轴交点为D (1, 0) •所以直线MN必过x轴上的一定点 D（ 1，0）.（n）设直线x my 1与椭圆C交于P、Q两点，直线A1P与A2Q交于点S试问：当m 变化时，点S是否恒在一条定直线上？若是，请写出这条直线方程，并证明你的结论；若不 是，请说明理由2 2 解法一：(I)设椭圆C的方程为 笃 爲a bc 3 2 2 2-a 2, e ，二 c . 3 , b a c 1 a 22 •••椭圆C的方程为$ y2 1 4(□)取m 0,得P谆,Q 1, -2，直线A1P的方程是y yx 3直线A2Q的方程是yTx 3,交点为S14,3若P1‘；Q 1身，由对称性可知交点为 S2 4, 3 .若点S在同一条直线上,则直线只能为以下证明对于任意的m,直线AiP与直线A2Q的交点S均在直线I : x4上。

事实上，由2x 2 .y 14 得myx my 12 21 4y4,即 m2 4 y22my 3 0，记 P xi，yi ,Q X2』2，则yiy22m设AiP与:交于点So(4, yo),由yo4 2亠，得x1 23-2 ~-m 46y 12设A?Q与：交于点So(4,y 0匕，得yo生x2 2 x 2106y1'y0 y0 厂2y2X2 26y1 my2 1 2y2 my1 34my1y2 6 y1x1 2 x2 2x1 2y_2X2 2-12m 12m~2 ~20 , 12 分m 4 m 4x1 2 x2 2l' : x 4上13 分解法一 :(D)取m 0,得P 1,-— ,Q 1,—,直线A1P的方程是y - x -,直线A 2Q二yo yo，即So与So重合，这说明，当 m变化时，点S恒在定直线2 2 6 3的方程是y Px ；3,交点为S 4, • 3 . 7分28 3 4 4 d取m 1,得P —,- ,Q 0, 1，直线A1P的方程是y —x -,直线A?Q的方程是y —x 1,5 5 6 3 2交点为S2 4,1 . •若交点S在同一条直线上，则直线只能为 「X 4。

8分以下证明对于任意的 m,直线AiP与直线A2Q的交点S均在直线\ : x 4上事实上，由2X4xmyi得myi4y24,即 m24 y2 2myxi,yi ,Q X2,y2 ,yiy22m；,yiy2AiP的yixi 2x 2 , A2Q的方y2X2 2x 2 ,消去y,亠xxi 2y2X2①以下用分析法证明4时,①式恒成立要证明①式恒只需证明Xi6yi_22y2—即2，3yi my 2 1y2 myi 3 ,即X22myiy2yi y2② t 2myiy2yi y26mm2 46m_ 0 •••②式4 ，恒成立这说明，当 m变化时，点S恒在定直线4上解法三:2x由 ~4x mymy2 2i 4y4,即y2 2my记 P Xi，yi ,QX2,y2 ，则yiy22mm2 4,yiy23m2 4AiP的方程是yiXi2 , A2Q的方程是y2X2 2yixi 2『2x2 2yixi 2y2X2 2y2 Xiy2 xiyi X2 2yi X2 2y2myi 33y2 myiyi my2yi my22myiy23y23y 2yiyi2m— yim 42m3 — yi yim 42md-yi —4.i2分2006高考全国卷(21)(本小题满分为14分)2已知抛物线x4y的焦点为F, A、B是热线上的两动点，且aF fB(0).过 A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为(I)证明为定值;(II)设 ABM的面积为S,写出S f ()的表达式，并求 S的最小值。

21)(本小题满分13分)点Q满足，点A的坐标为(1,1 )，点B在抛物线BQ QA，经过Q点与M x轴垂直的直线交抛物线于点 M ,,求点P的轨迹方程20)(本小题满分13分)2x点P(Xo,y°)在椭圆一2ab21(a b 0)上，xa cos , yobsin ,0.直线2i2与直线I1 ：^2 x y 1垂直，o为坐标原点，直线 op的倾斜角为 ，直线12的倾斜角a b为•2X(I)证明：点P是椭圆—a2y2 1与直线h的唯一交点;b(II)证明：tan ,tan ,tan 构成等比数列我们知道，各省市专家在命制有关圆锥曲线高考题时， 一定会站在一个比较。