（整理版）全国初中数学联合竞赛分类解析汇编6几何解答题.doc

全国初中数学联合竞赛分类解析汇编6---几何解答题ABCDEFMNP1、如图，四边形是梯形，点是上底边上一点，的延长线与的延长线交于点，过点作的平行线交的延长线于点，与交于点.证明：∠=∠.〔〕证明 设与交于点，∵//，∴△∽△，∴,∴. 又∵//，∴△∽△，∴,∴.∴,故 又∠=∠，∴△PNF∽△PMC，∴∠PNF＝∠PMC，∴NF//MC ∴∠ANF＝∠EDM.又∵ME//BF，∴∠FAN＝∠MED.∴∠ANF＋∠FAN＝∠EDM＋∠MED，∴∠AFN=∠DME.2． 如图，圆与圆相交于两点，为圆的切线，点在圆上，且.〔1〕证明：点在圆的圆周上.〔2〕设△的面积为，求圆的的半径的最小值. 〔〕解 〔1〕连，因为为圆心，，所以△∽△，从而因为，所以，所以，因此点在圆的圆周上.〔2〕设圆的半径为，的延长线交于点，易知.设，，，那么，，.因为,,，所以△∽△，所以，即，故. 所以，即，其中等号当时成立，这时是圆的的半径的最小值为. 3．设CD是直角三角形ABC的斜边AD上的高，、分别是△ADC、△BDC的内心，AC＝3，BC＝4，求.〔〕解 作E⊥AB于E，F⊥AB于F.在直角三角形ABC中，AC＝3，BC＝4，.又CD⊥AB，由射影定理可得，故，. 因为E为直角三角形ACD的内切圆的半径，所以＝连接D、D，那么D、D分别是∠ADC和∠BDC的平分线，所以∠DC＝∠DA＝∠DC＝∠DB＝45，故∠D＝90，所以D⊥D，. 同理，可求得，. 所以＝. 4． △ABC中，∠ACB＝90，AB边上的高线CH与△ABC的两条内角平分线 AM、BN分别交于P、Q两点.PM、QN的中点分别为E、F.求证：EF∥AB. 〔〕解 因为BN是∠ABC的平分线，所以.又因为CH⊥AB，所以，因此. 又F是QN的中点，所以CF⊥QN，所以，因此C、F、H、B四点共圆. 又，所以FC＝FH，故点F在CH的中垂线上. 同理可证，点E在CH的中垂线上.因此EF⊥CH.又AB⊥CH，所以EF∥AB. 5、等腰三角形△ABC中，AB＝AC，∠C的平分线与AB边交于点P，M为△ABC的内切圆⊙I与BC边的切点，作MD//AC，交⊙I于点D.证明：PD是⊙I的切线. 〔〕证明 过点P作⊙I的切线PQ〔切点为Q〕并延长，交BC于点N.因为CP为∠ACB的平分线，所以∠ACP＝∠BCP.又因为PA、PQ均为⊙I的切线，所以∠APC＝∠NPC.又CP公共，所以△ACP≌△NCP， 所以∠PAC＝∠PNC.由NM＝QN，BA＝BC，所以△QNM∽△BAC，故∠NMQ＝∠ACB，所以MQ//AC又因为MD//AC，所以MD和MQ为同一条直线.又点Q、D均在⊙I上，所以点Q和点D重合，故PD是⊙I的切线. 6．如图，在四边形ABCD中，，，，对角线交于点，且，为的中点．求证：〔1〕；〔2〕．〔〕证明 〔1〕由得 ，从而四点共圆，为直径，为该圆的圆心． 作于点，知为的中点，所以＝＝，从而． 〔2〕作于点，那么．又，∴ ， ∴ Rt△≌Rt△，∴ ，又，所以，故，所以． 7．如图，为锐角△内一点，过分别作的垂线，垂足分别为，为的平分线，的延长线交于点．如果，求证：是的平分线．〔〕证明 如图1，作于点，于点，于点，于点．设，∵ ， ∴． 假设，如图2，作，分别交于点，那么△∽△，∴，∴ ，∴ ．假设，那么．假设，同理可证． ∵，∴ ，∴．∵ ，∴，∴． 又，∴ ．又因为是的平分线，所以，∴ ．显然，即，∴ ，∴是的平分线． 8．如图，PA为⊙O的切线，PBC为⊙O的割线，AD⊥OP于点D.证明：.〔〕证明：连接OA，OB，OC. ∵OA⊥AP，AD⊥OP，∴由射影定理可得，. 又由切割线定理可得，∴，∴D、B、C、O四点共圆，∴∠PDB＝∠PCO＝∠OBC＝∠ODC，∠PBD＝∠COD，∴△PBD∽△COD，∴，∴. 。