第02讲 充要条件与量词.docx

第 2 讲：充要条件与量词一、课程标准1. 理解必要条件、充分条件与充要条件的意义．并能正确判断两个命题之间的关系2. 通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词与存在量词的意义．3. 能正确地对含有一个量词的命题进行否定.二、基础知识回顾1、 充分条件与必要条件(1) 充分条件、必要条件与充要条件的概念若pnq，则p是q的充分条件，q是p的必要条件p是q的充分不必要条件p=q且q令pp是q的必要不充分条件p令q且q=pp是q的充要条件poqp是q的既不充分也不必要条件p令q且q令p(2) 从集合的角度：若条件p，q以集合的形式出现，即A = {x\p(x)}, B = {x|q(x)}，则由AQB可得，p是q的充分条件，请写出 集合A，B的其他关系对应的条件p，q的关系.提示 若A=B，则p是q的充分不必要条件；若APB，则p是q的必要条件；若A ：B，则p是q的必要不充分条件；若A=B,则p是q的充要条件；若AgB且AZB,则p是q的既不充分也不必要条件.2、全称量词与全称命题(1) 全称量词：短语“所有的”“任意一个”❷在逻辑中通常叫作全称量词.(2) 全称命题：含有全称量词的命题.(3) 全称命题的符号表示：形如“对M中的任意一个x,有p(x)成立”的命题，用符号简记为FxWM，p(x).3、存在量词与特称命题(1) 存在量词：短语“存在一个”❷“至少有一个”在逻辑中通常叫作存在量词.(2) 特称命题：含有存在量词的命题．(3) 特称命题的符号表示：形如“存在M中的元素％,使p(x0)成立”的命题，用符号简记为Bx0^M, p(x0).三、自主热身、归纳总结1、 命题“HxWR, x2+x>0"的否定是( )A. 3x0GR, x2+x0<0 B. 3x0GR, x2+x°V0C. Vx^R, x2+x<0 D. Vx^R, x2+xV0【答案】B【解析】由全称命题的否定是特称命题知命题B正确.故选B.2、 “(x—1)(x+2)=0”是“x=1”的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】 B.【解析】选B若x=1,贝(x—1)(x+2)=0显然成立，但反之不成立，即若(x—1)(x+2) = 0,则x的值也可 能为—2.3、 使不等式1 + -〉0成立的一个充分不必要条件是( )xA. x > 2 B. x 0 C. x <-1 或x > 1 D. -1 < x < 0【答案】AC1 x + 1 ..【分析】不等式1 +1 > 0，即 4 > 0 , x(x +1) > 0，解得x范围，即可判断出结论.xx1 x + 1【解答】解：不等式1 + > 0，即—— > 0 ,・•・x(x +1) > 0，解得x > 0，或x <-1xx使不等式1 + - > 0成立的一个充分不必要条件是：x > 2 .及x <-1，或x > 1x4、 命题PxW[0, 1], X2—1>0”是 命题(选填“真”或“假”).【答案】 真【解析】取X=1,则X2—1=0,所以为真命题.兀 15、 “ x二2E +才k g Z ”是“ sin x二”成立的—▲—条件(选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、6 2既不充分又不必要”)．【答案】充分不必要1 兀 5兀【解析】根据正弦函数y二sin x的图象，由sin x二 可得，x二2k兀+：,或x二2k兀+ , k g Z，故2 6 6兀 1“ x二2kn+-, k g Z ”是“ sin x二”成立的充分不必要条件.6 26、(一题两空)已知p： X0)，q：—10),得一m— 1若p是q的充分条件n[m<4 nO4 nm>4.则m的最小值为4.四、例题选讲考点一、充要条件、必要条件的判断例1、已知直线I ' m，平面a，mua，则“Um”是“l丄a”的 条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”).【答案】必要不充分【解析】根据直线与平面垂直的定义：若直线与平面内的任意一条直线都垂直，则称这条直线与这个平面垂 直.现在是直线与平面内给定的一条直线垂直，而不是任意一条，故由“1丄m”推不出“l丄a”，但是由定义知“l 丄a”可推出“1丄m”，故填必要不充分.变式1、“a=1”是“直线ax+y+1=0与直线(a+2)x—3y—2 = 0垂直”的( )A.充要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】直线ax+y+1=0与直线(a+2)x—3y—2=0垂直的充要条件为a(a+2)+1x(—3)=0，解得a=1或 —3,故“a=1”是“直线ax+y+1 = 0与直线(a+2)x—3y—2=0垂直”的充分不必要条件.变式 2、.设 xWR，贝则T 0则 < m 一 3 > 0 ，即3 < m < 7 且 m 丰 5，7 一 m 丰 m 一 3即“ 3 < m < 7 ”是“方程一匚+ = 1的曲线是椭圆”的必要不充分条件；7 一 m m 一 3B，Vx g [1，3]不等式x2 - a 0恒成立等价于a x2恒成立，等价于a 9••• “ a 8 ”是“对Vx g [1，3]不等式x2 - a 0恒成立”必要不充分条件； c: ｛$｝是首项为正数的等比数列，公比为q，当a = 1，q = -丄时，满足q < 0，但此时a + a = 1 - = > 0 ,则a + a < 0不成立，即充分性不成立,-1 2 12 2 2 2 n 一 1 2 n反之若 a + a < 0 ,贝a q2n-2 + a q2n-i < 02 n-1 2 n 1 1a > 0 , q2n-2(1+ q) < 0，即 1 + q < 0则q <-1，即q < 0成立，即必要性成立，则“q < 0 ”是“对任意的正整数n，a + a < 0 ”的必要不充分条件.2 n-1 2 nD :空间向量a = (0， 1， -1)， b = (x， 0， -1)cos < ab >= = 匚I a I X I b I 斗02 + (-1)2 + 12 XX2 + 02 + (-1)2解得X = ±1，—> -*•故“X = 1 ”是“向量a与b的夹角是”的充分不必要条件. 3方法总结：充要条件的三种判断方法 ⑴定义法：根据p^q，qnp进行判断.(2) 集合法：根据使p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断.(3) 等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断•这个方法 特别适合以否定形式给出的问题， 考点二、充要条件等条件的应用J X+2^0, ]例 2、已知p： x \_]0<0 |，q： {x|l—mWx01+m, m>0}.(1) 若m=l,则p是q的什么条件？(2) 若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围.分析：问题(1)考查的仍是充要条件的判定，需要从“充分”和“必要”两个方面考察，并且用集合方法处理； 问题(2)考查充要条件的应用，根据“若p是q的充分不必要条件”，得出所对应集合的关系，从而求出实数m 的取值范围.J X+2>0， ]【解析】⑴因为p： ' x \_10三0 | ={x|_20} = {x|00,2 1 —m<—2,所以 1+m^10,1—m=—2与1+m = 10不同时相等.解得 m>9，即 mW[9,+w).变式 1、设p：实数x 满足x2—4ax+3a2<0, aWR； q：实数x 满足x2—x—6<0 或x2+2x—8>0.若 a<0 且p 是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围.【解析】由p 得(x—3a)(x—a)<0,当 a<0 时，3a0,则一22,则 x<—4 或 x>—2.设p： A = (3a, a), q： E=(—w,—4)U[—2,+(»),又p是q的充分不必要条件.2可知 A - B,.°.a<—4 或 3a>—2，即 a<—4 或 a>—3.2又°.°a—2,.1+m<10,解得 m<3.又TS为非空集合，.・1—m<1+m,解得m>0.综上，可知m>0<3时，xWP是xWS的必要条件. 方法总结：充分条件、必要条件的应用,一般表现在参数问题的求解上.解题时需注意： (1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等 式(或不等式组)求解.考点三、含有量词的命题19 1例 3、已知函数 fx) = 3x2+2x—a2—2a, g(x)= 6 x —3，若对任意 x1^ [―1,1],总。