稳态误差计算(普通解法).pdf

6.6 稳态误差计算 连续系统中计算稳态误差的一般方法和静态误差系数法，在一定的条件下可以推广到离散系统中与连续系统不同的是，离散系统的稳态误差只对采样点而言 6.6.1 一般方法（利用终值定理） 设单位反馈的误差采样系统如图 6-20 所示，系统误差脉冲传递函数为 图6-20 离散系统结构图 )(11)()()(zGzRzEze+==Φ )()(11)()()( zRzGzRzzEe+=Φ= 如果系统稳定，则可用 z 变换的终值定理求出采样瞬时的稳态误差 *11(1)()() lim () lim( 1)() lim1()tz zzRzeetzEzGz→∞ → →−∞= = − =+(6-59) 式(6-59)表明，线性定常离散系统的稳态误差，与系统本身的结构和参数有关，与输入序列的形式及幅值有关，而且与采样周期的选取也有关 例 6-21 设离散系统如图 6-20 所示，其中， () 1 ( 1)Gs ss= + ，采样周期 ，输入连续信号 分别为 和 ，试求离散系统的稳态误差 1sT =)(tr )(1 t t解 系统开环脉冲传递函数 []))(1()1()()(11−−−−−==ezzezsGZzG 系统的误差脉冲传递函数 368.0736.0)368.0)(1()(11)(2+−−−=+=ΦzzzzzGze闭环极点 全部位于 平面的单位圆内，可以应用终值定理求稳态误差。

1,20.368 0.482zj=± z当 ，相应 时，)(1)( ttr = )(1)( nTnTr = )1()( −= zzzR ，由式(6-59)求得 0368.0736.0)368.0)(1(lim)(21=+−−−=∞→zzzzez当 ，相应 时，ttr =)( nTnTr =)(2)1()( −= zzTzR ，于是由式(6-59)求得 1368.0736.0)368.0(lim)(21==+−−=∞→TzzzTez6.6.2 静态误差系数法 由 变换算子 关系式可知,如果开环传递函数 有 个 的极点，即个积分环节，则与 相应的 必有 个zsTez = )(sG v 0=s v)(sG )(zG v 1=z 的极点在连续系统中，把开环传递函数 具有 的极点数作为划分系统型别的标准在离散系统中，对应把开环脉冲传递函数 具有)(sG 0=s)(zG 1=z 的极点数，作为划分离散系统型别的标准，类似把 中的闭环系统，称为 0 型、1型和 2 型离散系统等 )(zG 2,1,0=v下面在系统稳定的条件下讨论图6-20所示形式的不同型别的离散系统在三种典型输入信号作用下的稳态误差，并建立离散系统静态误差系数的概念。

1．阶跃输入时的稳态误差 当系统输入为阶跃函数 )(1)( tAtr ×= 时，其 变换函数 z1)(−=zzAzR 由式(6-59)知，系统稳态误差为 pzzKAzGAzGAe+=+=+=∞→→1)(lim1)(1lim)(11(6-60) 式中 )(lim1zGKzp→= (6-61) 称为离散系统的静态位置误差系数 2．斜坡输入时的稳态误差 当系统输入为斜坡函数 时，其 变换函数 tAtr =)( z2)1()(−=zATzzR 系统稳态误差 vzzKATzGzATzGzATe =−=+−=∞→→)()1(lim)](1)[1(lim)(11(6-62) 式中 1lim( 1) ( )vzKzG→z= − (6-63) 称为离散系统的静态速度误差系数 3．加速度输入时的稳态误差 当系统输入为加速度函数 2)(2tAtr = 时，其 变换函数 z32)1(2)1()(−+=zzzATzR 系统稳态误差 azzKATzGzATzGzzATe2212221)()1(lim)](1[)1(2)1(lim)( =−=+−+=∞→→(6-64) 式中 (6-65) )()1(lim21zGzKza−=→称为离散系统的静态加速度误差系数。

归纳上述讨论结果，可以得出典型输入下不同型别离散系统的稳态误差计算规律，见表6-2 表 6-2 离散系统的稳态误差 系统 型别 lim ( )pzKGz→=11lim( 1) ( )vzKzGz→=−lim( ) ( )azKzG→z=−211位置误差 )(1)( tAtr ×=速度误差 Attr =)( 加速度误差 2)(2tAtr =0 型 pK 0 0 )1(pKA + ∞ ∞ 1型 ∞ vK 0 0 vKAT ∞ 2型 ∞ ∞ aK 0 0 aKTA2可见，与连续系统相比较，离散系统的稳态误差不仅与系统的结构、参数有关，而且与采样周期 T 有关 例6-22 已知离散系统结构图如图 6-21 所示，采样周期为 T (1)要使系统稳定， 和 T 应满足什么条件? K(2)当 ，1T = ()rt t= 时，求系统的最小稳态误差值 解. (1) 系统开环脉冲传递函数为 11()(1) 1KGz Z KZss s s⎡⎤⎡ ⎤==−⎢⎥⎢ ⎥++⎣ ⎦⎣⎦(1 )1(1)(TTTzz KeKzze zze−−−−⎛⎞=−=⎜⎟−− −−⎝⎠图 6-21 离散系统结构图 z系统特征方程为 2() ( 1)( ) (1 )[(1 ) 1 ] 0TTTTTDz z z e K e zzeKeze−−−−−=− − + −=+− −− + =利用朱利稳定判据 (1) (1 ) 0(1) 2(1 ) (1 ) 0TTTDKeDeKe−−−⎧ =−>⎪⎨−= + − − >⎪⎩行数 0z 1z 2z 1 Te−(1 ) 1TTeK e− −−−− 1 2 1 (1 ) 1TTeK e− −−−− Te−得到 1Te−> 联立上述条件，有 2(1 )001TTeKTe−−+−可以绘出使系统稳定的参数范围如，图 6-22 中阴影部分所示。

(2) 系统静态速度误差系数为 11(1 )lim( 1) ( ) limTvTzzKezKzGzze−−→→−=− = =−K 图6-22 使系统稳定的参数范围 *ssvAT TeKK== 当 时，使系统稳定的 值范围是 1T = K12(1 )0 4.3281TTTeKe−−=+即在稳定范围内，系统可能达到的最小速度误差 ，此时开环增益 *0.231ssve = 4.328K =6.6.3 动态误差系数法 对于一个稳定的线性离散系统，利用终值定理或静态误差系数法，只能求出当时间时系统的稳态误差终值，而不能提供误差随时间变化的规律通过动态误差系数法，可以获得稳态误差变化的信息 t →∞设系统闭环误差脉冲传递函数为 ()ezΦ ，根据 变换的定义，将 zTsze= 代入 ，得到以 为变量形式的闭环误差脉冲传递函数 ()ezΦs**() ()TseezeszΦΦ== (6-66) 将 展开成泰勒级数形式，有 *()esΦ*201 2()mesccscs csΦ =++ ++ +L L (6-67) (*0d()10,1, 2,!dΦ===Lmem msscmms)(6-68) 定义 为动态误差系数，则过渡过程结束后，系统在采样时刻的稳态误差为 ,0,1,2,= Lmcm ,()012() () () () ()mss mekTcrkTcrkTcrkT crkT=++++ +&&&LL ( )>skT t (6-69) 这与连续系统用动态误差系数法计算系统稳态误差的方法相似。

例 6-23 单位负反馈离散系统的开环脉冲传递函数为 (1 2 )()(1)( )TTTez eGzzze−−−+−=−−采样周期 ，系统输入信号 1sT =2() 2rt t= (1) 求系统的静态误差系数 ， 和 ； pKvKaK(2) 用静态误差系数法求稳态误差终值*()e ∞ ； (3) 用动态误差系数法求 时的稳态误差 20 st =解 (1) 211 2 0.368 0.264()( 1)( ) 1.368 0.368TTTTez e zGzzze z z−−−=+− +==−− − +21210.368 0.264lim1.368 0.3680.368 0.264lim( 1) 11.368 0.368pzvzzKzzzKzzz→→+=→−++=−−+∞=2210.368 0.264lim( 1) 01.368 0.368azzKzzz→+=− =−+(2) 系统是1 型的，当2() 2rt t= 时，稳态误差终值*() 1∞ =→aeK∞ (3) 系统闭环误差脉冲传递函数 221 1.368 0.368()1 ( ) 0.632ezzzGz z zΦ−+==+−+因为 时， 0t > () , () 1, () 0rt t rt rt= =& && &&& =，所以动态误差系数只需求出 和 。

01,cc2c2*21.368 0.368() ()0.632TssseesszeeezzeeΦΦ=−+==−+*0*102*220(0) 0d() 1dd1()d2eesesccsscssΦΦΦ========系统稳态误差在采样时刻的值为 012() () () () 0.5ssekTcrkTcrkTcrkTkT=++=+&&& 可见，系统稳态误差是随时间线性增长的当 20 20 stT= = 时， (20) 20.5sse =动态误差系数法对单位反馈和非单位反馈系统均适用，还可以计算由扰动信号引起的稳态误差 6.7 动态性能分析 计算离散系统的动态性能，通常先求取离散系统的阶跃响应序列，再按动态性能指标定义来确定指标值本节主要介绍离散系统闭环极点分布与其瞬态响应的关系，以及动态性能的分析、计算方法 6.7.1 闭环极点分布与瞬态响应 在连续系统中，闭环极点在 平面上的位置与系统的瞬态响应有着密切的关系闭环极点决定了系统瞬态响应中的模态同样，性离散系统中，闭环脉冲传递函数的极点在平面上的位置，对系统的动态响应具有重要的影响明确它们之间的关系，对离散系统的分析和综合是有益的。

sz设系统的闭环脉冲传递函数 ()()()()()mmm lmm mlnnnniizzbz b z b bMzznDz az a z a azpΦ110111LL−−=−−=−+++== = ≥+++−∏∏式中， ，表示 的零点，,1,2,,lzl m= L )(zΦ ,1,2,,ip in= L ，表示 的极点不失一般性，且为了便于讨论，假定)(zΦ)(zΦ 无重极点 当 时，离散系统输出的 变换 )(1)( ttr = z1)()()()()(−=Φ=zzzDzMzRzzC 将 zzC )( 展成部分分式 1() (1) 1(1) 1==+− −∑niiiCCz MzDz zp(6-70) 其中 () ()()(1)()=′==′−iiijzpiiMp dD zCDppDp dz于是 1(1)()(1) 1==+− −∑niiiCzMzCzDz zp(6-71) 对式(6-71)进行 反变换，得 z1(1)()(1)nkiiiMckT CpD==+∑(6-72) 其中， )1()1( DM 是 的稳态分量，而瞬态响应中各分量的形式则是由闭环极点 )(*tcip 在平面的位置决定的。

下面分几种情况来讨论 z1. 实数极点 当ip 位于实轴上时，对应的瞬态分量为 ()kickT Cp=i1(6-。