2020版 第8章 第7节　抛物线.doc

第七节　抛物线[考纲]　1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率).2.理解数形结合思想.3.了解抛物线的实际背景及抛物线的简单应用．1．抛物线的概念平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．2．抛物线的标准方程与几何性质标准方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离图形顶点坐标O(0,0)对称轴x轴y轴焦点坐标FFFF离心率e＝1准线方程x＝－x＝y＝－y＝范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R开口方向向右向左向上向下与抛物线有关的结论(1)抛物线y2＝2px(p>0)上一点P(x0，y0)到焦点F的距离|PF|＝x0＋，也称为抛物线的焦半径．(2)y2＝ax(a≠0)的焦点坐标为，准线方程为x＝－.(3)设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则①x1x2＝，y1y2＝－p2.②弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝(α为弦AB的倾斜角)．③以弦AB为直径的圆与准线相切．④通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长等于2p，通径是过焦点最短的弦．[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“”)(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线． (　　)(2)方程y＝ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且其焦点坐标是，准线方程是x＝－. (　　)(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形． (　　)(4)若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线一定相切． (　　)[答案]　(1)　(2)　(3)　(4)2．抛物线y＝x2的准线方程是(　　)A．y＝－1　　　　　　 B．y＝－2C．x＝－1 D．x＝－2A　[∵y＝x2，∴x2＝4y，∴准线方程为y＝－1.]3．(教材改编)若抛物线y＝4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是(　　)A.　　　B.　　　C.　　　D．0B　[M到准线的距离等于M到焦点的距离，又准线方程为y＝－，设M(x，y)，则y＋＝1，∴y＝.]4．(教材改编)过抛物线y2＝4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，则|PQ|等于(　　)A．9 B．8 C．7 D．6B　[抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1.根据题意可得，|PQ|＝|PF|＋|QF|＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝8.]5．(教材改编)已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点P(－2，－4)，则该抛物线的标准方程为________．y2＝－8x或x2＝－y　[设抛物线方程为y2＝2px(p≠0)或x2＝2py(p≠0)．将P(－2，－4)代入，分别得方程为y2＝－8x或x2＝－y.]抛物线的定义与应用【例1】　设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，若B(3,2)，则|PB|＋|PF|的最小值为________．4　[如图，过点B作BQ垂直准线于点Q，交抛物线于点P1，则|P1Q|＝|P1F|.则有|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4，即|PB|＋|PF|的最小值为4.][拓展探究1]　(1)若将本例中的B点坐标改为(3,4)，试求|PB|＋|PF|的最小值．(2)若将本例中的条件改为：已知抛物线方程为y2＝4x，直线l的方程为x－y＋5＝0，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，到直线l的距离为d2，求d1＋d2的最小值．[解]　由题意可知点B(3,4)在抛物线的外部．∵|PB|＋|PF|的最小值即为B，F两点间的距离，F(1,0)，∴|PB|＋|PF|≥|BF|＝＝2，即|PB|＋|PF|的最小值为2.(2)由题意知，抛物线的焦点为F(1,0)．点P到y轴的距离d1＝|PF|－1，所以d1＋d2＝d2＋|PF|－1.易知d2＋|PF|的最小值为点F到直线l的距离，故d2＋|PF|的最小值为＝3，所以d1＋d2的最小值为3－1.[规律方法]　与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关.“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决与过抛物线焦点的弦有关问题的重要途径. (1)已知P是抛物线y2＝4x上的一个动点，Q是圆(x－3)2＋(y－1)2＝1上的一个动点，N(1,0)是一个定点，则|PQ|＋|PN|的最小值为(　　)A．3　　　　B．4　　　　C．5　　　　D.＋1(2)动圆过点(1,0)，且与直线x＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为________. (1)A　(2)y2＝4x　[(1)由抛物线方程y2＝4x，可得抛物线的焦点F(1,0)，又N(1,0)，所以N与F重合．过圆(x－3)2＋(y－1)2＝1的圆心M作抛物线准线的垂线MH，交圆于Q，交抛物线于P，则|PQ|＋|PN|的最小值等于|MH|－1＝3.(2)设动圆的圆心坐标为(x，y)，则圆心到点(1,0)的距离与到直线x＝－1的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y2＝4x.]抛物线的标准方程与几何性质【例2】　(1)点M(5,3)到抛物线y＝ax2的准线的距离为6，那么抛物线的标准方程是(　　)A．x2＝y B．x2＝y或x2＝－yC．x2＝－y D．x2＝12y或x2＝－36y(2)(2016全国卷Ⅰ)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点．已知|AB|＝4，|DE|＝2，则C的焦点到准线的距离为(　　)A．2 B．4 C．6 D．8(3)如图所示，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线的方程为(　　)A．y2＝x B．y2＝9xC．y2＝x D．y2＝3x(1)D　(2)B　(3)D　[(1)将y＝ax2化为x2＝y.当a>0时，准线y＝－，则3＋＝6，∴a＝.当a<0时，准线y＝－，则＝6，∴a＝－.∴抛物线方程为x2＝12y或x2＝－36y.(2)设抛物线的方程为y2＝2px(p＞0)，圆的方程为x2＋y2＝r2.∵|AB|＝4，|DE|＝2，抛物线的准线方程为x＝－，∴不妨设A，D.∵点A，D在圆x2＋y2＝r2上，∴∴＋8＝＋5，∴p＝4(负值舍去)．∴C的焦点到准线的距离为4.(3)分别过点A，B作AA1⊥l，BB1⊥l，且垂足分别为A1，B1，由已知条件|BC|＝2|BF|，得|BC|＝2|BB1|，所以∠BCB1＝30.又|AA1|＝|AF|＝3，所以|AC|＝2|AA1|＝6，所以|CF|＝|AC|－|AF|＝6－3＝3，所以F为线段AC的中点．故点F到准线的距离为p＝|AA1|＝，故抛物线的方程为y2＝3x.][规律方法]　1.求抛物线的标准方程的方法(1)求抛物线的标准方程常用待定系数法，因为未知数只有p，所以只需一个条件确定p值即可．(2)因为抛物线方程有四种标准形式，因此求抛物线方程时，需先定位，再定量．2．确定及应用抛物线性质的技巧(1)利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线等性质时，关键是将抛物线方程化为标准方程．(2)要结合图形分析，灵活运用平面几何的性质以图助解直线与抛物线的位置关系►考法1　直线与抛物线的交点问题【例3】　(2017全国卷Ⅰ)设A，B为曲线C：y＝上两点，A与B的横坐标之和为4.(1)求直线AB的斜率；(2)设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AM⊥BM，求直线AB的方程．[解]　(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1≠x2，y1＝，y2＝，x1＋x2＝4，于是直线AB的斜率k＝＝＝1.(2)由 y＝，得y′＝.设M(x3，y3)，由题设知＝1，解得x3＝2，于是M(2,1)．设直线AB的方程为y＝x＋m，故线段AB的中点为N(2,2＋m)，|MN|＝|m＋1|.将y＝x＋m代入y＝得x2－4x－4m＝0.当Δ＝16(m＋1)>0，即m>－1时，x1,2＝22.从而|AB|＝|x1－x2|＝4.由题设知|AB|＝2|MN|，即4＝2(m＋1)，解得m＝7.所以直线AB的方程为y＝x＋7.►考法2　与抛物线弦长或中点有关的问题【例4】　已知抛物线C：x2＝2py(p＞0)，过焦点F的直线交C于A，B两点，D是抛物线的准线l与y轴的交点．(1)若AB∥l，且△ABD的面积为1，求抛物线的方程；(2)设M为AB的中点，过M作l的垂线，垂足为N.证明：直线AN与抛物线相切．[解]　(1)∵AB∥l，∴|FD|＝p，|AB|＝2p.∴S△ABD＝p2，∴p＝1，故抛物线C的方程为x2＝2y.(2)设直线AB的方程为y＝kx＋，由得x2－2kpx－p2＝0，∴x1＋x2＝2kp，x1x2＝－p2.其中A，B.∴M，N.∴kAN＝＝＝＝＝.又x2＝2py，∴y′＝.∴抛物线x2＝2py在点A处的切线斜率k＝.∴直线AN与抛物线相切．[规律方法]　解决直线与抛物线位置关系问题的常用方法(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系.(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝|x1|＋|x2|＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式.(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法. 已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，抛物线C与直线l1：y＝－x的一个交点的横坐标为8.(1)求抛物线C的方程；(2)不过原点的直线l2与l1垂直，且与抛物线交于不同的两点A，B，若线段AB的中点为P，且|OP|＝|PB|，求△FAB的面积. [解]　(1)易知直线与抛物线的交点坐标为(8，－8)，∴(－8)2＝2p8，∴2p＝8，∴抛物线方程为y2＝8x.(2)直线l2与l1垂直，故可设直线l2：x＝y＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，且直线l2与x轴的交点为M.由得y2－8y－8m＝0，Δ＝64＋32m>0，∴m>－2.y1＋y2＝8，y1y2＝－8m，∴x1x2＝＝m2.由题意可知OA⊥OB，即x1x2＋y1y2＝m2－8m＝0，∴m＝8或m＝0(舍)，∴直线l2：x＝y＋8，M(8,0)．故S△FAB＝S△FMB＋S△FMA＝|FM||y1－y2|＝3＝24.1．(2018全国卷Ⅰ)设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点(－2,0)且斜率为的直线与C交于M，N两点，则＝(　　)A．5　　　　B．6　　　　C．7　　　　D．8D　[法一：过点(－2,0)且斜率为的直线的方程为y＝(x＋2)，由得x2－5x＋4＝0，解得x＝1或x＝4，所以或不妨设M(1,2)，N(4,4)，易。