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考点跟踪训练 45 方程型综合问题 一、选择题 1．已知有 10 包相同数量的饼干，若将其中 1 包饼干平分给 23 名学生，最少剩 3 片．若将此 10 包饼干平分给 23 名学生，则最少剩多少片？( ) A. 0 B. 3 C. 7 D．10 答案 C 解析 设这包饼干有 y 片，则 y>23x＋3(x 是大于 0 的整数)，而 10y＝230x＋30，因而＝10x＋＝10x＋1＋，考虑余数，故最少剩 7 片．10y233023723723 2．一元二次方程 x2＋x＋2＝0 的根的情况是( ) A．有两个不相等的正根 B．有两个不相等的负根 C．没有实数根 D．有两个相等的实数根 答案 C解析 由 x2＋x＋2＝0，得 x2＋x＋ ＝－ ，所以2＝－ ，方程没有实数根．1474(x＋12)74 3．(2010·攀枝花)下列关于 x 的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是( ) A．x2＋1＝0 B．9x2－6x＋1＝0 C．x2－x＋2＝0 D．x2－2x－1＝0 答案 D 解析 x2－2x－1＝0，x2－2x＋1＝2，(x－1)2＝2，x1＝1＋，x2＝1－.224．(2010·莆田)在某次聚会上，每两人都握了一次手，所有人共握手 10 次，设有 x 人参 加这次聚会，则列出方程正确的是( )A．x(x－1)＝10 B.＝10xx－12C．x(x＋1)＝10 D.＝10xx＋12 答案 B解析 设有 x 人参加聚会，则每个人需握手(x－1)次，所以＝10.xx－12 5．设 a、b 是方程 x2＋x－2009＝0 的两个实数根，则 a2＋2a＋b 的值为( ) A．2006 B．2007 C．2008 D．2009 答案 C 解析 根据题意，有 a2＋a－2009＝0，a2＋a＝2009；又 a＋b＝－1，所以 a2＋2a＋b＝2008. 二、填空题 6．一家商店将某件商品按成本价提高 50%后，标价为 450 元，又以 8 折出售，则售出 这件商品可获利润______元． 答案 60 解析 450×0.8－450÷(1＋50%)＝360－300＝60. 7．(2009·牡丹江)五一期间，百货大楼推出全场打八折的优惠活动，持贵宾卡可在八折 基础上继续打折，小明妈妈持贵宾卡买了标价为 10000 元的商品，共节省 2800 元，则用贵 宾卡又享受了________折优惠． 答案 九 解析 设贵宾卡又享受 x 折优惠，则有10000×0.8×＝10000－2800,800x＝7200，x＝9.(x10) 8．(2011·铜仁)当 k________时，关于 x 的一元二次方程 x2＋6kx＋3k3＋6＝0 有两个相 等的实数根． 答案 ±1解析 当(6k)2－4×1×(3k2＋6)＝0 时，方程有两个相等的实数根，解这个方程，得 k＝±1. 9．(2011·苏州)已知 a、b 是一元二次方程 x2－2x－1＝0 的两个实数根，则代数式(a－b) ＋ab 的值等于________．(a＋b－2)答案 －1 解析 由根与系数的关系得 a＋b＝2，ab＝－1，所以(a－b)(a＋b－2)＋ab＝(a－b) ×0＋(－1)＝－1. 10．(2009·江苏)某县 2008 年农民人均年收入为 7800 元，计划到 2010 年，农民人均年 收入达到 9100 元．设人均年收入的平均增长率为 x，则可列方程__________． 答案 7800(1＋x)2＝9100 三、解答题 11．已知：如图，在平面直角坐标系 xOy 中，矩形 OABC 的边 OA 在 y 轴的正半轴上， OC 在 x 轴的正半轴上，OA＝2，OC＝3.过原点 O 作∠AOC 的平分线交 AB 于点 D，连接 DC，过点 D 作 DE⊥DC，交 OA 于点 E. (1)求过点 E、D、C 的抛物线的解析式； (2)将∠EDC 绕点 D 按顺时针方向旋转后，角的一边与 y 轴的正半轴交于点 F，另一边与线段 OC 交于点 G.如果 DF 与(1)中的抛物线交于另一点 M，点 M 的横坐标为 ，那么65 EF＝2GO 是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由； (3)对于(2)中的点 G，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点 Q，使得直线 GQ 与 AB 的交点 P 与点 C、G 构成的△PCG 是等腰三角形？若存在，请求出点 Q 的坐标；若不存 在，请说明理由．解 (1)由已知，得 C(3,0)，D(2,2)， ∵∠ADE＝90°－∠CDB＝∠BCD， 又∠AOD＝∠COD＝∠ADO， ∴AD＝AO＝BC＝2. 又∠DAE＝∠B＝90°， ∴△ADE≌△BCD， ∴AE＝BD＝1，∴OE＝1， ∴E(0,1)． 设过点 E、D、C 的抛物线的解析式为 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)． 将点 E 的坐标代入，得 c＝1. 将 c＝1 和点 D、C 的坐标分别代入， 得Error!解得Error!故抛物线的解析式为 y＝－ x2＋x＋1.56136 (2)EF＝2GO 成立，证明如下：∵点 M 在该抛物线上，且它的横坐标为 ，65∴点 M 的纵坐标为.125 设 DM 的解析式为 y＝kx＋b1(k≠0)，将点 D、M 的坐标分别代入， 得Error!解得Error!∴DM 的解析式为 y＝－ x＋3.12∴F(0,3)，EF＝2. 如图①，过点 D 作 DK⊥OC 于点 K，则 DA＝DK.∵∠ADK＝∠FDG＝90°，∴∠FDA＝∠GDK. 又∵∠FAD＝∠GKD＝90°，∴△DAF≌△DKG. ∴KG＝AF＝1.∴GO＝1.∴EF＝2GO. (3)∵点 P 在 AB 上，G(1,0)，C(3,0)，设 P(t,2)． ∴PG2＝(t－1)2＋22，PC2＝(3－t)2＋22，GC＝2. ①若 PG＝PC，则(t－1)2＋22＝(3－t)2＋22， 解得 t＝2. ∴P(2,2)，此时点 Q 与点 P 重合，∴Q(2,2)． ②若 PG＝GC，则(t－1)2＋22＝22，解得 t＝1，∴P(1,2)，此时 GP⊥x 轴．GP 与该抛物线在第一象限内的交点 Q 的横坐标为 1，∴点 Q 的纵坐标为 .∴Q.73(1，73) ③若 PC＝GC，则(3－t)2＋22＝22， 解得 t＝3， ∴P(3,2)，此时 PC＝GC＝2，△PCG 是等腰直角三角形． 如图②，过点 Q 作 QH⊥x 轴于点 H，则 QH＝GH，设 QH＝h，∴Q(h＋1，h)．∴－ (h＋1)2＋(h＋1)＋1＝h.56136解得 h1＝ ，h2＝－2(舍去)．∴Q.75(125，75)综上所述，存在三个满足条件的点 Q，即 Q1(2,2)或 Q2或 Q3.(1，73)(125，75) 12．已知，如图抛物线 y＝ax2＋3ax＋c(a>0)与 y 轴交于 C 点，与 x 轴交于 A、B 两点， A 点在 B 点左侧．点 B 的坐标为(1,0)，OC＝3OB. (1)求抛物线的解析式； (2)若点 D 是线段 AC 下方抛物线上的动点，求四边形 ABCD 的面积的最大值； (3)若点 E 在 x 轴上，点 P 在抛物线上，是否存在以 A、C、E、P 为顶点且以 AC 为一 边的平行四边形？若存在，求点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．解 (1)∵对称轴 x＝－＝－ ，3a2a32 又∵OC＝3OB＝3，a>0，∴C(0，－3)． 把 B(1,0)、C(0，－3)代入 y＝ax2＋3ax＋c 得Error! 解得 a＝ ，c＝－3.34∴y＝ x2＋ x－33494 (2)过点 D 作 DM∥y 轴分别交线段 AC 和 x 轴于点 M、N.∴S四边形 ABCD＝S△ABC＋S△ACD＝＋ ·DM·(AN＋ON)＝＋2DM.15212152∵A(－4,0)，C(0，－3)， 设直线 AC 的解析式为 y＝kx＋b，代入求得：y＝－ x－3，34令 D，M，(x，34x2＋94x－3)(x，－34x－3)则 DM＝－ x－3－34(34x2＋94x－3)＝－ (x＋2)2＋3.34当 x＝－2 时，DM 有最大值 3，此时四边形 ABCD 面积有最大值.272 (3)如图①所示，讨论：①过点 C 作 CP1∥x 轴交抛物线于点 P1，过点 P1作 P1E1∥AC 交 x 轴于点 E1，此时四边形 ACP1E1为平行四边形，∵C(0，－3)，令 x2＋ x－3＝－3 得3494 x1＝0，x2＝－3， ∴CP1＝3.∴P1(－3，－3)．②如图②，平移直线 AC 交 x 轴于点 E，交 x 轴上方的抛物线于点 P，当 AC＝PE 时，四 边形 ACEP 为平行四边形，∵C(0，－3)，∴可令 P(x,3)，由 x2＋ x－3＝3 得：3494 x2＋3x－8＝0，解得 x1＝或 x2＝，－3＋ 412－3－ 412此时存在点 P2和 P3.(－3＋ 412，3)(－3－ 412，3)综上所述，存在 3 个点符合题意，坐标分别是 P1(－3，－3)，P2，P3(－3＋ 412，3).(－3－ 412，3)13．(2011·北京)在平面直角坐标系 xOy 中，二次函数 y＝mx2＋(m－3)x－3(m>0)的图象 与 x 轴交于 A、B 两点(点 A 在点 B 的左侧)，与 y 轴交于点 C.(1)求点 A 的坐标； (2)当∠ABC＝45°时，求 m 的值； (3)已知一次函数 y＝kx＋b，点 P(n,0)是 x 轴上的一个动点，在(2)的条件下，过点 P 垂 直于 x 轴的直线交这个一次函数的图象于点 M，交二次函数的图象于 N.若只有当－20)的图象与 x 轴的交点，∴ 令 y＝0，即 mx2＋(m－3)x－3＝0，解得 x1＝－1, x2＝ .又∵ 点 A 在点 B 左侧且3m m>0， ∴ 点 A 的坐标为(－1,0)．(2)由(1)可知点 B 的坐标为( ，0)．3m ∵ 二次函数的图象与 y 轴交于点 C， ∴ 点 C 的坐标为(0，－3)．∵∠ABC＝45°，∴ ＝3，∴m＝1.3m(3)由(2)得，二次函数解析式为 y＝x2－2x－3.依题意并结合图象可知，一次函数的图象与 二次函数的图象交点的横坐标分别为－2 和 2，由此可得交点坐标为(－2,5)和(2，－3)． 将交点坐标分别代入一次函数解析式 y＝kx＋b 中， 得Error!解得Error! ∴ 一次函数的解析式为 y＝－2x＋1.。