导数附其应用概念附公式总结.docx
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导数与微积分重要概念及公式总结1•平均变化率：孕=f (B)— f (%)称为函数fx)从X1到X?的平均变化率 Ax x 一 x 1 2212. 导数的概念从函数yfx)在x=x0处的瞬时变化率是：f (x +Ax) - f (x ) Aylim o o = linAxtO Ax AxtO Ax我们称它为函数y二f (x)在x二x出的导数，记作f'(x )或y'l ，即0 0 x=x0"\ ]• f (x +Ax)-f (x )f (x ) = lim o o-0 Axt0 Ax其中3. 导数的几何意义：函数y=f(x)在x=x0处的导数等于在该点(x ,f (x ))处的切线的斜率，0 0 0(x , f (x ))为切点)，即 f'(x ) = lim f (xo + 心)_f (xo) = k0 0 0 Axt0 Ax切线方程为：y - f(x )= fix )X - x )0 0 04. 常用函数的导数：(1) y = c 则 y' = 0(2) y = x ，则 y' = 1(3) y = x2 ，则 y ' = 2 x11(4) y =—，贝卩 y'=-—x x 2(5) y = f (x) = xn(n e Q*)，则 y' = nx”-i( 6) y = sin x ，贝 y ' = cos x( 7) y = cos x ，贝 y' = - sin x(8) y = f (x) = ax，则 y'= ax -lna (a > 0)( 9) y = f ( x) = ex ，贝 y ' = ex1(10) f (x) = log x，则 f'(x) = (a > 0,a 丰 1)a xln a1(11) f (x) = In x ,则 f'(x)=x5. 导数的运算法则：(1) . [f (x)士 g(x)｝二 f'(x)士 g'(x)(2) . [f (x)- g(x)]'二 f'(x)g(x)士f (x)g'(x)(3) . 4 ] = f'( x) g(|x)一 f( x) g'(x) (g (x)丰 0)_ g(x)」 [g (x) J2⑷.tf (r )1 = cf f(x )6•复合函数的导数：一般地，对于两个函数y = f (u)和u = g(x)的导数间的关系为f f fyx = y“ • Ux，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积•若 y = f (g (x))，则 y，= [ f (g (x))」=广(g (x) )• g'(x)7•函数的单调性与导数的关系在某个区间(a,b)内，如果f'(x)〉0，那么函数y = f (x)在这个区间内单调递增；如果f'(x) < 0，那么函数y = f (x)在这个区间内单调递减8•求解函数y = f (x)单调区间的步骤：( 1 )确定函数 y = f ( x ) 的定义域；(2) 求导数 y' = f'(x)；(3) 解不等式f'(x)〉0，解集在定义域内的部分为增区间；(4) 解不等式f'(x)<0，解集在定义域内的部分为减区间•9.求函数y = f (x)的极值的方法：解方程f心)=0，当f f(x )= 00(1) 如果在X附近的左侧f'(x)〉0，右侧f'(x) < 0，那么f (r )是极大值00(2) 如果在X附近的左侧f'(x) < 0，右侧f'(x)〉0，那么f (X )是极小值10.利用导数求函数的最值步骤:⑴求f (x)在(a, b)内的极值;⑵将f (x)的各极值与端点处的函数值f (a)、f (b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值11. 定积分的一般研究方法:卜 f (x)dx = lim (g )a i i=i n 1采用“分割、近似代替、求和、取极值”求曲边梯形的面积12. 定积分的几何意义定积分J bf (x)dx是直线x = a, x = b(a丰b), y = 0和曲线y = f (x)所围成的曲边ayB Cy = f2( x)o^ b~~xS = J bf (x)dx -Jba 1 a 2梯形的面积13. 定积分的性质：(1) Jbkf (x)dx = kJbf (x)dxaa(2) Jb[f (x)土 f (x)]dx = Jbf (x)dx ±Jbf (x)dxa 1 2 a 1 a 2(3) Jbf(x)dx = Jcf(x)dx + Jbf(x)dr(其中a
2(2)假设当n=k(k g N *)时等式成立，即1 + 2 + 3H Fk =2 山 ° +1)那么，1 + 2 + 3 +... + k + (k +1) = - k (k +1) + (k +1)=丄伙 + 1)[(k +1) +1]22即当 n=k+1 时等式也成立根据（1）和（2）,可知等式对任何n g n*都成立例2：求f （x）= 1 x3 - 4x + 4的单调区间、极值及在亦］上的最大值和最小值解：因为函数 f （x）= ix3 一4x + 4，所以 f t（x）= x2-4 =（x一2）（x + 2） 令 f f（x ）= 0，解得 x = 2, 或x = -2（1） 当 f' （x） > 0时，即当x > 2或x v -2时，函数为单调递增函数（2） 当f心）v 0时，即当-2 v x v 2时，函数为单调递减函数当x变化时，f （x）f（x）的变化情况如下表x(-8,-2)—2(-2,2)2（2,+8）f》）+0—0+f (x)单调递增2&3单调递减4一 3单调递增因此，当x=-2时，函数有极大值，极大值为f （-2）= 28当x=2时，函数有极小值，极小值为f（2）= — 3b,3］上，当x=2时，函数有极小值，极小值为f(2)=-又由于f（0）= 4,f（3）=1，因此，函数在b,3］上的最大值为4,最小值为一 3。
