函数的所有性质.doc
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精选优质文档-----倾情为你奉上函数的性质（奇偶性、单调性、周期性、对称性）“定义域优先”的思想是研究函数的前提，在求值域、奇偶性、单调性、周期性、换元时易忽略定义域，所以必须先考虑函数的定义域，离开函数的定义域去研究函数的性质没有任何意义1. 奇偶性奇偶性的判定法：首先考察定义域是否关于原点对称，再计算f(-x)与f(x)之间的关系：①f(-x)=f(x)为偶函数；f(-x)=-f(x)为奇函数；②f(-x)-f(x)=0为偶；f(x)+f(-x)=0为奇；③f(-x)÷f(x)=1是偶；f(x)÷f(-x)=-1为奇函数.（1）若定义域关于原点对称（2）若定义域不关于原点对称 非奇非偶 例如：在上不是奇函数常用性质：1．是既奇又偶函数； 2．奇函数若在处有定义，则必有； 3．偶函数满足； 4．奇函数图象关于原点对称，偶函数图象关于y轴对称；5．除外的所有函数的奇偶性满足：（1）奇函数±奇函数=奇函数 偶函数±偶函数=偶函数 奇函数±偶函数=非奇非偶 （2） 奇函数×奇函数=偶函数 偶函数×偶函数=偶函数 奇函数×偶函数=奇函数6．任何函数可以写成一个奇函数和一个偶函数的和。
2. 单调性定义：函数定义域为A，区间，若对任意且① 总有则称在区间M上单调递增② 总有则称在区间M上单调递减应用：（一）常用定义法来证明一个函数的单调性一般步骤：（1）设值（2）作差（3）变形（4）定号（5）结论（二） 求函数的单调区间定义法、图象法、复合函数法、导数法(以后学)注：常用结论（1） 奇函数在对称区间上的单调性相同（2） 偶函数在对称区间上的单调性相反（3） 复合函数单调性-------同增异减 3. 周期性（1）一般地对于函数，若存在一个不为0的常数T，使得内一切值时总有，那么叫做周期函数，T叫做周期，kT（T的整数倍）也是它的周期（2）如果周期函数在所有周期中存在一个最小正数，就把这个最小正数叫最小正周期注：常用结论（1）若，则是周期函数，是它的一个周期（自己证明）（2）若定义在R上的函数y = f (x) 图像同时关于直线x = a 和直线x = b成轴对称 （a≠b），则y = f (x)是周期函数，且2| a－b|是其一个周期自己证明）（推论）若定义在R上的偶函数的图象关于直线对称，则是周期函数，是它的一个周期 （3）若；；；则是周期函数，2是它的一个周期4．对称性一、函数自身的对称性定理1.函数 y = f (x)的图像关于点A (a ,b)对称的充要条件是 f (x) + f (2a－x) = 2b证明：（必要性）设点P(x ,y)是y = f (x)图像上任一点，∵点P( x ,y)关于点A (a ,b)的对称点P（2a－x，2b－y）也在y = f (x)图像上，∴ 2b－y = f (2a－x) 即y + f (2a－x)=2b故f (x) + f (2a－x) = 2b，必要性得证。
充分性）设点P(x0,y0)是y = f (x)图像上任一点，则y0 = f (x0)∵ f (x) + f (2a－x) =2b∴f (x0) + f (2a－x0) =2b，即2b－y0 = f (2a－x0) 故点P（2a－x0，2b－y0）也在y = f (x) 图像上，而点P与点P关于点A (a ,b)对称，充分性得证推论：函数 y = f (x)的图像关于原点O对称的充要条件是f (x) + f (－x) = 0定理2. 函数 y = f (x)的图像关于直线x = a对称的充要条件是 f (a +x) = f (a－x) 即f (x) = f (2a－x) （证明留给读者）推论：函数 y = f (x)的图像关于y轴对称的充要条件是f (x) = f (－x)定理3函数 y = f (x)的图像关于直线x = a对称的充要条件是 f (a +x) = f (a－x) 或 f (x) = f (2a－x) 定理4.若函数y = f (x) 图像同时关于直线x = a 和直线x = b成轴对称 （a≠b），则y = f (x)是周期函数，且2| a－b|是其一个周期。
二．不同函数对称性定理5. 函数y = f (a+x)与y = f (b－x)的图像关于直线x = (b-a)/2成轴对称定理6. 互为反函数的两个函数关于直线y=x对称【典型例题】[例1] 判断下列函数奇偶性（1）（且）（2）（3）（4）（5）解：（1）且∴ 奇函数（2），关于原点对称∴ 奇函数 （3），关于原点对称 ∴ 既奇又偶（4）考虑特殊情况验证： ； 无意义 ； ∴ 非奇非偶（5）且，关于原点对称 ∴ 为偶函数[例2]（1），为何值时，为奇函数；（2）为何值时，为偶函数答案：（1）（恒等定理）∴ 时，奇函数（2） ∴ （恒等定理）∴ ∴ 巩固：已知定义域为的函数是奇函数Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围；解析：（Ⅰ）简 解：取特殊值法因为是奇函数，所以=0，即又由f（1）= - f（-1）知（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）知，易知在上为减函数又因是奇函数，从而不等式： 等价于，因为减函数，由上式推得：．即对一切有：，从而判别式 [例3] 求函数的解析式（1）为R上奇函数，时，，解：时， ∴ ∴ （2）为R上偶函数，时，解：时，∴ [例4] 求下列函数的增区间（1）（2）答案：（1）， ∴ （2）作图 ∴ [例5]若在区间，求取值范围。
答案：分类讨论（1）① 当在区间，符合题意② 当时，要在区间，则有∴ [例6] ，为偶函数，试比较的大小关系解：∵ 为偶函数 ∴ 则函数关于直线x=2对称∵ 在（0，2） ∴ (提示：看离对称轴的远近)[例7] 为偶函数，，若，求取值范围解： ∴ [例8] 求下列函数是否为周期函数（1），满足（2），满足（3），满足（4），满足答案：（1）令 ∴ ∴ ∴ T=2周期函数（2）∴ T=4周期函数（3） ∴ T=4（4） ∴ T=8 [例9] ，偶函数，周期函数，T=2，，，则 ，求当时， 答案： [例10] ，偶函数，奇函数，则 答案：奇偶∴ ∴ ∴ 奇 ∴ 巩固例1：定义在R上的非常数函数满足：f (10+x)为偶函数，且f (5－x) = f (5+x),则f (x)一定是（ ） (A)是偶函数，也是周期函数 (B)是偶函数，但不是周期函数 (C)是奇函数，也是周期函数 (D)是奇函数，但不是周期函数解：∵f (10+x)为偶函数，∴f (10+x) = f (10－x).∴f (x)有两条对称轴 x = 5与x =10 ，因此f (x)是以10为其一个周期的周期函数， ∴x =0即y轴也是f (x)的对称轴，因此f (x)还是一个偶函数。
故选(A) 例2：设定义域为R的函数y = f (x)、y = g(x)都有反函数，并且f(x－1)和g-1(x－2)函数的图像关于直线y = x对称，若g(5) = 1999，那么f(4)=（ ） 1999； （B）2000； （C）2001； （D）2002 解：∵y = f(x－1)和y = g-1(x－2)函数的图像关于直线y = x对称，∴y = g-1(x－2) 反函数是y = f(x－1)，而y = g-1(x－2)的反函数是:y = 2 + g(x), ∴f(x－1) = 2 + g(x), ∴有f(5－1) = 2 + g(5)=2001故f(4) = 2001,应选（C）例3.设f(x)是定义在R上的偶函数，且f(1+x)= f(1－x),当－1≤x≤0时，f (x) = －x，则f (8.6 ) = _________ 解：∵f(x)是定义在R上的偶函数∴x = 0是y = f(x)对称轴；又∵f(1+x)= f(1－x) ∴x = 1也是y = f (x) 对称轴故y = f(x)是以2为周期的周期函数，∴f (8.6 ) = f (8+0.6 ) = f (0.6 ) = f (－0.6 ) = 0.3例4. 设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x+2)= －f(x),当0≤x≤1时，f (x) = x，则f (7.5 ) = （ ） (A) 0.5 (B) －0.5 (C) 1.5 (D) －1.5解：∵y = f (x)是定义在R上的奇函数，∴点（0，0）是其对称中心； 又∵f (x+2 )= －f (x) = f (－x)，即f (1+ x) = f (1－x)， ∴直线x = 1是y = f (x) 对称轴，故y = f (x)是周期为2的周期函数。
∴f (7.5 ) = f (8－0.5 ) = f (－0.5 ) = －f (0.5 ) =－0.5 故选(B)【作业】1. 两位学生在思考一个开放题“满足的点称为函数的不动点，请你构造一个分段函数，使其具有无数个不动点，这些不动点构成一个公比不为1的等比数列”两位学生分别构造了一个函数（）：① ② 请你判断，正确的结论是（ ） A. ①②都对 B. ①对②错 C. ①错②对 D. ①②都错2. 函数与的图像关于（ ）A. y轴对称 B. 原点对称C. 直线x=1对称 D. 关于y轴对称且关于直线x=1对称3. 若函数在（）上是减函数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 函数在（）上存在，使，则的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 5. 若，则它们的大小关系为（ ）A. B. C. D. 6. 如图所示，点P在边长为1的正方形的边上运动，设M是CD边的中点，则当点P沿着A—B—C—M运动时，以点P经过的路程为自变量，三角形APM的面积函数的图像形状大致是（ ）7. 函数（ ）A. 在（1，）内单调递增 B. 在（1，）内单调递减C. 在（）内单调递增 D. 在（）内单调递减8. 函数的定义域为[]，值域为，其反函数为，则的（ ）A. 定义域为，值域为B. 定义域为，值域为C. 定义域为，值域为D. 定义域为，值域为9. 已知函。
