高一数学《三角函数与平面向量》精讲精练.doc

第三讲 三角函数与平面向量【知识网络】任意角的概念弧长公式角度制与弧度制同角三角函数的基本关系式诱导公式计算与化简证明恒等式任意角的三角函数三角函数的图像和性质已知三角函数值求角图像和性质和角公式倍角公式差角公式应用应用应用应用应用应用应用 第1课 三角函数的概念考试注意：理解任意角的概念、弧度的意义． 能正确地进行弧度与角度的换算． 掌握终边相同角的表示方法． 掌握任意角的正弦、余弦、正切的意义．了解余切、正割、余割的定义． 掌握三角函数的符号法则． 知识典例： 1．角α的终边在第一、三象限的角平分线上，角α的集合可写成 ．2．已知角α的余弦线是单位长度的有向线段，那么角α的终边 ( ) A．在x轴上 B．在y轴上 C．在直线y=x上 D．在直线y=－x上 ．3．已知角α的终边过点p(－5，12)，则cosα} ，tanα= ．4． 的符号为 ．5．若cosθtanθ＞0，则θ是 ( )A．第一象限角 B．第二象限角 C．第一、二象限角 D．第二、三象限角【讲练平台】例1 已知角的终边上一点P（－ ，m），且sinθ= m，求cosθ与tanθ的值． 分析 已知角的终边上点的坐标，求角的三角函数值，应联想到运用三角函数的定义解题，由P的坐标可知，需求出m的值，从而应寻求m的方程． 解 由题意知r= ，则sinθ= = ．又∵sinθ= m， ∴ = m． ∴m=0，m=±． 当m=0时，cosθ= －1 ， tanθ=0 ；当m= 时，cosθ= － ， tanθ= － ；当m= － 时，cosθ= － ，tanθ= ．点评 已知一个角的终边上一点的坐标，求其三角函数值，往往运用定义法(三角函数的定义)解决． 注意运用终边相同的角的表示方法表示有关象限角等；已知角的终边上一点的坐标，求三角函数值往往运用定义法；注意运用三角函数线解决有关三角不等式．1． 已知α是钝角，那么 是 （ ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第一与第二象限角 D．不小于直角的正角 2． 角α的终边过点P（－4k，3k）(k＜0}，则cosα的值是 （ ） A． B． C．－ D．－ 3．已知点P(sinα－cosα，tanα)在第一象限，则在［0，2π］内，α的取值范围是 ( ) A．( ， )∪(π， ) B．( ， )∪(π， ) C．( ， )∪(，) D．( ， )∪( ，π) 4．若sinx= － ，cosx = ，则角2x的终边位置在 ( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限5．若4π＜α＜6π，且α与－ 终边相同，则α= ．6． 角α终边在第三象限，则角2α终边在 象限．7．已知｜tanx｜=－tanx，则角x的集合为 ．8．如果θ是第三象限角，则cos(sinθ)·sin(sinθ)的符号为什么？ 9．已知扇形AOB的周长是6cm，该扇形中心角是1弧度，求该扇形面积． 第2课 同角三角函数的关系及诱导公式 掌握同角三角函数的基本关系式：sin 2α+cos2α=1， =tanα，tanαcotα=1， 掌握正弦、余弦的诱导公式．能运用化归思想（即将含有较多三角函数名称问题化成含有较少三角函数名称问题）解题 ． 1．sin2150°+sin2135°+2sin210°+cos2225°的值是 ( ) A． B． C． D． 2．已知sin(π+α)=－，则 ( ) A．cosα= B．tanα= C．cosα= － D．sin(π－α)= 3．已tanα=3， 的值为 ．4．化简= ．5．已知θ是第三象限角，且sin4θ+cos4θ= ，那么sin2θ等于 ( ) A． B．－ C． D．－ 例1 化简 ． 分析 式中含有较多角和较多三角函数名称，若能减少它们的个数，则式子可望简化． 解 原式= = = =1 ． 点评 将不同角化同角，不同名的三角函数化成同名的三角函数是三角变换中常用的方法． 例2 若sinθcosθ= ，θ∈( ，)，求cosθ－sinθ的值． 分析 已知式为sinθ、cosθ的二次式，欲求式为sinθ、cosθ的一次式，为了运用条件，须将cosθ－sinθ进行平方． 解 (cosθ－sinθ)2=cos2θ+sin2θ－2sinθcosθ=1－ = ． ∵θ∈( ，)，∴ cosθ＜sinθ． ∴cosθ－sinθ= － ． 变式1 条件同例， 求cosθ+sinθ的值． 变式2 已知cosθ－sinθ= － ， 求sinθcosθ，sinθ+cosθ的值． 点评 sinθcosθ，cosθ+sinθ，cosθ－sinθ三者关系紧密，由其中之一，可求其余之二． 1．在三角式的化简，求值等三角恒等变换中，要注意将不同名的三角函数化成同名的三角函数． 2．注意1的作用：如1=sin 2θ+cos2θ． 3．要注意观察式子特征，关于sinθ、cosθ的齐次式可转化成关于tanθ的式子． 4．运用诱导公式，可将任意角的问题转化成锐角的问题 ． 1．sin600°的值是 （ ） A． B．－ C． D．－ 2． sin(+α)sin（－α）的化简结果为 （ ） A．cos2α B．cos2α C．sin2α D． sin2α 3．已知sinx+cosx=，x∈［0，π］，则tanx的值是 （ ）A．－ B．－ C．± D．－或－4．已知tanα=－，则 = ． 5． 的值为 ． 6．证明 =． 7．已知=－5，求3cos2θ+4sin2θ的值． 8．已知锐角α、β、γ满足sinα+sinγ=sinβ，cosα－cosγ=cosβ，求α－β的值． 第3课 两角和与两角差的三角函数（一） 掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式，掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，能运用化归思想（将不同角化成同角等）解题．1．cos105°的值为 （ ） A． B． C． D． 2．对于任何α、β∈（0，），sin(α+β)与sinα+sinβ的大小关系是 （ ） A．sin(α+β)＞sinα+sinβ B．sin(α+β)＜sinα+sinβ C．sin(α+β)=sinα+sinβ D．要以α、β的具体值而定3．已知π＜θ＜，sin2θ=a，则sinθ+cosθ等于 （ ） A． B．－ C． D．±4．已知tanα=，tanβ=，则cot(α+2β)= ． 5．已知tanx=，则cos2x= ． 例1 已知sinα－sinβ=－ ，cosα－cosβ=，求cos(α－β)的值 ． 分析 由于cos(α－β)=cosαcosβ+sinαsinβ的右边是关于sinα、cosα、sinβ、cosβ的二次式，而已知条件是关于sinα、sinβ、cosα、cosβ的一次式，所以将已知式两边平方． 解 ∵sinα－sinβ=－， ① cosα－cosβ= ， ②①2 ＋②2 ，得2－2cos(α－β)= ． ∴cos(α－β)= ． 点评 审题中要善于寻找已知和欲求的差异，设法消除差异． 例2 已知：sin(α+β)=－2sinβ．求证：tanα=3tan(α+β)． 分析 已知式中含有角2α+β和β，而欲求式中含有角α和α+β，所以要设法将已知式中的角转化成欲求式中的角． 解 ∵2α+β=(α+β)+α，β=(α+β)－α， ∴sin［(α+β)+α］=－2sin［(α+β)－α］． ∴sin(α+β)cosα+cos(α+β)sinα=－2sin(α+β)cosα+2cos(α+β)sinα． 若cos(α+β)≠0 ，cosα≠0，则3tan(α+β)=tanα． 点评 审题中要仔细分析角与角之间的关系，善于运用整体思想解题，此题中将α+β看成一个整体 1．已知0＜α＜＜β＜π，sinα=，cos(α+β)=－，则sinβ等于 （ ） A．0 B．0或 C． D．0或－2． 的值等于 （ ） A．2+ B． C．2－ D． 3． △ABC中，3sinA+4cosB=6，4sinB+3cosA=1，则∠C的大小为 （ ） A． B． C． 或 D． 或4．若α是锐角，且sin(α－)= 。