专题07极化恒等式问题-冲刺2019年高考数学压轴题微切口突破(解析版).pdf

专题 07 极化恒等式问题 极化恒等式这个概念虽在课本上没有涉及，但在处理一类向量数量积时有奇效，备受师生喜爱. 1.极化恒等式： 221 ()() 4 a babab rrr rrr 2.极化恒等式三角形模型：在ABC中， D 为 BC 的中点，则 221 | 4 AB ACADBC uuu r uuu ruu u ruuu r 3.极化恒等式平行四边形模型：在平行四边形ABCD中， 221 (| ) 4 AB ADADBD uu u r u uu ruuu ruuu r 类型一利用极化恒等式求值 典例 1. 如图在三角形ABC中，D是 BC的中点， E,F 是 AD上的两个三等分点，4,1,BA CABF CF uu u r uu u ruuu ru uu r 则 BE CE uuu r u uu r 值为 _. 【答案】 7 8 【解析】 设 22 22 ,|94DCa DFb BA CAADBDba uuu rr uuu rr uu u r uu u ru uu ruuu rrr 22 22 |1BF CFFDBDba uuu r u uu ruu u ru uu rrr 解得 22 513 , 88 ba rr 22 227 |4 8 BE CEEDBDba u uu r uuu ruu u ru uu rrr 类型二利用极化恒等式求最值或范围 典例 2 在三角形ABC中， D为 AB中点，90 ,4,3CACBC ， E,F 分别为 BC,AC上的动点，且 EF=1 ， 则DE DF uuu r uu u r 最小值为 _ 【答案】 15 4 【解析】 设 EF的中点为M ，连接 CM ，则 1 | 2 CM 即点 M在如图所示的圆弧上， 则 2 222 11115 | 4244 DE DFDMEMDMCD uuu r uuu ruuu u ruuu u ruu uu r 类型三利用极化恒等式求参数 典例3 设三角形ABC ， P0是边AB 上的一定点，满足P0B= 1 4 AB,且对于边AB 上任一点P，恒有 00 PB PCP B PC uu u r uuu ru uu r uu ur , 则三角形ABC形状为 _. 【答案】 C为顶角的等腰三角形. 【解析】 取 BC的中点 D，连接 PD,P0D. 00 PB PC PB PC u uu r uuu ruu ur uuur Q 2 222 0 11 | 44 PDBCP bBC uuu ruuu ru u ru uu rr 0 |PDP D uuu rr r 0 P DAB, 设 O为 BC的中点， OCABACBC 即三角形ABC为以 C为顶角的等腰三角形. 1. 已知ABC是边长为2 的等边三角形，P为平面 ABC内一点，则()PAPBPC u uu ruu u ruu u r 的最小值是 _ 【答案】 3 2 【解析】 设 BC 的中点为 O，OC的中点为 M,连接 OP,PM, 222 133 ()22|2 | 222 PAPBPCPO PAPMAOPM u uu ruuu ruuu ruu u r u uu ruuuu ru uu ruu uu r 当且仅当M与 P重合时取等号 2直线0axbyc与圆 22 0:16xy相交于两点M,N,若 222 cab，P为圆 O上任意一点，则 PM PN uu uu r uuu r 的取值范围为_ 【答案】 6,10 【解析】 圆心 O到直线0axbyc的距离为 22 | 1 c d ab 设 MN的中点为A， 222 |15PMPNPAMAPA uuu u r uuu ruu u ruu u ruu u r |OPOAPAOPOA uuu ru uu ruu u ruuu ruu u r Q剟 2 3|5,|15 6,10PAPMPNPA u uu ruuu u r u uu ruu u r 剟 3如图，已知B,D 是直角 C两边上的动点， 1 2 ,|3,() 6 ADBDADBADCMCACB u uu ruuuu ruu u ruuu r 1 () 2 CNCDCA uuu ruuu ruu u r ，则CM CN uu uu r u uu r 的最大值为 _ 【答案】 1 ( 134) 4 【解析】 设 MN的中点为G，BD的中点为H， 2 1 | 4 CMCNCG uuu u r u uu ruuu r 22 1 | 16 MNCG uuu u ruu u r 2 11311311 |( 134) 2424164 CGCHHGCMCN uuu ruuu ruu u ruuuu r uu u r Q剟 所以CM CN u uu u r uuu r 的最大值为 1 ( 134) 4 4. 如图在同一平面内，点 A位于两平行直线m,n 的同侧， 且 A到 m,n 的距离分别为1，3，点 B,C 分别在 m,n 上，且|5ABAC uuu ruu u r ，则AB AC u uu r uuu r 的最大值为 _ 【答案】 21 4 【解析】 连接 BC ，取 BC的中点 D，则 22 AB ACADBD uuu r uuu r ， 又 15 | 22 ADABAC uu u ruu u r 故 2225251 444 AB ACBDBC uuu r uu u r 又因为 min 312BC 所以 21 () 4 max AB AC uu u r u uu r 5.在半径为1 的扇形 AOB 中，60AOB,C 为弧上的动点， AB 与 OC 交于点 P，则OP BP uuu r uuu r 的最小值为 _ 【答案】 4 1 【解析】 取 OB的中点 D，连接 PD ，则 222 1 4 OP BPPDODPD uuu r uu u r 于是只要求求PD的最小值即可， 由图可知，当PDAB时， min 3 4 PD 即所求最小值为 4 1 6. 已知线段AB的长为 2，动点 C满足CA CB uu u r uu u r （为常数），且点 C总不在以点B为圆心， 1 2 为半径的 圆内，则负数的最大值为 _ 【答案】 4 3 【解析】如图取AB的中点为D，连接 CD,则 2 1CA CBCD uu u r u uu r 1, 10CD, 又由点 C总不在以点B为圆心， 1 2 为半径的圆内， 故 1 1 2 ,，则负数的最大值为 4 3 7. 已知 A(0,1) ， 曲线 4 :logCyx横过点 B， 若 P是曲线 C上的动点，且AB AP uuu r uuu r 的最小值为2， 则_ 【答案】e 【解析】 如图， B（1，0） ，则2AB，连接 BP ，取 BP的中点 C，连接 AC, 因为AB AP uuu r uuu r 的最小值为2，则有 2222 max 2( 2)ACBCAB 上式等价于 222 ABBCAC,，即90ABP 当且仅当P与 B重合时取等号，此时曲线C在 B处的切线斜率等于1， 即 1 1 n ,e l a 8. 若平面向量,a b r r 满足| 2| 3ab r r ，则a b r r 的最小值为 _ 【答案】 9 8 【解析】 222222 (2)(2)|2|2|039 8888 abababab a b rr rr r r 当且仅当| 2| 0,| 2|3abab rr rr ，即 33 |,|, 42 aba b r rr 时a b r r 取最小值 9 8 9. 在正方形ABCD中， AB=1 ，A,D 分别在 x,y 轴的非负半轴上滑动，则OC OB uuu r u uu r 的最大值为 _ 【答案】 2 【解析】 如图取 BC的中点 E，取 AD的中点 F， 2 2222 4()()(2)(2)41OC OBOCOBOCOBOEBEOE uuu r uuu ruu u ruuu ruuu ru uu ru uu ruuu ruuu r 所以 2 1 4 OC OBOE u uu r uu u ruuu r 而 113 | |1 222 OEOFFEADFE uu u ru uu ruuu ru uu ru uu r ， 当且仅当,OFAD OAOD时取等号，所以OC OB uu u r uu u r 的最大值为2 10. 已知正方形ABCD 的边长为2，点 E 为 AB的中点，以A 为圆心 ,AE 为半径作弧交AD于 F，若 P 为劣弧 EF上的动点，则PC PD uuu r uu u r 的最小值为 _ 【答案】52 5 【解析】 如图取 CD的中点 M. 2 2222 4()()(2)(2)44PC PDPCPDPCPDPMDMPM uuu r uuu ruuu ruuu ruuu ruuu ruuu u ruu uu ru uu u r 所以 2 1PC PDPM u uu r uu u ruu uu r 而|1 | |5PMPMAPAE uu uu ruuu u ruuu ruuu r ，当且仅当P,Q 重合时等号成立 所以PC PD u uu r uuu r 的最小值为 2 (51)152 5 11. 正方体 ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，MN是它的内切球的一条弦，P为正方体表面上的动点，当弦MN的长度 最大时，求PM PN uu uu r uu u r 的范围 . 【答案】0,2 【解析】 如图当弦MN的长度最大时，为内切球的直径，此时O为 MN的中点， 2 2222 4()()(2)(2)44PM PNPMPNPMPNPOOMPO uuuu r u uu ru uu u ruuu ruuuu ru uu ruuu ruuuu ruuu r 所以 2 1PMPNPO u uu u r uuu ruuu r 而1 |3PO u uu r ，所以PM PN uu uu r uuu r 的范围为0,2 。