苏教版高中数学知识点整理.pdf

第一讲集合一、知识精点讲解1集合：某些指定的对象集在一起成为集合 1）集合中的对象称元素，若 a 是集合 A的元素， 记作Aa；若 b 不是集合A 的元素，记作Ab；（ 2）集合中的元素必须满足：确定性、互异性与无序性；确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立；互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素；无序性：集合中不同的元素之间没有地位差异，集合不同于元素的排列顺序无关；（ 3）表示一个集合可用列举法、描述法或图示法；列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内；描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号 内具体方法： 在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征注意： 列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法4）常用数集及其记法：非负整数集（或自然数集），记作 N；正整数集，记作N*或 N+；整数集，记作Z；有理数集，记作Q ；实数集，记作R。

2集合的包含关系：（1）集合 A 的任何一个元素都是集合B 的元素，则称A 是 B 的子集（或B 包含 A） ，记作 AB（或BA） ；集合相等：构成两个集合的元素完全一样若 AB 且 BA， 则称 A 等于 B， 记作 A=B；若 AB 且 AB，则称 A 是 B 的真子集，记作AB；（2）简单性质： 1）AA；2）A；3）若 AB，BC，则 AC；4）若集合A是 n 个元素的集合，则集合A 有 2n个子集（其中2n1 个真子集）；3全集与补集：（1）包含了我们所要研究的各个集合的全部元素的集合称为全集，记作U；（2）若 S 是一个集合， AS，则，SC=|AxSxx且称 S 中子集 A 的补集；4交集与并集：（1）一般地， 由属于集合A 且属于集合B 的元素所组成的集合，叫做集合 A 与 B 的交集交集|BxAxxBA且2）一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，称为集合A与 B的并集BxAxxBA或并集注意：求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或” ，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn 图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法。

精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 44 页 - - - - - - - - - - 精品学习资料 - - -p d f 精品资料 - - - - - - - - - - - - - - -第二讲函数概念与表示一、知识精点讲解1函数的概念：设 A、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A 中的任意一个数 x，在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：AB 为从集合A 到集合 B的一个函数 记作：y=f(x)，xA其中， x叫做自变量， x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与 x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合f(x)| xA 叫做函数的值域注意：（1） “y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)” ；（2）函数符号“ y=f(x)”中的 f(x)表示与 x 对应的函数值，一个数，而不是f 乘 x2构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域（1）解决一切函数问题必须认真确定该函数的定义域，函数的定义域包含三种形式：自然型： 指函数的解析式有意义的自变量x 的取值范围 （如：分式函数的分母不为零，偶次根式函数的被开方数为非负数，对数函数的真数为正数，等等）；限制型： 指命题的条件或人为对自变量x 的限制， 这是函数学习中重点，往往也是难点，因为有时这种限制比较隐蔽，容易犯错误；实际型：解决函数的综合问题与应用问题时，应认真考察自变量x 的实际意义。

2）求函数的值域是比较困难的数学问题，中学数学要求能用初等方法求一些简单函数的值域问题配方法（将函数转化为二次函数）；判别式法（将函数转化为二次方程）；不等式法（运用不等式的各种性质）；函数法（运用基本函数性质，或抓住函数的单调性、函数图象等）3两个函数的相等：函数的定义含有三个要素，即定义域A、值域 C 和对应法则f当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一个函数4区间：区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；5映射的概念一般地，设A、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合 B 中都有唯一确定的元素y 与之对应， 那么就称对应f：AB为从集合 A 到集合 B 的一个映射记作“f：AB” 函数是建立在两个非空数集间的一种对应，若将其中的条件 “非空数集”弱化为“任意两个非空集合” ，按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对应关系，这种的对应就叫映射注意： （ 1）这两个集合有先后顺序，A 到 B 的射与 B 到 A 的映射是截然不同的其中f表示具体的对应法则，可以用汉字叙述2） “都有唯一”什么意思？包含两层意思：一是必有一个；二是只有一个，也就是说有且只有一个的意思。

6常用的函数表示法： （1）解析法：（2）列表法：（3）图象法：7分段函数若一个函数的定义域分成了若干个子区间，而每个子区间的解析式不同，这种函数又称分段函数；8复合函数若 y=f(u)，u=g(x),x(a，b)，u (m,n) ，那么 y=fg(x)称为复合函数，u 称为中间变量，它的取值范围是g(x)的值域精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 44 页 - - - - - - - - - - 精品学习资料 - - -p d f 精品资料 - - - - - - - - - - - - - - -第三讲函数的基本性质一、要点精讲1奇偶性（1）定义：如果对于函数f(x)定义域内的任意x 都有 f(x)=f(x)，则称 f(x)为奇函数；如果对于函数f(x)定义域内的任意x 都有 f(x)=f(x)，则称 f(x)为偶函数如果函数 f(x)不具有上述性质，则f(x)不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质，则 f(x)既是奇函数，又是偶函数注意：1函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；2由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个 x，则 x 也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）。

2）利用定义 判断函数奇偶性的格式步骤：1首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；2确定 f(x)与 f(x)的关系；3作出相应结论：若 f(x) = f(x) 或 f(x)f(x) = 0，则 f(x)是偶函数；若 f(x) =f(x) 或 f(x)f(x) = 0，则 f(x)是奇函数 3）简单性质：图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y 轴对称；设( )f x，( )g x的定义域分别是12,DD，那么在它们的公共定义域上：奇+奇=奇，奇奇=偶，偶 +偶=偶，偶偶=偶，奇偶=奇2单调性（1）定义：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I， 如果对于定义域I 内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当 x1x2时，都有 f(x1)f(x2)） ，那么就说f(x)在区间D 上是增函数（减函数） ；注意：1函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；2必须是对于区间D 内的任意两个自变量x1，x2；当 x1x2时，总有 f(x1)f(x2) （2）如果函数 y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D 叫做 y=f(x)的单调区间。

3）设复合函数y= fg(x)，其中 u=g(x) , A 是 y= fg( x)定义域的某个区间，B 是映射 g :xu=g(x) 的象集：若 u=g(x) 在 A 上是增（或减）函数，y= f(u)在 B 上也是增（或减）函数，则函数y=fg(x)在 A 上是增函数；若 u=g(x)在 A 上是增（或减）函数，而 y= f(u)在 B 上是减（或增）函数，则函数 y= fg(x)在 A 上是减函数4）判断函数单调性的方法步骤：1任取 x1，x2D，且 x11 0a0 时， y1;x0 时， 0y0 时， 0y1;x1. （5）在 R 上是增函数（5）在 R 上是减函数精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 44 页 - - - - - - - - - - 精品学习资料 - - -p d f 精品资料 - - - - - - - - - - - - - - -（2）对数函数：定义：函数)1,0(logaaxya且称对数函数，a1 0a1a0 )1 ,0(x时0y), 1(x时0y（5）在（ 0，+）上是增函数在（ 0，+）上是减函数精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 44 页 - - - - - - - - - - 精品学习资料 - - -p d f 精品资料 - - - - - - - - - - - - - - -第五讲函数图象及数字特征一、知识精点讲解1函数图象（1）作图方法：以解析式表示的函数作图象的方法有两种，即列表描点法和图象变换法。

作函数图象的步骤：确定函数的定义域；化简函数的解析式；讨论函数的性质即单调性、奇偶性、周期性、最值（甚至变化趋势）；描点连线，画出函数的图象用图象变换法作函数图象要确定以哪一种函数的图象为基础进行变换，以及确定怎样的变换2）三种图象变换：平移变换、对称变换和伸缩变换等等；平移变换：、水平平移：函数()yf xa的图像可以把函数( )yf x的图像沿x轴方向向左(0)a或向右(0)a平移|a个单位即可得到；1）y=f(x)h左移y=f(x+h)；2）y=f(x) h右移y=f(x h)；、竖直平移：函数( )yf xa的图像可以把函数( )yf x的图像沿x轴方向向上(0)a或向下(0)a平移|a个单位即可得到；1）y=f(x) h上移y=f(x)+h；2）y=f(x) h下移y=f(x) h对称变换：、函数()yfx的图像可以将函数( )yf x的图像关于y轴对称即可得到；y=f(x) 轴yy=f( x) 、函数( )yfx的图像可以将函数( )yf x的图像关于x轴对称即可得到y=f(x) 轴xy= f(x) 、函数()yfx的图像可以将函数( )yf x的图像关于原点对称即可得到y=f(x) 原点y= f( x) 、函数)(yfx的图像可以将函数( )yf x的图像关于直线yx对称得到y=f(x) xy直线x=f(y) 、函数)2(xafy的图像可以将函数( )yf x的图像关于直线ax对称即可得y=f(x) ax直线y=f(2a x)。

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