弯曲应力.ppt

截面面积 A,极惯性矩,惯性矩 I,变形小,变形大,（弯曲应力),附录 截面的几何性质,1. 静矩,对z轴,对y轴,静矩: 可为正、负、零单位：m3 mm3,静矩 →面积×距离,静矩和形心,微面积dA, dA的形心坐标（z,y）,ydA dA对z轴的静矩,zdA dA对y轴的静矩,2.形心（yc, zc）,对任意截面：,形心坐标：,静矩和形心,推论：对形心轴的静矩为零 组合截面：（由几个形心已知的简单图形组成）,,,( yi、zi —各截面形心到轴的距离 ),静矩和形心,1,2,3,例：求图示物体的形心坐标矩形II：,单位:mm,静矩和形心,形心：,静矩和形心,例: 求图示T形截面的形心坐标解：建参考坐标系，y轴为对称轴将T形截面看成由两个矩形组成A=A1+A2=20100+10020=4000mm2,Sz1=A1 yc1 =2000(100+10)=2.2105mm3,Sz2=A2 yc2 =2000(100/2)=1105mm3,yc=Sz/A=80mm,Sz=Sz1+Sz2=3.2 105mm3,zc=0,静矩和形心,1. 惯性矩,对原点o的极惯性矩:,对z、y轴惯性矩:,单位：m4；符号：正 (不能为零)。

惯性矩和惯性半径,微面积dA, dA的形心坐标（x,y）,y2dA dA对z轴的惯性矩,z2dA dA对y轴的惯性矩,dA对原点的极惯性矩,惯性矩和惯性半径,对z轴 dA=bdy,同理对y轴,矩形截面惯性矩:,惯性矩和惯性半径,变形小,I 小,变形大,,,I 大,矩形截面,,惯性矩和惯性半径,例: 计算圆形对形心轴的惯性矩解：,惯性矩和惯性半径,2. 惯性半径,在材料力学计算中，为方便起见，可以把惯性矩写成图形的面积A与某长度i的平方的乘积形式：,注意：一般地，惯性半径并无法给出明确的几何解释特殊地，圆形截面的惯性半径等于四分之一圆的直径值惯性矩和惯性半径,惯性积:,单位: m4； mm4 符号：可正、可负(可为零)惯性积,zydA dA对y、z轴的惯性矩,解：第1象限值,结论：关于对称轴的惯性积为零例: 计算矩形截面对其形心轴的惯性积惯性矩和惯性半径,(对形心轴的静矩),同理有：,平行移轴公式,惯性矩的平行移轴公式,,,惯性积的平行移轴公式,,平行移轴公式,组合截面的惯性矩,例: 求图形对y轴的惯性矩Iy,惯性矩移轴公式：,组合截面的惯性矩,解：,？,,（1）先求过形心轴的轴惯矩,（2）再次利用平行移轴公式,例: 图示三角形截面,求：,已知：,组合截面的惯性矩,例4 计算图示圆孔截面的形心和对形心轴的惯性矩,解：用负面积法,组合截面的惯性矩,梁的横截面具有对称线，所有对称线组成纵向对称平面，外载荷作用在纵向对称平面内，梁的轴线在纵向对称平面内弯曲成一条平面曲线。

平面弯曲：,梁的纯弯曲,§10-1 梁的正应力,,,横力弯曲：,纯弯曲：,,梁的应力,切应力 —— 与剪力对应,正应力 —— 与弯矩对应,§10-1 梁的正应力,1. 几何关系: 通过实验观察，可以总结出,现象： ①mm,nn变形后仍为直线 ②bb伸长，aa缩短；,推断： ①同层纤维变形相等(平面假设)； ②中性层没有变形§10-1 梁的正应力,纤维bb变形后的长度：,纤维bb变形前的长度：,纤维bb的应变：,( 与 y 成正比),§10-1 梁的正应力,根据虎克定律：,(中轴性尚未确定, y、未知),由(2)可知应力分布:,2.物理关系：,假设: 各层纤维之间无挤压作用; 各条纤维为单向拉压受力§10-1 梁的正应力,,,,,x,z,y,3. 静力平衡,微内力的合力及平衡:,---- (3),---- (4),---- (5),§10-1 梁的正应力,讨论：,① 将(2)代入(3),中性轴通过截面形心,② 将(2)代入(4), z, y轴是主惯性轴,§10-1 梁的正应力,③ (2)代入(5)式：,---- (6),EIz——弯曲刚度,④ (6)代入(2)式,---- (7),如何判别应力符号？,§10-1 梁的正应力,②公式适用范围：,说明：,①纤维受拉为正，受压为负；,a.弯矩、剪力共同存在的截面(剪力弯曲);,b.只要有纵向对称面且荷载作用于该面内。

剪力对正应力影响很小),③单位：,§10-1 梁的正应力,例：求C截面k点正应力已知：,（2）惯性矩：,（3）k点应力：,1. 截面最大应力,（在距中性轴最远点）,又可写成：,中性轴为对称轴：,中性轴为非对称轴:,§10-2 梁的正应力强度计算,2. 全梁最大应力：（对等截面而言）,3. 强度条件：,— 弯曲许用正应力,应用：,①强度校核：,②设计截面：,③计算承载力：,§10-2 梁的正应力强度计算,例：选择工字钢型号已知：,（2）计算Wz,解：（1）作弯矩图,§10-2 梁的正应力强度计算,（3）查表：,P331,> 计算值,如果: Wz 小于计算值，验算max，不超过[]的5%，工程上允许例：图示结构的最大拉应力发生在梁的哪点上？,选20a,,§10-2 梁的正应力强度计算,分析：,问：最大压应力发生在何处？,注: 对于中性轴不是对称轴，最大弯矩截面不一定出现最大应力点∴最大拉应力发生在B点§10-2 梁的正应力强度计算,Q — 截面上的剪力;,Iz ,b — 截面对中性轴的惯性矩、截面宽度;,— 过所求应力点水平线到截面边缘所包围面积对中性轴的静矩1. 矩形截面剪应力,§10-3 梁的切应力强度介绍,剪应力分布：,对某一截面：Q、Iz、b是常量, 只随Sz*改变。

代入 得：,§10-3 梁的切应力强度介绍,边缘应力为零,中性轴剪应力最大,为平均剪应力的1.5倍讨论：,§10-3 梁的切应力强度介绍,,2.工字形截面梁的剪应力,腹板剪应力:,b1 — 腹板宽度,Iz — 全截面对中性轴的惯性矩,Sz* — 图示阴影面积对z轴的静矩,§10-3 梁的切应力强度介绍,翼缘水平剪应力:,Iz — 全截面对中性轴的惯性矩,— 图示阴影面积对 z 轴的静矩,翼缘竖向剪应力忽略,§10-3 梁的切应力强度介绍,,,3.剪应力强度条件：,剪应力方向:,最大剪应力,截面,全梁,剪力流：方向由腹板 确定§10-3 梁的切应力强度介绍,强度条件,步骤:,梁的强度计算：同时满足正应力、剪应力强度条件按正应力条件选择截面；,再按剪应力强度条件校核§10-3 梁的切应力强度介绍,§10-4 梁的合理设计,所谓梁的合理设计，指的是在满足梁强度要求的前提下，尽量少用材料，对于梁来说，弯矩处于主导地位、剪力是次要因素，因此，梁的设计，主要是依据弯曲正应力的强度条件进行设计的，我们也仅从弯曲正应力强度条件出发讨论梁的合理截面弯曲正应力强度条件,提高弯曲强度的方法可从两个方面考虑,1、 外荷载总值不变的情况下，使Mmax尽量小一些,2、 截面积不变的情况下，使Wz尽量大一些,一、合理选择截面，尽量增大WZ,§10-4 梁的合理设计,,,§10-4 梁的合理设计,尽量使材料分布在远离中性轴的位置。

梁的合理截面形式,§10-4 梁的合理设计,二、合理布置梁的形式和载荷，降低Mmax,§10-4 梁的合理设计,§10-4 梁的合理设计,§10-4 梁的合理设计,,,,例1 一梁拟用图示两种方式搁置，则两种情况下的最大应力之比（σmax）a/（σmax）b为( ),,,,,例2 图示矩形截面采用两种放置方式，从弯曲正应力强度观点，承载能力(b)是(a)的多少倍?( ),,例3 如图所示的两铸铁梁，材料相同，承受相同的荷载F则当F增大时，破坏的情况是( )A) 同时破坏 (B) (a)梁先坏 (C) (b)梁先坏 (D) 不能确定,,例4 如图所示，铸铁梁有(A)、(B)、(C)和(D)四种截面形状可供选择，根据正应力强度条件，合理的截面形状是( ),,,,,,。