陕西省咸阳市大乙私立学校2019-2020学年高三数学理期末试卷含解析.docx

陕西省咸阳市大乙私立学校2019-2020学年高三数学理期末试卷含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 对任意实数a，b定义运算“”：设，若函数的图象与x轴恰有三个不同交点，则k的取值范围是  (A)(－2，1)   (B)[0，1]    (C)[－2，0)    (D)[－2，1)参考答案：D略2. 在同一平面直角坐标系中，函数y=g（x）的图象与y=ex的图象关于直线y=x对称．而函数y=f（x）的图象与y=g（x）的图象关于y轴对称，若f（m）=﹣1，则m的值是（ ）A．﹣e B． C．e D．参考答案：B【分析】由函数y=g（x）的图象与y=ex的图象关于直线y=x对称，则y=g（x）的图象与y=ex互为反函数，易得y=g（x）的解析式，再由函数y=f（x）的图象与y=g（x）的图象关于y轴对称，进而可以得到函数y=f（x）的解析式，由函数y=f（x）的解析式构造方程f（m）=﹣1，解方程即可求得m的值．【解答】解：∵函数y=g（x）的图象与y=ex的图象关于直线y=x对称∴函数y=g（x）与y=ex互为反函数则g（x）=lnx，又由y=f（x）的图象与y=g（x）的图象关于y轴对称∴f（x）=ln（﹣x），又∵f（m）=﹣1∴ln（﹣m）=﹣1，故选B．【点评】互为反函数的两个函数图象关于线y=x对称，有f（x）的图象上有（a，b）点，则（b，a）点一定在其反函数的图象上；如果两个函数图象关于 X轴对称，有f（x）的图象上有（a，b）点，则（a，﹣b）点一定在函数g（x）的图象上；如果两个函数图象关于 Y轴对称，有f（x）的图象上有（a，b）点，则（﹣a，b）点一定在函数g（x）的图象上；如果两个函数图象关于原点对称，有f（x）的图象上有（a，b）点，则（﹣a，﹣b）点一定在函数g（x）的图象上．3. 已知等差数列单调递增且满足，则的取值范围是 A.     B.     C.     D.参考答案：C略4. 设，是虚数单位，则“”是“复数为纯虚数” 的          A．充分不必要条件                                     B．必要不充分条件          C．充要条件                                               D．既不充分也不必要条件参考答案：C略5. 惠州市某机构对两千多名出租车司机的年龄进行调查，现从中随机抽出100名司机，已知抽到的司机年龄都在岁之间，根据调查结果得出司机的年龄情况残缺的频率分布直方图如右图所示，利用这个残缺的频率分布直方图估计该市出租车司机年龄的中位数大约是(    )（A）岁      （B）岁 （C）岁      （D）岁参考答案：C由面积和为1，知的频率为，为保证中位数的左右两边面积都是，必须把的面积划分为，此时划分边界为，故选C．6. 若函数在（，）上既是奇函数又是增函数，则函数的图象是（ ）参考答案：A7. 若函数满足，且时，，函数，则函数在区间内的零点的个数为       （     ）     A．8                B．9                C．10               D．13参考答案：B由可知函数的周期是2.由得，分别做出函数的图象，由图象可知两函数的交点有9个，所以函数的零点个数为9个，选B.8. 已知x，y满足，若z=4x﹣y的最大值为，则a的值为（　　）A．7 B．6 C．5 D．4参考答案：D【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，和目标函数取得最大值时的直线方程求出交点坐标A，利用A也在直线y=3x﹣a上，代入求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：∵z=4x﹣y的最大值为，∴作出z=4x﹣y=的图象，由图象知z=4x﹣y=与y=x+，相交于A，由得，即A（，），同时A也在y=3x﹣a上，则=3×﹣a，即a=4，故选：D9. 若变量x，y满足约束条件则的最大值为   （A）4        　  　（B）3  　　　　   （C）2   　　　　 （D）1参考答案：B10. 若集合A．{0} B．{0,1} C．{0,1,2} D．{2,3,4}参考答案：B二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 圆与双曲线的渐近线相切，则的值是 _______. 参考答案：双曲线的渐近线为，不妨取，若直线与圆相切，则有圆心到直线的距离，即，所以。

12. 若不等式对于任意正整数恒成立，则实数的取值范围是         参考答案：13. 我国南北朝时代的数学家祖暅提出体积的计算原理(祖暅原理):“幂势既同，则积不容异”.“势”即是高，“幂”是面积.意思是:如果两等高的几何体在同高处截得的截面积相等，那么这两个几何体的体积相等.类比祖暅原理，如图所示，在平面直角坐标系中，图1是一个不规则的封闭图形，图2是一个上底为1的梯形，且当实数取上的任意值时，直线被图1和图2所截得的两线段长始终相等，则图1的面积为          ．参考答案：  14. 已知函数，则          ．参考答案：，所以15. 不等式，对任意恒成立，则实数的取值范围是     参考答案：方法一：令，当时，不等式为不合题意；当时，需，解得；综上 方法二：，【考点】不等式恒成立问题16. 已知非零向量a，b满足|a|＝|a＋b|＝1，a与b夹角为120°，则向量b的模为    ▲    ．参考答案：117. 已知等比数列{an}的第5项是二项式（x+）4展开式中的常数项，则a3?a7=　　．参考答案：36【考点】二项式定理的应用．【分析】由条件利用二项式的展开式的通项公式求得展开式中的常数项，可得等比数列{an}的第5项，再根据a3?a7= 求得结果．【解答】解：二项式（x+）4展开式的通项公式为 Tr+1=?x4﹣2r，令4﹣2r=0，求得r=2，可得展开式中的常数项为=6，即a5=6．根据{an}为等比数列，可得a3?a7==36，故答案为：36．三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，已知cos2C=．（Ⅰ）求sinC的值；（Ⅱ）当a=2，2sinA=sinC时，求b及c的长．参考答案：【考点】正弦定理；三角函数中的恒等变换应用；余弦定理．【分析】（1）注意角的范围，利用二倍角公式求得sinC的值．（2）利用正弦定理先求出边长c，由二倍角公式求cosC，用余弦定理解方程求边长b．【解答】解：（Ⅰ）解：因为cos2C=1﹣2sin2C=，及0＜C＜π所以 sinC=．（Ⅱ）解：当a=2，2sinA=sinC时，由正弦定理=，解得c=4．由cos2C=2cos2C﹣1=，及0＜C＜π 得cosC=±．由余弦定理 c2=a2+b2﹣2abcosC，得b2±b﹣12=0，解得b= 或b=2．所以b=或b=2，c=4．19. 已知曲线： （为参数）， ：（为参数）.(Ⅰ)化，的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；(Ⅱ)若上的点对应的参数为，为上的动点，求中点到直线  （为参数）距离的最小值.参考答案：解：（Ⅰ）， 为圆心是，半径是1的圆.为中心是坐标原点，焦点在轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆.    （Ⅱ）当时，.设，则，为直线，到的距离 时，取得最小值.略20. 已知函数 (1)　当时，求在区间 上的最大值和最小值；(2)　如果函数,在公共定义域上，满足，那么就称 为的“活动函数”．已知函数.①若在区间 上，函数是的“活动函数”，求的取值范围；②当时，求证：在区间上，函数的“活动函数”有无穷多个．参考答案：（1）当时，，；        1 分   对于，有，∴在区间上为增函数， ∴.                            3 分（2）①在区间上，函数是的“活动函数”，则令，对恒成立，且，对恒成立        5分∵    (*)         1）若，令，得极值点，，                 当，即时，在（，+∞)上有，此时在区间(，+∞)上是增函数，并且在该区间上有∈(，+∞)，不合题意；当，即时，同理可知，在区间(1，+∞)上，有∈(，+∞)，也不合题意；                                     7分2） 若，则有，此时在区间(1，+∞)上恒有，从而在区间上是减函数； 要使在此区间上恒成立，只须满足，所以.                                                         9分又因为, 在上为减函数，，  所以，综合可知的范围是[,].     12分另解：(接在(*)号后)    先考虑,, 在递减，只要, 得，解得.           8分而对且有.只要 , ，解得, 所以. .           12分②当时，，则 .因为，在为增函数，所以 .   设, 则, 所以在区间上，函数的“活动函数”有无穷多个.其他如等也可以.          14分21. 某商店试销某种商品20天，获得如下数据：试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变)，设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存量少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率．(1)求当天商店不进货的概率；(2)记X为第二天开始营业时该商品的件数，求X的分布列和数学期望．参考答案：(1)P(“当天商店不进货”)＝P(“当天商品销售量为0件”)＋P(“当天商品销售量为1件”)＝＋＝．(2)由题意知，X的可能取值为2,3.P(X＝2)＝P(“当天商品销售量为1件”)＝＝；P(X＝3)＝P(“当天商品销售量为0件”)＋P(“当天商品的销售量为2件”)＋P(“当天商品销售量为3件”)＝＋＋＝．故X的分布列为X的数的期望为EX＝2×＋3×＝．22. （本小题满分12分）某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰. 机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元. 在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元. 现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.（I）求X的分布列；（II）若要求P(X≤n)≥0.5，确定n的最小值；（III）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n=19与n=20之中选其一，应选用哪个？参考答案：（Ⅰ）由柱状图并以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数为8，9，10，11的概率分别为0.2，0.4，0.2，0.2，从而P(X=16)。