分数认识的三次深化与发展.doc

分数认识的三次深化与发展王 永一、 分数与除法 在自然数集合里，加法和乘法运算总是可以实施，但减法和除法却不行；引入分数，自然数集合扩充为非负有理数集合后，除法运算才变得畅通无阻例如，3÷4＝？在自然数集合里找不到一个与3÷4对应的自然数，而在非负有理数集合里却找到了一个且只有一个分数，与3÷4对应，即3÷4＝如何理解3÷4＝的数学意义呢？⑴ 表示3是4的其中3与4表示不同的两个量，而是量数，是以4为基准量去度量3所得的结果3 34010一般地，a、b都是非零的自然数时，a÷b＝ba010⑵ 表示3平均分成4份，每份是；或者的4倍是3这里，3和都表示量，而4是量数310104事实上，任意两个正有理数相除，都具有上述两种数学意义例如“3÷＝？”也有下面两种数学意义：？1030⑴ 3是的几分之几？从上图，可以看出：3÷＝⑵ 3平均分成份，每份是多少？10310因为是5个的，所以先把3平均分成5小份，每一小份即是所求一份的，如下图所示从上图，也可以看出：3÷＝注意：a、b都不是0，但只要有一个是分数，那么a÷b≠所以，如果忽视必要的前提，笼统地说被除数即分子、除数即分母，是不正确的当且仅当a、b都是不为零的自然数时，等式a÷b＝才成立。

这个命题还告诉我们，分数可以转化为除法，这为分数化为小数打通了一条重要途径二、 百分数百分数是否就是分母是100的分数？如果是，又何必需要这个新概念呢？事实上，百分数是在分数应用的实践中产生和发展起来的我们先来解决下面的实际问题：在一场足球比赛中，猛虎队获得一次罚点球的机会，他们准备派下列三名队员中的一名去罚点球下面是这三名队员在过去比赛中罚点球的成绩统计表队员 踢点球的次数罚中的次数3号队员18205号队员21257号队员1312从这个实际问题抽象成的数学问题是：比较分数、、的大小 解法1：（化为同分母的分数进行比较） ＝， ＝， ＝因为＞＞，所以＞＞ 由此可知，7号队员以往罚点球的成绩最佳，派他去罚点球是明智的选择不过，上面三个分数分母的最小倍数（1300）是比较大的，因此通分不仅比较费劲，也容易出差错解法2：（化为小数进行比较）＝18÷20＝0.90，＝21÷25＝0.84，＝12÷13＞0.923因为0.923＞0.90＞0.84，所以＞＞化为小数，虽然可以借以比较分数的大小，但小数却失去了原来分数的特性，即表示量的倍比关系的意义因此，需要寻找既能保持分数的特性，计算又比较简便的解题方法。

就在这种需要的驱动下，百分数应运而生了新的办法就是把分母统统变成100把与化为分母是100的分数不难：＝，＝问题在于怎样把也变成分母是100的分数呢？设所化成的分数的分子为x，即＝ ， 两边同乘100，得x＝×100，x≈92.3所以，≈这个结果与前面学过的分数不同的地方是，它的分子是一个小数的意义是：如果把13平均分成100份，那么12大约占其中的92.3份也就是说，这种分数只能表示两个量的倍比关系，而不具有表示量的功能于是，人们把形如，，，……等，只能表示量的倍比关系，不能表示量的分数，统称为百分数；并引入新的符号“％”（叫做百分号），把百分数记为84％，90％，92.3％,……，以便从形式上与前面学过的分数加以区别显然，84％＜90％＜92.3％，通过百分数的大小比较，也说明是7号队员点球的罚中率最高 诚然，把分数化为百分数还有更简捷的途径，即通过小数转化如，≈0.923＝92.3％但是这种方法，对于理解百分数的意义，不如方程的方法直观三、 比比，顾名思义，与人类比较事物的实践活动密切相关比的概念是在比较不同的量的倍比关系的实践中产生和发展的。

下面先探讨一个现实问题——平面图画得像不像例1 羽毛球场是长18m、宽9m的长方形，如下图AABCDEF⑴ 在B、C、D、E、F等图形中，你认为哪几个长方形的形状像图A，哪几个不像？⑵对形状与图A（羽毛球场）相同的长方形，请你比较它们的长和宽，能发现其中的规律吗？⑶在图A内，请你画一个形状与图A相同的长方形，且这个长方形的长是图A的长的任何正方形的形状都一样，但长方形的形状却有差异图A恰好可以分成两个大小相同的正方形发现图A的这个特性，能帮助我们找出其他形状与图A相同的长方形，如图D和E而图B、C和F都不具有图A的这种特性，所以它们的形状与图A不同图A可以分成两个大小相同的正方形，等价于它的长是宽的2倍形状与图A相同的长方形，长都是宽的2倍；形状与图A不同的长方形，长都不是宽的2倍这就是我们发现的规律一般地，a、b分别表示一个长方形的长和宽，分数表示这个长方形的长与宽的倍比关系这个分数的重要性在于它提供了长方形的一个分类标准：凡是长是宽的倍的长方形，都是形状相同的长方形，它们归为一类图形的分类对于认识图形的性质具有重要的意义不过用“长是宽的倍”来刻画长方形的形状特征，有时很麻烦例如，当a或b是分数时，是一个繁分数。

为了避免进行繁分数的繁难运算，就需要改进对“长是宽的倍”这一特征的描述，从而引入比的概念长是宽的倍”，可以用“长与宽的比是a︰b”取而代之当a、b表示两个不同的量时，a︰b＝＝a÷b所以，比可以定义为：两个量相除，叫做这两个量的比虽然比、分数、除法在揭示量的倍比关系方面是相通的，但对于不同的问题情境，仍然需要选择恰当的简便的表征方式，并掌握它们的相互转换例2 蜂蜜绿茶是用2份蜂蜜和7份绿茶配制成的消暑饮料，要配制450毫升这种饮料，需要蜂蜜和绿茶各多少毫升？在这个问题中，蜂蜜和绿茶体积的倍比关系用比的形式表示比较简便，即蜂蜜︰绿茶＝2︰7解法1：（应用方程）设：一份蜂蜜或绿茶的体积为x毫升，则配制蜂蜜绿需用蜂蜜2x毫升，绿茶7x毫升2x＋7x＝450，9x＝450x＝50 2x＝2×50＝100， 7x＝7×50＝350答：配制蜂蜜绿茶需要100毫升蜂蜜和350毫升绿茶解法2：（综合应用比和分数）蜂蜜︰绿茶＝2︰7＝︰，且＋＝1因此，蜂蜜绿茶两个组成部分的倍比关系就转换成各部分与整体（蜂蜜绿茶）的倍比关系从而，为应用分数解决问题创造了条件，图示如下：450？？001 450×＝100，450×＝350。

解法1是代数方法，解法2是算术方法，殊途同归例3 7个女生平分4个蛋糕，3个男生平分2个蛋糕是每个女生分得多一些，还是每个男生分得多一些？解法1：每个女生分得个蛋糕，每个男生分得个蛋糕问题可以归结为比较分数与的大小比较两个量的倍比关系又有如下两种方法方法1：（利用除法）÷＝×＝因为＜1，所以男生分得蛋糕比女生多一些方法2：（利用比）︰＝12︰14因为12︰14＜1，所以男生分得蛋糕比女生多一些解法2：（利用比）分别考虑男、女生的蛋糕数量或人数的倍比关系女生蛋糕︰男生蛋糕＝4︰2＝2︰1，女生人数︰男生蛋糕＝7︰3因为7︰3＞6︰3＝2︰1，所以男生分得蛋糕比女生多一些解法3：（利用图解）上图说明,如果只有6个女生平分4个蛋糕,那么女生和男生将分得同样多但女生有7个，7个女生平分4个蛋糕，每个女生分得的蛋糕要比6个女生平分的情形少一些所以，男生分得的蛋糕比女生多上述解法2与解法3有异曲同工之妙，妙在都自然地渗透了数学的基本思想方法——对应比的概念不仅进一步揭示了分数的本质——量的倍比关系，而且也丰富了表征思维过程的方法和手段，使我们面临解决与分数相关的实际问题的时候，有更多的思路和方法可以选择，可以灵活转换，左右逢源。

（2007年2月17日 于福州）。