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亥姆霍兹线圈磁感应强度空间分布及其均匀性分析蒋悦 090602117 网络一班摘要： 根据亥姆霍兹线圈磁感应强度分布表达式，用 MATLA 即矩阵实验室(Matrix Laboratory)软件对其进行数值计算，对亥姆霍兹线圈磁感应强度空 间分布图象及匀强特性进行了分析重点讨论 YOZ 平面的磁感应强度匀强特性、 匀强磁场区域的三维图象、磁感应强度均匀性要求与准匀强磁场区域关系以及亥 姆霍兹线圈半径 R 对匀强磁场区空间分布的影响关键词：亥姆霍兹线圈， MATLAB 软件，磁感应强度空间分布，匀强特性Abstract: Based on the functions of magnetic field intensity ofHelmholtz loop , using the MATLAB did numerical analysis to study the distribution of magnetic field intensity of Helmholtz loop. The paper mainly studied the area of equivalent magnetizing filed, discussed the characteristics of the equivalent magnetization, drew the 3D picture and analyzed the approximately equivalent magnetizing field to the correspondence request. Studying the impact of changing radius of the Helmholtz loop to distribution of the equivalent magnetizing filed.Key words: Helmholtzloop、 MATLAB、 Distributionofthemagnetic field intensity、Characteristic of the equivalent magnetizing filed引言如果有一对相同的载流圆线圈彼此平行且共轴，通以同方向电流，当线圈 间距等于线圈半径时，两个载流线圈的总磁场在轴的中点附近的较大范围内是均 匀的。

故在生产和科研中有较大的实用价值，也常用于弱磁场的计量标准这对 线圈就是亥姆霍兹线圈根据毕奥-萨伐尔定律，通过积分运算得到；在过圆心而且垂直于线圈平面 的轴线上，距离圆心X处，磁场大小为B=u*R2*I/2[R2+X2][3⑵,其中I为电流 大小，R为圆圈半径，u为一个常数亥姆霍兹线圈是两个彼此平行且连通的共 轴圆形线圈，它的磁场分布是两个通电圆圈磁场的叠加半径和两个圆圈的距离 不同，叠加的结果也不同两个线圈之外是逐渐减弱的，但是两个线圈之间可能 是中间最弱，也可以是中间最强，还可以是匀强磁场可以验证磁场叠加原理 研究清楚亥姆霍兹线圈的用途具有重要的意义，所以，本次实验将主要研究、验 证亥姆霍兹线圈磁感应强度空间分布及其均匀性分析概述我们都知道，在亥姆霍兹线圈轴线上的磁场是近似的匀强磁场亥姆霍兹线 圈的结构如图1所示，图中R为亥姆霍兹线圈的半径，I为亥姆霍兹线圈中的电 流，A1、A2是圆线圈上对称于XOY平面的任意两点，P （0, y , z°）是YOZ平面 内的一点由于亥姆霍兹线圈具有关于Z轴的旋转对称性和关于XOY平面对称性, 因此，只需要分析YOZ平面内的磁场分布在其空间任意点磁感应强度微积分表 达式由式（1）~（5）给出。

⑴r，则为A1、A2处电流元到点P的位置矢 12量，B、B、B是A1、A2处电流元在P点产生的磁感应强度在X、Y、Z轴方向 xyz的分量P(0图1 Hi讪01"线圏结构示意图r1cos 0 I2 + [y~— R sin 0 I2 +ocos 0 J2 + [y— R sin 0 J2 + (z— R / 2)21)2)J dBxJ 2兀卩 I ( R cos 0 (z — R / 2 ) o 4 兀〔 r31R cos 0(z + R /2)'+ 0 r323)J dByJ 2 兀卩 I ( R sin 0 (z — R / 2 ) o 4 兀[ r31R sin 0 (z + R/2 )'0—r32d04)0 0d05)f2 兀卩 I ( R (R — y sin 0 ) R (R -y sin 0 )、二 J 0— I 0 + 0 o 4 兀( r3 r312其中，X轴的磁感应强度分量积分为0【1】那么，横截 Z 轴的各截面匀强磁场的磁感应强度大小是如何分布的，是什么 图象呢？从上面各式可以看出，其中的式（4）、（5）的积分是困难的，所以，本次实 验采用 MATLAB 软件对其进行数值积分，对沿着 Z 轴的各匀强磁场的截面情况 进行了分析。

MATLAB 工具对空间磁感应强度计算表明：沿着 Z 轴方向，自下而 上的各截面匀强磁场的截面大小并不相同，也就是说，虽然亥姆霍兹线圈具有关 于 Z 轴的旋转对称性，但其旋转而成的立体图形并不是一个圆柱型匀强磁场 的大小及随 Z 方向位置变化的特性对于最大程度地利用有效匀强磁场具有重要 的应用价值本次实验重点研究了匀强磁场区域特性，讨论了亥姆霍兹线圈匀强磁场区域 的三维图象、磁感应强度均匀性要求与准匀强磁场区域关系以及亥姆霍兹线圈半 径 R 对匀强磁场区空间分布的影响亥姆霍兹线圈匀强磁场区域的三维图象将YOZ平面上的匀强磁场分布图绕Z轴旋转，可以得到亥姆霍兹线圈中磁 场匀强区的三维图象图8 是均匀度为 1%区域的三维图象为了能够显示立体 图象中间的下凹形貌， Z 轴的计算步长取为 0.025，但这导致了图象边缘呈锯齿 状，如果减小Z轴计算步长，则图象边缘将逐渐光滑图2非常直观地显示出 亥姆霍兹线圈内部磁感应强度的分布，可以看出从两线圈平面开始，有一管道形 匀强磁场区精度要求不同，可利用的磁场范围大小也会有一定的变化下面将 以管道形匀强磁场区域半径尺寸为研究对象，重点研究当均匀度标准变化时匀强 磁场区域的变化情况。

图2均匀度为 出匡域的三维图象磁感应强度均匀性要求与准匀强磁场区域关系分析为分析均匀度要求对准匀强磁场区域面积的影响，本文对于不同均匀度要 求所界定区域大小进行了计算并将计算结果绘制在同一张图上，如图 3 所示当均匀度要求降低后，准匀强磁场区域的面积增加，但在各个方向上均匀度 降低增加的面积尺度并不相同，准匀强磁场区域面积并不是跟随均匀度降低而线 性增加，随着均匀度要求降低，准匀强磁场区域面积增加的量也在降低这个特 性提示我们：在测量运用中，适当地降低均匀度要求可以增加可用磁场区域，但 其增加量是衰减的，当均匀度要求降低到一定数值后，准匀强磁场区域面积几乎 没有什么变化，再依靠降低均匀度指标来增加准匀强面积已没有意义图 4 为均 匀度 U 和准匀强磁场区域半径 r 的关系，从这张图上可以很明显地看出随着均 匀度要求的将低，准匀强磁场区域半径 r 变化减缓的趋势rlnI oaID1 0°图3均匀度"和准匀强磁场区域面积的关系均匀度J与国道区域半径变化关系... ・・・■■』・・・・▼・・・・・4・・・・・・■■•・ ・!.・■■・・ ・・・■＞』・・ ・■■■・・・ J... ・・・■■・・[・・■・・・・・-Q□ 1 0.2 0.3 D.d 0.5 n.6 0.7均勾度LJ圈4均匀度卩和准匀强磁场鱼域半径1■的关系亥姆霍兹线圈半径R对匀强磁场区空间分布的影响改变线圈半径 R 可以增加匀强磁场或准匀强磁场区域面积。

图 5 显示了不同 线圈半径所产生的匀强磁场区域的图象，由内向外所对应的线圈半径分别为 0.25、0.5、0.75 和 1由图可见，匀强磁场区域的面积随线圈半径的增大呈现 几乎线性的变化关系以匀强磁场区在 Y 轴上的半径 r 作为分析对象，可以得 到线圈半径 R 与 r 的关系，如图 6 所示图5不同线圈半径所对应的匀强磁场区域图象H肘泅I厳国生鏡Rh勾證無场E宰径咲系圈D.30.2D1601DJQ60.4 0.5 0.G Q.Z G8 0.5图6线圏半径R与匀強磁场区半径「的关系R与r呈近似线性关系，因此当需要不同尺寸的匀强磁场区时，可以选择 不同的线圈半径R线圈半径R对匀强磁场区的另一个影响是匀强磁场管道的 长度，所以，增大线圈的半径可以使匀强磁场区面积变大从式（1）~（5）和相关理论可知，电流参数 I 与线圈匝数 N 是线性参数 它们的改变只会影响磁感应强度的大小，不会影响匀强磁场区的尺寸与实验数据验证在“用霍尔效应测磁场”实验中，取参数 R=0.067m ， I=0.8A， N=340 ，测得B二3.17*10 -3T，通过本文引用的公式（1） ~ （5）,算出B二3.21*10 -3T。

此结果证明了本文使用方法的正确性与可靠性结论本实验加深了对磁场的理解和应用，也验证了亥姆霍兹线圈磁感应强度空 间分布及其均匀性分析本实验联系大学物理中“用霍尔效应测磁场”实验，利用MATLAB软件，对 亥姆霍兹线圈空间磁场分布做了各方面描述，通过对空间磁场磁感应强度和均匀 度的分析，确定了相对于不同精度的近似匀强磁场区域，并重点描述准匀强磁场 区域，该区域是亥姆霍兹线圈应用的主要区域在亥姆霍兹线圈中的 YOZ 平面内， 匀强磁场或准匀强磁场区域为八角形图象，随着均匀度指标的降低，八角形的面 积非线性增加，增加量呈衰减趋势可以应用匀强或准匀强磁场区域的三维立体 图形近似为鼓形，在Y轴附近达到最大分析表明，随着线圈半径R增大，亥姆 霍兹线圈中匀强或准匀强区域近似线性的增加参考文献：[1] 东南大学物理系编，物理实验 2005 年 2 月[2] 邹志纯. 亥姆霍兹线圈空间的磁场分布. 西安邮电学院学报. 2004. Vol.9 No.3. 89-91[3] 刘雅洁，朱宁 . 圆线圈及亥姆霍兹线圈的磁场分布 . 嘉兴学院学报 . 2004. Vol.16 No.3. 47-50[4] 王晓颖，李武军.载流圆环空间磁场分布的研究.西安工业学院学报.2004. Vol.24 No.3[5] 陈怀琛. MATLAB 及其在理工课程中的应用指南.西安电子科技大学出版社. 2004. 125-144。