专升本资料8(线性代数.docx

四川省普通高等学校“专升本”选拔《高等数学》考试大纲（理工类）总体要求考生应理解或了解《高等数学》中函数、极限、连续、一元函数微分学、一元函数积分分 学、向量代数与空间解析几何、多元函数微积分学、无穷级数、常微分方程以及《线性代数》 的行列式、矩阵、向量、方程组的基本概念与基本理论；掌握上述各部分的基本方法应注意 各部分知识的结构及知识的内在联系；应具备一定的抽象思维能力、逻辑推理能力、运算能力 空间想象能力；能运用基本概念、基本理论和基本方法正确地推理证明，准确、简捷地计算； 能综合运用所学知识分析并解决简单的实际问题本大纲对内容的要求由低到高，对概念和理论分为“了解”和“理解”两个层次；对方法 和运算分为“会”、“掌握”、“熟练掌握”三人层次考试用时：120 分钟考试范围及要求一 函数、极限和连续二 一元函数微分学三 一元函数积分学四 向量代数与空间解析几何五 多元函数微积分学六 无穷级数七 微分方程八 线性代数一）行列式1. 理解行列式的概念，掌握行列式的性质1）行列式的概念① 二阶行列式：a aii 12 = a a - a aa a 11 22 12 2i21 22③ n 阶行列式：a11a12a13D =aaa3212223aaa312333② 三阶行列式：a a11 12a a21 22a1na2na an1 n 2annn阶行列式的值的特点：（1） 一共是有n !项的代数和；（2）每一项都是n个元素的乘积,它们来自于不同的行、不同的列。

3）这n!项中有一半是正项，另一半是负项变换性质① 转置变换： DT = D② 交换变换： D = -D ，1③倍乘变换：D = k - D1④ 倍乘变换： D = D ，1r + kr ， c2）行列式的性质零值性质jiDt为D的转置行列式D为D互换两行（列）后所得r分r， c分c1 i j i jD为D的某行（列）元素都乘以k后所得kr，kc1 i iD为D的某行（列）乘以k加到另外的行（列）后所得 1+ kcji① 如果行列式的某行（列）的元素全为零 ，则此行列式的值为零．② 如果行列式的某两行（列）的元素相同，则此行列式的值为零．③ 如果行列式的某两行（列）对应元素成比例，则此行列式的值为零2. 会用行列式的性质和行列式按行（列）展开定理计算行列式 （1）行列式的余子式和代数余子式余子式M :划去a所在的第i行和第j列的全部元素后剩下的元素组成的n-1阶ij i j行列式代数余子式：A = （-1）i+j Mi j i j= a A +a Ai1 i1 i 2 i 2+ + a Ain in工 a (-1) i+k Mi k i kk=1k=12）阶行列式按行（列）的展开D = a A + a A h— + a A = a A = a （—1） k+j Mn 1 j i 1 j 2 j 2 j nj n j k j k j k j j kK=1 K=1（3） 行列式的计算方法① 先利用行列式的性质使行列式的某一行（列）的元素尽可能多的化为零，再按该行 列）展开。

② 可将行列式化为特殊行列式后计算．特别是化为三角形行列式例 1 计算下列的行列式2—5122310aBBB——37—14②4—2—1—1BaBB① 「—92—212Y ・ ③BBB57a4—6120110BBBa二）矩阵1. 理解矩阵的概念，了解单位矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵和反对称矩阵以及它们的性质1）矩阵的定义由m x n个数a (i = 1,2,…,m; j = 1,2,…n)排成的m行n列的数表 ij'A11a21a12a22a1a2m1am2amn矩阵；记为 A ，或 A = (a )mxN ij mxN当m = n时，矩阵A称为n阶方阵.记作An当 m = 1时，矩阵 A 称为行矩阵 （或行向量）. 记为 A = （a ） = ij 1xN厂a、1a2当n = 1时，矩阵A称为列矩阵（或列向量）•记为A二2）特殊矩阵 零矩阵：矩阵的元素都为0 时单位矩阵：主对角线都为1的对角矩阵记为E或ENA = (a )ij mxI对角矩阵（或对角阵）：在N阶方阵中，主对角线以外的元素都为零的矩阵 上三角矩阵 下三角矩阵对称矩阵：在N阶方阵中，主对角线以下的元素都为零 在N阶方阵中，主对角线以上的元素都为零。

a = a 或 AT = Ai j j i反对称矩阵： a 二一 a At = — Ai j j i2. 掌握矩阵的线性运算、乘法、转置、方阵乘积的行列式及它们的运算规律1)矩阵的线性运算设 A = (a )ij矩阵的和：矩阵的差：数乘矩阵：2)矩阵的乘法① 定义 设 A = (a ), i j mxk，B =(b )mx n ij mx nAHB =(a Hb )ij ij mx nA 一 B = (a 一 b )ij ij mx nkA = (ka )ij mx nB =(b )i j kxnc = ( ai j i1,ai2,aik，令C = (c )是由下面m x n个元素i j mx n(b、i jb2j=a b + a b H F a bi 1 1j i2 2j i k k jbkj丿a)结合律：( AB)C = A(BC)构成的m行n列的矩阵称矩阵C = (c )为矩阵A与矩阵B的乘积记为：C = AB ij mxn② 运算律(b) 分配律：(A + B)C = AC + BC , A (B + C ) = AC + ABC(c) 0—1律： AE =E A=A， AO =O A=On n n n(d) 不具备交换律：AB丰BA，(e) 两非0矩阵的乘积可能是0矩阵。

即AB = 0不能推出：A = 0或B = 0 ③ 矩阵的乘方设A为n阶方阵，称矩阵A自乘m次称为矩阵A的m次方A0 = E ， A1 = A ， A 2 = AAAm = AA... A ( m 个 A )Ak Al = AkHl ， (Ak )l = Akl ，3)矩阵的转置定义：把A的行、列交换所得得的矩阵叫做矩阵A的转置矩阵记为At 转置矩阵的性质：① ( AT )T = A② (AHB)T =AT HBT③ ( kA) T = kAT④(AB)t = BtAt(4)方阵的行列式定义：由n阶方阵A的元素按原来顺序构成的行列式称为方阵A的行列式记为I A I或 det( A) 矩阵行式的性质① I At |=| A I ； ② I kA I二 kn I A I ； ③ I AB 1=1 BA 1=1 A I -1 B I'1 0 -1、'1 0、例 1 已知： A =2 1 0， B =3 1； 求 AB<3 2 -< 0 2 >3. 理解逆矩阵的概念，掌握矩阵可逆的充分必要条件，理解伴随矩阵的概念， 会用伴伴随矩阵求矩阵的逆矩阵1) 逆矩阵的定义设A是n阶方阵，如果存在一个n阶方阵B，使得AB = BA = E ；则称矩阵A是可逆的，称 矩阵B是矩阵A的逆矩阵。

A的逆矩阵记为A-i，即B = A-i(2) 逆矩阵的性质① 方阵A可逆n A的逆矩阵是唯一的且AA-i = A-iA = E② A可逆 n A-1也可逆且(A-1)-1 = A③ A可逆，数九鼻0 n九A可逆.且(XA)-1 =1A-1九④ A可逆n At也可逆，且(At )-1 = (A-1)T⑤ A 可逆， 则有 I A-1 I=I A I-1⑥ A、B为同阶方阵且均可逆n AB可逆.且(AB)-i = B-iA-i⑦ (A A •…A )-1 = A-1 •…A-1A-1i 2 m m 2 i(3) 矩阵可逆性质的判别A 可逆 o I A Ih 0 .(4) 求矩阵的逆矩阵的公式①伴随矩阵：n阶方阵A的行列式I A I的各个元素的代数余子式A构成矩阵ij(A A11 21A AA * 二 12 22.A A1n 2nA )1 nA2n称为矩阵A的伴随矩阵.②求矩阵的逆矩阵的公式A *若矩阵A可逆，则A亠芮（A *为A的伴随矩阵）•(1例1判断A. = 3I2 3、2 1是否可逆，如果可逆，求逆矩阵.0 1丿4. 掌握矩阵的初等变换，了解矩阵秩的概念，掌握用初等变换求矩阵的秩和逆矩阵的方法。

1）矩阵的初等变换定义： 矩阵的下列三种变换称为矩阵的初等行（列）变换互换矩阵的 i、j 两行（列） 把 i 行（列）的各元素都乘以非零 k 常数① 对换变换② 倍乘变换③ 倍加变换： 把 j 行（列）的若干倍，加到 i 行（列）上矩阵A经过有限次初等行变换转化为矩阵B，则称矩阵A与矩阵B等价，记为A〜Br分r ij r x kir + krijc分c ij c x k )ic + kcij2）矩阵的秩① 矩阵的k阶子式在一个m x n的矩阵A中任意取k行和k列，位于这些行与列相交位置上的元素所构成的一个k阶行列式称为矩阵A的k阶子式矩阵A 的k阶子式共有Ck • Ck个mxn m n② 矩阵的秩的定义在m x n的矩阵A中，一切非零子式的最高阶数r称为矩阵A的秩也就是说，若矩阵A中 至少有一个r阶子式不等于零，而所有的r+1阶子式（如果有的话）都等于零，则称矩阵A的秩为r,记为R（A） = r注意：R（A） < min（m,n） 零矩阵的秩为零；非零矩阵的秩一定不为零3）矩阵的秩的求法① 阶梯形矩阵及其秩矩阵 A 若满足：（1）零行（元素全为 0 的行）在矩阵的最下方；（2）各非零行的第1 个非 零元素的列标随着行标的递增而严格增大。

满足这样的条件的矩阵称为阶梯形矩阵阶梯形矩阵的秩为：非全零行的行数如矩阵5-3有三个非全零行，则它的秩为 3② 矩阵的初等变换不改变矩阵的秩 方法：先用初等变换将矩阵变为与它等价的阶梯形矩阵，再观察非全零行的行数，其行 数即为矩阵的秩3)逆矩阵的求法：(A , E ) t(E , A-1)nn就变成了 A的逆矩阵1 -1 3 )例：求矩阵A =2 -1 4的逆矩阵厂1 2 - 4,(三)向量将矩阵 (A, E )经过一系列的初等变换，将前面的部分变成为单位矩阵后，其后面的部份 n1. 理解 n 维向量的概念，向量。