2021年第二节__勾股定理逆定理.docx

其次节 勾股定理的逆定理二、核心纲要1. 互逆命题和互逆定理(1) 互逆命题：假如一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，就这样的两个命题叫做互逆命题，假如把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题．(2) 互逆定理：一般地，假如一个定理的逆命题经过证明是正确的，它也是一个定理，称做原定理的逆定理，称这两个定理互为逆定理 .注：每个命题都有逆命题，但每个定理不肯定有逆定理．2. 勾股定理的逆定理假如三角形的三边长 a、b、c 满意 a 2 b 2C 2, 那么这个三角形是直角三角形．注： 〔1〕 勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，用它判定三角形是否为直角三角形的一般步骤是：①确定最大边（不妨设为 c）；②如 c 2a 2 b 2 , 就△ ABC是以∠ C 为直角的直角三角形；如 a 2b 2 c 2 , 就此三角形为钝角三角形（其中 c 为最大边） ；2 2如 a bc2 , 就此三角形为锐角三角形（其中 c 为最大边）．〔2〕 定理中的 a、b、c 及 a 2 b2c 2 只是一种表现形式，不能认为是唯独的．如三角形三边长 a，b，c 满意 a 2 C 2b2 , 那么以 a、b、c 为三边的三角形是直角三角形，但是 b 为斜边．3. 勾股数满意 a 2 b 2c2 的三个正整数 a、b、c 称为勾股数．注：①常见的勾股数有： 〔3 ， 4， 5〕 ； 〔6 ，8， 10〕 ；〔5 ， 12，13〕 ； 〔8 ，15， 17〕 ； 〔7 ， 24，25〕 ； 〔9 ， 40， 41〕 ； 〔9,12,15〕; 〔12,16,20〕 等；②假如（ a， b，c）是一组勾股数，那么 〔ak ， bk， ck〕 也是一组勾股数（ k 为正整数）．4. 证明垂直的方法(1) 依据垂直的定义，只需证明一个角是直角．(2) 依据勾股定理的逆定理证明．本节重点讲解：一个定理，一个方法，基 础 演 练1. 以下命题中，没有逆定理的是 〔 〕 ．A. 内错角相等、，两直线平行 B ．相反数的肯定值相等C ．直角三角形中两锐角互余 D ．同位角相等，两直线平行2. 以下线段不能组成直角三角形的是 〔 〕 ．A.a6, b8, c 10B.a1, b2 , c 3C.a5 , b41, c 34D.a2, b3, c 63. 五根小木棒，其长度分别为 7、15、20、24、25，现将他们摆成两个直角三角形如图 17 -2 — 1 所示， 其中正确选项 〔 〕 ．4. 三角形的三边长为 a、 b、c，且满意等式 〔ab〕 2 c 22ab, 就此三角形是 〔 〕 ．A. 锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等边三角形5. 判定以下命题：(1) 在△ ABC中， AC B, 就△ ABC为直角三角形． 〔 〕(2) 在△ ABC中， a 2b2 c2 , 就△ ABC是以∠ A 为直角的直角三角形． 〔 〕(3) 在△ ABC中，a : b : c1: 310 , 就△ ABC为直角三角形． 〔 〕(4) 在△ ABC中，A : B : C5 : 2 : 3, 就△ ABC为直角三角形． 〔 〕(5) 在△ ABC中， an 2 1,b2n, cn 2 1〔 n2〕, 就△ ABC为直角三角形． 〔 〕6. 如△ ABC 中， 〔ba 〕〔b a〕c 2 , 就 B7. 在△ ABC 中， AB12cm, BC16cm, AC20cm, 就 sABC 为8. 在△ ABC 中，∠ A、∠ B、∠ C 的对边分别是 a、b、c，如 a 2 b 225, a 2 b 27,已知 c=5 ，就最边上的高为9. 如图 17-2-2 所示，在四边形 ABCD中， ABBC , AB1, BC2, CD2, AD3, 求四边形 ABCD的面积．10. 如图 17-2-3 所示，在四边形 ABCD中， B90 , AB BC4, CD6, DA2, 求∠ DAB的度数．能 力 提 升11. 如图 17-2-4 所示，在△ ABC 中， D 是 BC的中点，如 AB5, AC13, AD6, 就 BC的长为 〔 〕 ．A. 61B.2 61C.13D.1212. 如△ ABC的三边长 a、b、c 满意条件 a2b 2 c233810 a24b26c, 就△ ABC的面积为 〔 〕 ．A. 6013B.30C.32.5D.7813. 如图 17-2-5 所示，在△ ABC 中， CD⊥AB于点 D，且满意CD 2AD BD , 就 ACB 〔 〕A.30oB.45C.60D.9014. 已知x 12 | xy 25 |与 z210 z25 互为相反数， 就以 x 、y 、z 为三边的三角形是 三角形．15. 如图 17-2-6 所示， P 是正三角形 ABC内的一点，且 PA6, PB8, PC10.如将△ PAC绕点 A 逆时针旋转后，得到△ P AB，就点 P 与点 P 之间的距离为 , APB 016. 〔1〕 如△ ABC的三边长为 a、b、c，且满意 a 3a 2bab2ac 2bc 2 b 30, 就△ ABC的外形是〔2〕 阅读以下解题过程：已知 a、b、c 为△ ABC 的三边，且满意a 2 c 2b2 c 2a 4 b 4 , 试判定△ ABC的外形． 解：a 2 c2b 2 c2a 4 b 4 , ac 2 〔a 2b 2 〕〔a 2b 2 〕〔 a 2b 2 〕, bc 2 a 2b 2 , c∴ △ ABC是直角三角形． d问：①上述解题过程是从哪一步开头显现错误的？请写出该步的代号②错误的缘由是 ；③写出正确的解答过程．17. 如图 17-2-7 所示，南北向 MN为我国的领海线，即 MN以西为我国领海，以东为公海．上午 9 时 50 分， 我国反走私艇 A发觉正东方有一走私艇 C 以每小时 13 海里的速度偷偷向我领海开来，便立刻通知正上巡逻的我国反走私艇 B 亲密留意， A 和 C 两艇的距离是 13 海里， A 和 B 两艇的距离是 5 海里，反走私艇 B 测得距离 C 艇是 12 海里，如走私艇 C 的速度不变，最早会在什么时间进入我国领海？18. 图 17 -2-8〔a〕 所示为一上面无盖的正方体纸盒，现将其剪开展成平面图，如图 17-2-8〔b〕 所示．已知绽开图中每个正方形的边长为 1．(1) 求在该绽开图中可画出最长线段的长度？这样的线段可画几条？(2) 试比较立体图中么 BAC与平面绽开图中 BAC 的大小关系？19. 如图 17-2-9 所示，四边形 ABCD的三边 AB、BC、CD和 BD都是 5cm，动点 P 从点 A 动身 〔A → B→ D〕到点D，速度为 2cm/s ，动点 Q从点 D动身 〔D→C→ B→ A〕到点 A，速度为 2.8cm/s ，5 秒后， 点 P、Q相距 3cm， 求 AD的长．20. 如图 17 -2 -10 所示，在正方形 ABCD中， E是 BC的中点， F 为 CD上一点，且 CF求证：△ AEF是直角三角形．1 CD .421. 已知，在 Rt△ABC中，C 90,CDAB 于点 D，设 BCa, ACb, ABc,CDh, 求证：(1) 以 ab、h、ch为边的三角形是直角三角形．(2) c h a b.中 考 连 接22. （ 2021．四川巴中）已知 a、b、c 是△ ABC的三边长，且满意关系就△ ABC的外形为c2 a 2b 2 | ab | 0,23. （江西南昌）如图 17 -2 -11 所示，把矩形纸片 ABCD沿 EF折叠，使点 B 落在边 AD上的点B/ 处，点 A落在点A/ 处；(1) 求证：B / EBF .(2) 设 AEa, ABb, BFc, 试猜想 a、b、c 之间的一种关系，并赐予证明．巅 峰 突 破24. 在锐角△ ABC 中，已知某两边 a1, b3, 那么第三边 c 的变化范畴是 〔 〕 ．A.2 c 4B.2 c 3C.2 c 10D.2 2 c 1025. 如图 17 -2 -12 所示，在四边形 ABCD中， BD的长．ADCABC90 , AD CD2 , ABBC 3. 求。