高数知识点总结PPT课件.ppt

第第一一章章函数函数与与极限极限一、函数一、函数 1. 特性特性有界性有界性, 单调性单调性, 奇偶性奇偶性, 周期周期性性2. 反函数反函数3. 复合函数复合函数4. 初等函数初等函数二、二、 极限极限 1. 极限定义的等价形式极限定义的等价形式 (以以            为例为例 )(即即                      为无穷小为无穷小)有有第第一一章章函数函数与与极限极限2. 极限存在准则及极限运算法则极限存在准则及极限运算法则3. 无穷小无穷小无穷小的性质无穷小的性质;无穷小的比较无穷小的比较 ;常用等价无穷小常用等价无穷小:  第第一一章章函数函数与与极限极限4. 两个重要极限两个重要极限  或或注注:    代表相同的表达式代表相同的表达式第第一一章章函数函数与与极限极限总结：求极限的方法总结：求极限的方法 1. 利用极限的定义利用极限的定义第第一一章章函数函数与与极限极限5. 夹逼准则夹逼准则(数列极限数列极限) 3. 四则运算法则四则运算法则 2. 利用单调有界必有极限利用单调有界必有极限 (数列有界数列有界)4. 利用函数的连续性利用函数的连续性第第一一章章函数函数与与极限极限8. 利用洛必达法则利用洛必达法则 10. 利用定积分的定义利用定积分的定义9. 利用泰勒公式利用泰勒公式 6. 利用两个重要极限利用两个重要极限 7. 等价无穷小的转化等价无穷小的转化 三、三、 连续与间断连续与间断1. 函数连续的等价形式函数连续的等价形式有有第第一一章章函数函数与与极限极限2. 函数间断点函数间断点第一类间断点第一类间断点第二类间断点第二类间断点可去间断点可去间断点跳跃间断点跳跃间断点无穷间断点无穷间断点振荡间断点振荡间断点有界定理有界定理;最值定理最值定理;零点定理零点定理;介值定理介值定理.3. 闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质第第一一章章函数函数与与极限极限第第二二章章导数导数与与微分微分一、导数和微分的概念及应用一、导数和微分的概念及应用• 导数导数:当当时时, ,为右导数为右导数当当时时, ,为左导数为左导数• 微分微分:• 关系关系: 可导可导可微可微• 应用应用: :(1) 利用导数定义解决的问题利用导数定义解决的问题  (3) 求曲线的切线与法线求曲线的切线与法线(2) 用导数定义求极限用导数定义求极限l 求分段函数在分界点处的导数求分段函数在分界点处的导数l 由导数定义证明一些命题由导数定义证明一些命题(4) 微分在近似计算与误差估计中的应用微分在近似计算与误差估计中的应用第第二二章章导数导数与与微分微分第第二二章章导数导数与与微分微分二、导数和微分的求法二、导数和微分的求法1. 正确使用导数及微分公式和法则正确使用导数及微分公式和法则 2. 熟练掌握求导方法和技巧熟练掌握求导方法和技巧(1) 求分段函数的导求分段函数的导数数注意讨论注意讨论界点界点处左右导数是否存在和相等处左右导数是否存在和相等(2) 隐函数求导法隐函数求导法对数微分法对数微分法(3) 参数方程求导法参数方程求导法极坐标方程求导极坐标方程求导转化转化导出导出第第二二章章导数导数与与微分微分(4) 复合函数求导法复合函数求导法( (可利用微分形式不变性可利用微分形式不变性) )(5) 高阶导数的求法高阶导数的求法逐次求导归纳逐次求导归纳; ;间接求导法间接求导法; ;利用莱布尼茨公式利用莱布尼茨公式. .第第三三章章微分微分中值中值定理定理与导与导数的数的应用应用 拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理 1.  微分中值定理及其相互关系微分中值定理及其相互关系  罗尔定理罗尔定理  柯西中值定理柯西中值定理 一、微分中值定理及其应用一、微分中值定理及其应用2. 微分中值定理的主要应用微分中值定理的主要应用(1) 研究函数或导数的性态研究函数或导数的性态(2) 证明恒等式或不等式证明恒等式或不等式(3) 证明有关中值问题的结证明有关中值问题的结论论3. 有关中值问题的解题方法有关中值问题的解题方法         利利用用逆逆向向思思维维，，设设辅辅助助函函数数. 一般解题方法一般解题方法:(1) 证证明明含含一一个个中中值值的的等等式式或或根根的的存存在在,多用多用罗尔定理罗尔定理,可用原函数法找辅助函数可用原函数法找辅助函数.(2) 若若结结论论中中涉涉及及含含中中值值的的两两个个不不同同函函数，可考虑用数，可考虑用柯西中值定理柯西中值定理 .第第三三章章微分微分中值中值定理定理与导与导数的数的应用应用(3) 若若结结论论中中含含两两个个或或两两个个以以上上的的中中值值,必须必须多次应用中值定理多次应用中值定理 .(4) 若若已已知知条条件件中中含含高高阶阶导导数数 , 多多考考虑虑用用泰泰勒勒公公式式 ,有有时时也也可可考考虑虑对对导导数数用中值定理用中值定理.(5) 若若结结论论为为不不等等式式 , 要要注注意意适适当当放大放大或或缩小缩小的技巧的技巧.第第三三章章微分微分中值中值定理定理与导与导数的数的应用应用第第三三章章微分微分中值中值定理定理与导与导数的数的应用应用二、二、 导数应用导数应用1. 研究函数的性态研究函数的性态:增减增减, 极值极值, 凹凸凹凸, 拐点拐点, 渐近线渐近线, 曲率曲率2. 解决最值问题解决最值问题• 目标函数的建立与简化目标函数的建立与简化• 最值的判别问题最值的判别问题3. 其他应用其他应用:求未定式极限求未定式极限;几何应用几何应用;相关变化率相关变化率;证明不等式证明不等式;研究方程实根等研究方程实根等.第第四四章章不定不定积分积分一、一、 求不定积分的基本方法求不定积分的基本方法1. 直接积分法直接积分法通通过过简简单单变变形形, 利利用用基基本本积积分分公公式式和运算法则求不定积分的方法和运算法则求不定积分的方法 .2. 换元积分法换元积分法   第一类换元法第一类换元法   第二类换元法第二类换元法(代换代换:              )3. 分部积分法分部积分法使用原则使用原则:1)  由由易求出易求出 v ;2)比比好求好求 .一一般般经经验验:  按按“反反, 对对, 幂幂, 指指, 三三” 的的顺顺序序,排排前前者者取取为为u ,排后者取为排后者取为第第四四章章不定不定积分积分二、几种特殊类型的积分二、几种特殊类型的积分1.  一般积分方法一般积分方法有有理理函数函数分解分解多多项项式式及及部部分分式之和分分式之和三角函数有理式三角函数有理式万能代换万能代换简单无理函数简单无理函数三角代换三角代换根式代换根式代换第第四四章章不定不定积分积分2.  需要注意的问题需要注意的问题(1) 一一般般方方法法不不一一定定是是最最简简便便的的方方法法,要要注注意意综综合合,使使用用各各种种基基本本积积分分法法, 简简便便计计算算. (2) 初初等等函函数数的的原原函函数数不不一一定定是是初初等等函函数数,因此不一定都能积出因此不一定都能积出.例如例如, 第第四四章章不定不定积分积分第第五五章章定定积积分分1. 求定积分求定积分(常义积分和反常积分常义积分和反常积分)定积分的定义定积分的定义定积分的几何意义定积分的几何意义定积分换元法定积分换元法定积分的分部积分法定积分的分部积分法2. 定积分中值定理定积分中值定理第第五五章章定定积积分分4. 变限函数的求导变限函数的求导5. 与定积分有关的求极限问题与定积分有关的求极限问题3. 用定积分性质估值用定积分性质估值设设则则定积分定义定积分定义洛必达法则洛必达法则夹逼准则夹逼准则第第六六章章定积定积分的分的应用应用一、平面图形的面积一、平面图形的面积边边界界方方程程参数方程参数方程极坐标方程极坐标方程直角坐标方程直角坐标方程上上下下限限分分别别对对应应曲曲线线的的起点和终点起点和终点课课本本P360- -361: 星星形形线线、、摆摆线线、、心心形线、阿基米德螺线、双纽线形线、阿基米德螺线、双纽线第第六六章章定积定积分的分的应用应用二、旋转体的体积二、旋转体的体积y=y(x)(a≤x≤b)绕绕 x 轴旋转轴旋转(柱壳法柱壳法)y=y(x)(a≤x≤b)绕绕 y 轴旋转轴旋转第第六六章章定积定积分的分的应用应用三三、平行截面面积为已知的立体体积、平行截面面积为已知的立体体积四、平面曲线的弧长四、平面曲线的弧长 弧微分弧微分:注注意意: 求求弧弧长长时时积积分分上上下限必须下限必须上大下小上大下小第第六六章章定积定积分的分的应用应用2. 参数方程方程参数方程方程1. 直角坐标方程直角坐标方程第第六六章章定积定积分的分的应用应用3. 极坐标方程极坐标方程第第七七章章微分微分方程方程一一. . 微分方程的概念微分方程的概念  含含未未知知函函数数及及其其导导数数的的方方程程叫叫做做微分方程微分方程. 方方程程中中所所含含未未知知函函数数导导数数的的最最高阶数叫做高阶数叫做微分方程的阶微分方程的阶. 微微分分方方程程的的解解：：使使方方程程成成为为恒恒等等式的函数式的函数. . 通解通解: :解中所含独立的任意常数的个数与解中所含独立的任意常数的个数与方程的阶数相同方程的阶数相同. .特特解解: :不不含含任任意意常常数数的的解解,其其图图形形称称为为积分曲线积分曲线第第七七章章微分微分方程方程— — 确定通解中任意常数的条件确定通解中任意常数的条件. .n 阶方程的初始条件阶方程的初始条件( (或初值条件或初值条件) ): 定解条件定解条件 说明说明:   通解不一定是方程的全部解通解不一定是方程的全部解 .有解有解后者是通解后者是通解 , 但不包含前一个解但不包含前一个解 .例如例如, 方程方程 y = – x 及及 y = C      第第七七章章微分微分方程方程二、一阶微分方程求解二、一阶微分方程求解 1.  一阶标准类型方程求解一阶标准类型方程求解 关键关键: 辨别方程类型辨别方程类型 , 掌握求解步骤掌握求解步骤2.  一阶非标准类型方程求解一阶非标准类型方程求解 变量代换法变量代换法代换代换因变量因变量代换代换某组合式某组合式三个标三个标准类型准类型可分离变量方程可分离变量方程 齐次方程齐次方程 线性方程线性方程 代换代换自变量自变量第第七七章章微分微分方程方程1. 找找出出事事物物的的共共性性及及可可贯贯穿穿于于全全过过程程的的规律列方程规律列方程.常用的方法常用的方法:(1)  根据几何关系列方程根据几何关系列方程(2)  根据物理规律列方根据物理规律列方程程2. 利利用用反反映映事事物物个个性性的的特特殊殊状状态态确确定定定解条件定解条件.3. 求通解求通解, 并根据定解条件确定特解并根据定解条件确定特解. 三三. . 解微分方程应用题的方法和步骤解微分方程应用题的方法和步骤。