1990-全国高中数学联赛加试平面几何汇编.doc

1990 年第二试(10 月 14 日上午 10301230)一一(此题总分值此题总分值 35 分分)四边形四边形 ABCD 内接于圆内接于圆 O，对角线，对角线 AC 与与 BD 相交于相交于 P，设三角形，设三角形 ABP、BCP、CDP和和 DAP 的外接圆圆心分别是的外接圆圆心分别是 O1、O2、O3、O4求证求证 OP、O1O3、O2O4三直线共点三直线共点 证明证明 O 为为ABC 的外心，的外心， OA=OB O1为为PAB 的外心，的外心，O1A=O1B OO1AB作作PCD 的外接圆的外接圆O3，延长，延长 PO3与所作圆交于点与所作圆交于点 E，并与，并与 AB交于点交于点 F，连，连 DE，那么，那么 1= 2= 3， EPD= BPF， PFB= EDP=90 PO3AB，即，即 OO1PO3同理，同理，OO3PO1即即 OO1PO3是平行四边形是平行四边形 O1O3与与 PO 互相平分，即互相平分，即 O1O3过过 PO 的中点的中点同理，同理，O2O4过过 PO 中点中点 OP、O1O3、O2O4三直线共点三直线共点19911991 年年二设凸四边形 ABCD 的面积为 1，求证：在它的边上(包括顶点)或内部可以找出四个点，使得以其中任意三点为顶点所构成的四个三角形的面积大于 14证明：考虑四边形的四个顶点 A、B、C、D，假设ABC、BCD、CDA、DAB的面积，设其中面积最小的三角形为ABD 假设 SABD ，那么 A、B、C、D 即为所求14 假设 SABD ，取BCD 的重心 G，那么以 B、C、D、G 这 4 点1434中的任意 3 点为顶点的三角形面积 14OOABCDP1OOO234EF123OOABCDP1OOO234F 假设 SABD= ，其余三个三角形面积均 SABD= 1414由于 SABC+SACD=1，而 SACD ，故 SABCSABD，从而 SABESABD= SACE=SABE ，SBCE=SABC 即141414A、B、C、E 四点即为所求 假设 SABD= ，其余三个三角形中还有一个的面积= ，这个三角1414形不可能是BCD，(否那么 ABCD 的面积= )，不妨设 SADC= S12ABD= 那么 ADBC，四边形 ABCD 为梯形14由于 SABD= ，SABC= ，故假设 AD=a，那么 BC=3a，设梯形的高1434=h，那么 2ah=1设对角线交于 O，过 O 作 EFBC 分别交 AB、CD 于 E、F AEEB=AOOC=ADBC=13 EF= ASEFB=SEFC= a h=ah= a3 + 3a11 + 33212323491693214SEBC=SFBC= 3a h= ah= 于是 B、C、F、E 四点为所求综上可知12349891612所证成立又证：又证：当 ABCD 为平行四边形时，A、B、C、D 四点即为所求当 ABCD 不是平行四边形，那么至少有一组对边的延长线必相交，设延长AD、BC 交于 E，且设 D 与 AB 的距离 SABCD= 343434即 (a+2a)h ，ah 123412 SAPQ=SBPQ= ah SPAB=SQAB=ah 即 A、B、Q、P 为所求12141214 假设 ED AE，取 AE 中点 P，那么 P 段 DE 上，作 PRBC 交 CD12于 R，ANBC，交 CD 于 N，由于EAB+EBASABCD=1问题化为上一种情况19921992 年年ADCBEh3aaOADCBFEPQADCBENFRSEBCDAQP四、(20 分)设 l，m 是两条异面直线，在 l 上有 A，B，C 三点，且 AB=BC，过 A，B，C分别作 m 的垂线 AD，BE，CF，垂足依次是 D，E，F，AD=，BE= CF=，求 l 与157210m 的距离解：过 m 作平面 l，作 AP 于 P，AP 与 l 确定平面 ，=l，lm=K作 BQ，CR，垂足为 Q、R，那么 Q、Rl，且AP=BQ=CR=l 与 m 的距离 d 连 PD、QE、RF，那么由三垂线定理之逆，知 PD、QE、RF 都m PD=，QE=，RF=15d2494d210d2当 D、E、F 在 K 同侧时 2QE=PD+RF，=+解之得 d=494d215d210d26当 D、E、F 不全在 K 同侧时 2QE=PDRF，=无实494d215d210d2解 l 与 m 距离为619931993 年年三、 35 分 水平直线 m 通过圆 O 的中心，直线 lm，l 与 m 相交于 M，点 M 在圆心的右侧，直线l 上不同的三点 A,B,C 在圆外，且位于直线 m 上方，A 点离 M 点最远，C 点离 M 点最近，AP,BQ,CR 为圆 O 的三条切线，P,Q,R 为切点试证：(1)l 与圆 O 相切时，ABCR+BCAP=ACBQ；(2)l 与圆 O 相交时，ABCR+BCAPACBQ；(3)l 与圆 O 相离时，ABCR+BCAPACBQ.证明：设 MA=a，MB=b，MC=c，OM=d，O 的半径=r且设 k=d2r2那么当 k0 时，点 M 在O 外，此时，直线 l 与O 相离； 当 k=0 时，点 M 在O 上，此时，直线 l 与O 相切； 当 k0 时，aBQbAP0，k=0 时，aBQbAP=0，k0 时，aBQbAP0 时，bCRcBQ0，k=0 时，bCRcBQ =0，k0 时，bCRcBQ 0 时，aCRcAP0，k=0 时，aCRcAP =0，k0 时，aCRcAP 0 时，ABCR+BCAPACBQ0；当 k=0 时，ABCR+BCAPACBQ=0，当 k0 时，ABCR+BCAPACBQ0故证 、19941994 年年三、(此题总分值 35 分) 如图，设三角形的外接圆 O 的半径为 R,内心为I，B=60,AC,A 的外角平分线交圆 O 于 E证明:(1) IO=AE； (2) 2RIO+IA+ICOH=2R设OHI=，那么 030IO+IA+IC=IO+IH=2R(sin+cos)=2Rsin(+45)2又 +4575，故 IO+IA+ICAC，点 O 是外心，两条高 O A B C H F E D N M BACEFOHKMNBE、CF 交于 H 点，点 M、N 分别段 BH、HF 上，且满足 BM=CN，求的值。

OHNHMH 解：在 BE 上取 BK=CH，连接 OB、OC、OK，由三角形外心的性质知 BOC=2A=120由三角形垂心的性质知 BHC=180-A=120 BOC=BHC B、C、HO 四点共圆 20 分 OBH=OCH OB=OC BK=CH BOKCOH 30 分 BOK=BOC=120，OKH=OHK=30 观察OKH KH=OH 40 分30sin120sinOHKH3 又BM=CN，BK=CH， KM=NH MH+NH=MH+KM=KH=OH3 = 50 分OHNHMH 32003 年年一、 此题 50 分过圆外一点 P 作圆的两条切线和一条割线，切点为 A、B，所作割线交圆于 C、D 两点，C 在 P、D 之间在弦 CD 上取一点 Q，使DAQ=PBC 求证：DBQ=PAC分析：由PBC=CDB，假设DBQ=PAC=ADQ，那么BDQDAQ反之，假设BDQDAQ那么此题成立而要证BDQDAQ，只要证=即可BDADDQAQ 证明：连 AB PBCPDB， =，同理，=BDBCPDPBADACPDPA PA=PB， =BDADBCAC BAC=PBC=DAQ，ABC=ADQ ABCADQ = =BCACDQAQBDADDQAQ DAQ=PBC=BDQ ADQDBQ DBQ=ADQ=PAC证毕OQCDBAP2004 年年一(此题总分值 50 分)在锐角三角形 ABC 中，AB 上的高 CE 与 AC 上的高 BD 相交于点 H，以 DE 为直径的圆分别交 AB、AC 于 F、G 两点，FG 与 AH 相交于点K，BC=25，BD=20，BE=7，求 AK 的长解： BC=25，BD=20，BE=7， CE=24，CD=15 ACBD=CEAB， AC= AB， 65 BDAC，CEAB，B、E、D、C 共圆，AC(AC15)=AB(AB7)， AB( AB15)=AB(AB18)，6565 AB=25，AC=30AE=18，AD=15 DE= AC=1512延长 AH 交 BC 于 P， 那么 APBC APBC=ACBD，AP=24连 DF，那么 DFAB， AE=DE，DFABAF= AE=912 D、E、F、G 共圆，AFG=ADE=ABC，AFGABC， =，AK=AKAPAFAB92425216252005 年年一、 此题总分值 50 分如图，在ABC 中，设 ABAC，过 A 作ABC 的外接圆的切线 l，又以 A 为圆心，AC 为半径作圆分别交线段 AB 于 D；交直线 l 于 E、F。

证明：直线 DE、DF 分别通过ABC 的内心与一个旁心注：与三角形的一边及另两边的延长线均相切的圆称为三角形的旁切圆，旁切圆的圆心称为旁心 证明：1先证 DE 过ABC 的内心如图，连 DE、DC，作BAC 的平分线分别交 DC 于 G、DE 于 I，连 IC，那么由AD=AC，得，AGDC，ID=IC.又 D、C、E 在A 上，EFBCDAGHK24187252015EFBCDAGHKPIAC=DAC=IEC，A、I、C、E 四点共圆，21CIE=CAE=ABC，而CIE=2ICD，ICD=ABC.21AIC=IGC+ICG=90+ABC，ACI=ACB，I 为ABC 的内心2121 2再证 DF 过ABC 的一个旁心.连 FD 并延长交ABC 的外角平分线于 I1，连 II1、B I1、B I，由1知，I 为内心，IBI1=90=EDI1，D、B、l1、I 四点共圆，BI l1 =BDI1=90ADI1=BAC+ADGADI=BAC+IDG，A、I、I1共线.2121I1是ABC 的 BC 边外的旁心2006 年年一、以 B0和 B1为焦点的椭圆与AB0B1的边 ABi交于Cii=0，1 。

在 AB0的延长线上任取点 P0，以 B0为圆心，B0P0为半径作圆弧 P0Q0交 C1B0的延长线于Q0；以 C1为圆心，C1Q0为半径作圆弧 Q0P1交 B1A的延长线于 P1；以 B1为圆心，B1P1为半径作圆弧P1Q1交 B1C0的延长线于 Q1；以 C0为圆心，C0Q1为半径作圆弧 Q1P0，交 AB0的延长线于 P0试证：1点 P0与点 P0重合，且圆弧 P0Q0与 P0Q1相内切于 P0；2四点 P0、Q0、Q1、P1共圆证明：1显然 B0P0=B0Q0，并由圆弧 P0Q0和Q0P1，Q0P1和 P1Q1，P1Q1和 Q1P0分别相内切于点Q0、P1、Q1，得 C1B0+B0Q0=C1P1，B1C1+C1P1=B1C0+C0Q1以及 C0Q1=C0B0+B0P0四式相加，利用 B1C1+C1B0=B1C0+C0B0以及 P0在 B0P0或其延长线上，有 B0P0=B0P0从而可知点 P0与点 P0重合由于圆弧 Q1P0的圆心 C0、圆弧 P0Q0的圆心 B0以及 P0在同一直线上，所以圆弧 Q1P0和 P0Q0相内切于点 P02现在分别过点 P0和 P1引上述相应相切圆弧的公切线 P0T 和 P1T 交于点 T。

又过点 Q1引相应相切圆弧的公切线 R1S1，分别交 P0T 和 P1T 于点 R1和 S1连接 P0Q1和 P1Q1，得等腰三角形 P0Q1R1和 P1Q1S1基于此，我们可由P0Q1P1=P0Q1R1P1Q1S1=(P1P0TQ1P0P1)(P0P1TQ1P1P0)而 P0Q1P1=Q1P0P1+Q1P1P0，代入上式后，即得，同理可得)(211001110TPPTPPPQP)(211001100TPPTPPPQP所以四点 P0、Q0、Q1、。