六节多元函数微分学几何应用.ppt

第六节第六节 多元函数微分学的几何应用多元函数微分学的几何应用一、空间曲线的切线与法平面一、空间曲线的切线与法平面二、曲面的切平面与法线二、曲面的切平面与法线一、空间曲线的切线与法平面1.设空间曲线 的参数方程为：下面来求：按定义，切线是割线的极限位置因此，上任取点我们在曲线附近的一点，设它对应于参数 ，即即对上式取极限，得方向向量切线的方向向量也称为曲线的切向量过点 M 且与这点的切线垂直的平面 由点法式得：点 处的法平面方程为法平面：法平面即00设此方程组确定了用隐函数求导法，求出例1 求曲线 x=t, y=t2，z=t3在点(1,1,1) 处的切线及法平面方程.解123即在点(1,−2,1)处的切线及法平面方程.解设方程组例2 求曲线确定了等式两边对 x 求导，得即解得===10即二、曲面的切平面与法线在曲面 上，通过点 M任意引一条曲线 ，设 的参数方程为不全为0.则(*)(链锁法则)由链锁法则，得=(*)式变为= 0(#)令又则(#)式可写为这表明：切平面的法向量为切平面的方程为++法线：法线的方程为即令则=即用隐函数求导法 由前两式求出再由第三式得4、曲面的法向量的方向余弦 若用 表示曲面的法向量的方向角，假定法向量的方向向上，即 为锐角. 则法向量的方向余弦为:例3 求球面 在点(1,2,3)处的切平面及法线方程.解:，，即法线方程为即246例4 求旋转抛物面 在点(2,1,4)处的切平面及法线方程.解: 法线方程为，==即42全微分的几何意义平面切平面曲面作业P100，4-8,10,12补充题：求曲面上对应点处的切平面及法线的方程。