第六届全国大学生数学竞赛河南赛区复赛试卷（非数）.pdf

第 1 页（共 8 页） 第 2 页（共 8 页） 密封线内不要答题 ……………………………………密……………………………………封………………………………………线……………………………………… 第六届全国大学生数学竞赛河南赛区复赛试卷第六届全国大学生数学竞赛河南赛区复赛试卷 （（非数学类，数学类，20142014）） 考试形式： 闭 卷 考试时间：150 分钟 满分： 100 分 注意：1.所有答题内容必须写在试卷密封线右边，写在演草纸上无效； 2.密封线左边请勿答题，密封线外不得有姓名及相关标记. 得 分 评阅人 1.      1 0 0,lim x x f ax f xxaf a f a     设函数在处可导，且则； 2. 过 点2 , 1 , 3且 与 直 线 11 321 xyz   垂 直 相 交 的 直 线 方 程 为 ； 3.   01 =1., ,d ab a f xfa bf xxa  设函数在，上连续,若对任意的正数与 无关，  1 d x f ex  则 ； 4.设函数 yf x满足方程20yyy与2 x yye  ，则 ;f x  5.设级数   2 ln12 a n n nn      收敛，则a  ； 6. 设   (1),0,0,1.fxafxfb abf且则 得 分 评阅人 二、 （10 分）矛盾的加布里埃尔号角：在区间1,上，曲线 1 y x 绕着x轴旋转 一周得到的曲面所围成的空间体叫作加布里埃尔号角（如图） ．证明： （1）这个号角的体积V是有限的； （2）这个号角的表面积是无限的. 题 号 一 二 三 四 五 六 七 总分 满 分 30 10 10 10 10 15 15 100 得 分 姓名 身份证号 所在院校 年级 专业 ……………………………………………………………密……………………封…………………………线…………………………………………………………………… 一、填空题 （本题共 6 小题， 每题 5 分， 共计 30 分） 第 3 页（共 8 页） 第 4 页（共 8 页） 密封线内不要答题 ……………………………………密……………………………………封………………………………………线……………………………………… 得 分 评阅人 三、 （10 分）设   yy x是微分方程 22 211xyxyxx  的满足   1 1yy的 解，求   lim. x y x  得 分 评阅人 四、 （10 分）设有半径为r的圆C, （1）圆C是否存在面积为 2 3 4 r的内接三角形？ （2）圆C是否存在面积为 2 2 4 r的内接三角形？ 姓名 身份证号 所在院校 年级 专业 ……………………………………………………………密……………………封…………………………线…………………………………………………………………… 第 5 页（共 8 页） 第 6 页（共 8 页） 密封线内不要答题 ……………………………………密……………………………………封………………………………………线……………………………………… 得 分 评阅人 五 、 （ 10 分 ） 设 函 数( )f x为 连 续 函 数 ，(1)0,f且 对 任 意 的x满 足    2 21.fxx fx 证明：对于任意的1,1x ，恒有( )0f x . 得 分 评阅人 六、 （15 分）设曲面 2 2 :1Sxyz. （1）求S在点1,0,0M处的切平面的方程； （2）证明：原点到S的最短距离等于原点到平面的距离. 姓名 身份证号 所在院校 年级 专业 ……………………………………………………………密……………………封…………………………线…………………………………………………………………… ……………………………………………………………密……………………封…………………………线…………………………………………………………………… 第 7 页（共 8 页） 第 8 页（共 8 页） 密封线内不要答题 ……………………………………密……………………………………封………………………………………线……………………………………… 得 分 评阅人 七、 （15 分）求曲面 22 xyaz及 22 2zaxy所围空间立体的体积，其中  1 11 1 2 . 12 n n a nn       姓名 身份证号 所在院校 年级 专业 ……………………………………………………………密……………………封…………………………线…………………………………………………………………… 。