数学归纳法 (2).ppt

2.32.3数学归纳法数学归纳法 兆麟中学高二数学组兆麟中学高二数学组n=5,a5=25问题情境一问题情境一问题问题1：若：若an=(n2- 5n+5)2 ，，则则an=1对吗？1 1 1 1 当当n=1,a1= ;n=2,a2= ;n=3,a3= ; n=4,a4= ;不完全归纳不完全归纳对于某类事物，由它的一些特殊事对于某类事物，由它的一些特殊事例或其全部可能情况，归纳出一般例或其全部可能情况，归纳出一般结论的推理方法，叫归纳法结论的推理方法，叫归纳法由特殊由特殊 一般一般 特点特点:如何证明如何证明:1+3+5+…+(2n-1)=n2 (n∈∈N*)二、数学归纳法的概念：二、数学归纳法的概念：证明某些与自然数有关的数学题证明某些与自然数有关的数学题, ,可用下列方法来可用下列方法来证明它们的正确性证明它们的正确性: :(1)(1)验证验证当当n n取第一个值取第一个值n n0 0( (例如例如n n0 0=1)=1)时命题成立时命题成立, ,(2)(2)假设假设当当n=n=k(kk(k N N* * ，，k k n n0 0 ) )时命题成立时命题成立, , 证明当证明当n=k+1n=k+1时命题也成立时命题也成立完成这两步，就可以断定这个命题对从完成这两步，就可以断定这个命题对从n n0 0开始的所开始的所有正整数有正整数n n都成立。

这种证明方法叫做都成立这种证明方法叫做数学归纳法数学归纳法验证验证n=nn=n0 0时命时命题成立题成立若若当当n=k(n=k(k k n n0 0 ) )时命题成立时命题成立, , 证明当证明当n=k+1n=k+1时命题也成立时命题也成立命题对从命题对从n n0 0开始的所开始的所有正整数有正整数n n都成立证明：证明：①①当当n=1n=1时，左边时，左边=1=1，右边，右边=1=1，等式成立等式成立例例1 1、用数学归纳法证明、用数学归纳法证明1+3+5+1+3+5+……+(2n-1)=n+(2n-1)=n2 2 （（n∈N n∈N ））. .  ② ②假设假设n=k(k∈N ,k≥1)n=k(k∈N ,k≥1)时等式成立时等式成立, ,即：即： 1+3+5+1+3+5+……+(2k-1)=k+(2k-1)=k2 2，， 当当n=k+1n=k+1时：时： 1+3+5+1+3+5+……+(2k-1)+[2(k+1)-1]=k+(2k-1)+[2(k+1)-1]=k2 2+2k+1=(k+1)+2k+1=(k+1)2 2，， 所以当所以当n=k+1n=k+1时等式也成立。

时等式也成立 由由①①和和②②可知，对可知，对n∈N n∈N ，，原等式都成立原等式都成立例例2.下面是某同学用数学归纳法证明命题下面是某同学用数学归纳法证明命题 的过程的过程.你认为他的证法正确吗你认为他的证法正确吗?为什么为什么 (1).当当n=1时时,左边左边= 右边右边= (2).假设假设n=k时命题成立时命题成立 即即那么那么n=k+1时时,左边左边 =右边右边,即即n=k+1时时,命题也成立命题也成立.由由(1)(2)知知,对一切自然数对一切自然数,命题均正确命题均正确. 1)1(1321211+=+·++·+·kkkkL数学归纳法数学归纳法是一种证明与正整数有关的数学命题的重要方法。

是一种证明与正整数有关的数学命题的重要方法主要有两个步骤、一个结论主要有两个步骤、一个结论: : 第一步：验证当第一步：验证当n n取第一个值取第一个值n n0 0（（如如 n n0 0=1=1或或2 2等）时结论正确等）时结论正确第二步：第二步：假设假设n=k (n=k (k∈Nk∈N＋＋ ，， 且且k≥ nk≥ n0 0) )时结论正确，时结论正确， 证明证明n=k+1n=k+1时结论也正确时结论也正确结论：结论：由（由（1 1）、（）、（2 2）得出结论正确）得出结论正确用上假设递推才真例例3:用数学归纳法证明用数学归纳法证明注意注意 1 1. .用数学归纳法进行证明时用数学归纳法进行证明时, ,要分两个步要分两个步骤骤, ,两个步骤缺一不可两个步骤缺一不可. .2 (1) (1) 找准找准n n0 0 是是递推的基础递推的基础. (2)(2)递推的依据：递推的依据：n n＝＝k k时命题成立．作为必时命题成立．作为必用的条件运用，而用的条件运用，而n n＝＝k+1k+1时情况则有待时情况则有待利用利用假设假设及已知的定义、公式、定理等加以证明及已知的定义、公式、定理等加以证明例例4:已知数列已知数列 计算计算 ,根据计算的结果根据计算的结果,猜想猜想 的表达式的表达式,并用数学归纳法进行证明并用数学归纳法进行证明.。