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第八章 基本时间序列模型的估计,时间序列模型简介 指数平滑法 趋势分解的滤波方法,一、时间序列模型简介,对某些经济指标的时间序列（通常是金融时间序列）来说，通常不存在明显的趋势变动和周期变动，或者是存在某种长期趋势但是短期趋势经常发生变化这种特性是金融数据本身特点决定的针对这种时间序列有很多处理方法，本章将介绍指数平滑法对这种序列进行处理而一般的月度或季度经济指标，通常包含4中变动要素：长期趋势要素、循环趋势要素、季节变动要素和不规则要素长期趋势要素代表经济时间序列的长期走势，循环趋势要素是以数年为周期的一种周期性变动，它可能是一种景气变动、也可能是经济变动或其他周期变动季节变动要素是每年重复出现的循环变动，以12个月或4个季度为周期的周期性影响，可能由温度、假期等因素引起不规则要素又称随机因子或噪声，变化无规则且不固定，由偶然发生的事件引起通常来说，研究一般经济指标序列的重点多放在该序列的长期趋势要素和循环趋势要素上，这就要求把这两种要素从整个序列中分解出来本章介绍的H-P滤波方法和BP滤波方法就是分解时间序列的两种重要的基本方法二、指数平滑法,指数平滑法的前提是认为时间序列的态势具有稳定性或规则性，所以时间序列可被合理地顺势推出。

最近的过去态势在某种程度上会持续到最近的未来，所以将较大的权数放在最近的资料 常用的指数平滑法包括一次指数平滑、二次指数平滑和Holt-Winter非季节模型和季节加法与乘法模型 一次指数平滑又称为单指数平滑时间序列 的平滑序列 的计算公式如(公式8-1)下：,,,,,1、一次指数平滑,其中， 实施机制序列； 是平滑值序列（smoothed series）； 是上期平滑值α是平滑系数（smoothing parameter），也叫衰减因子平滑系数的取值范围为： 重复迭代以上公式，可得到（公式8-2） 由式8.2我们可以看出，平滑值序列实际上是由实际序列的历史数据加权平均得到的，而权数被定义为以时间为指数的形式，故此方法被称为指数平滑法一次指数平滑法的预测对所有未来的观测值都是常数，这个常数为 （对于所有k＞0），T是时间序列的最终点二次指数平滑又被称为双重指数平滑该方法适用于线性趋势预测二次指数平滑的计算公式为： 是一次指数平滑序列； 是二次指数平滑学列； 是平滑系（ ） 二次指数平滑就是在一次指数的基础上对数据进一步进行平滑所产生的 二次指数平滑预测公式如下：,2、二次指数平滑,式 8-3中，T是样本末期。

这个公式叫做Brown单参数指数平滑线性预测公式它所产生的预测值是截距为 ，斜率为 的线性趋势值 这种方法适用于具有线性时间趋势但无季节变化的序列与双指数平滑法一样，这种方法以线性趋势进行预测，但不同的是，双指数平滑法只用一个参数，而这个模型有两个平滑系数α和β（ ） 平滑序列的计算公式为：,,,,3、Holter-Winter非季节模型,如果t=T，预测模型为： 式8-5中， 是截距， 是斜率可以看出他们都是通过平滑值计算得到的该方法适用于具有线性趋势和加法季节变化的序列平滑序列的计算公式为： 式8-7中， 表示截距， 表示斜率， 表示趋势， 为加法模型季节因子，s表示季节周期长度（如月度s=12） 该模型需要三个系数来给出季节因子、截距和斜率的初值此三个系数的递归式定义为：,,,,4、Holter-Winter季节加法模型,其中：k0, 在0~1之间如果t=T，预测模型为： 其中， 用样本数据最后一年的季节因子案例8.1,,设置要点 （1）平滑的操作 打开图8. 1 eu_do序列，点Proc/Exponential Smoothing，打开如图8. 2所示的指数平滑窗口。

由于数据不存在季节性，选用Double（二次指数平滑）方法平滑参数由系统自动设定，平滑序列名采用默认的eu_dosm，样本期设定为1/06/2006 1/29/2010，较原序列向后延长了4期，即进行4期的预测季节变动周期默认设为5期图 8.1 案例8.1工作窗口,图 8.2 指数平滑窗口设定,,图 8.3平滑结果,图 8.4 平滑序列与原序列折线图,三、趋势分解的滤波方法,对于非平稳时间序列（带有长期趋势的序列必定是非平稳的）而言，研究时通常需要将其趋势与循环成分进行分解，以便进行进一步的研究目前主要的分解方法有结构性分解和状态性分解两种 结构性分解需要通过其他经济变量，通过变量之间的替代和影响关系，例如Okun分解和Philllips曲线关系等，将时间序列中的趋势成分和周期成分分离出来；状态性分解是通过时间序列的时间序列性质，将其分解为趋势要素和周期要素其中状态性分解还可以分为状态域分解和时频域分解等状态域分解时直接将时间序列分解为状态空间当中的不同取值，例如卡尔曼滤波分解和差分分解；时频域分解是将时间序列分解为具有各种时间频率的周期成分，其分解是在频率时域当中进行的，例如常用的H-P滤波和BP滤波（包括BK滤波和CF滤波等）分解等。

H-P滤波法和Band Pass滤波是两种常用的分解方法，两种方法分别注重于长期趋势要素的分解和循环趋势要素的分解 Hodrick-Prescott滤波方法是长期趋势分析中的一种常用方法，该方法在Hodrick and Prescott(1980)分析战后美国经济周期的论文中首次使用，该方法可以较好的分解出时间序列的趋势要素其原理如下：,,,1、Hodrick-Prescott滤波方法,设{Yt}是包含趋势成分和波动成分的经济时间序列， 是其中还有的趋势成分， 是其中含有的波动成分则 计算HP滤波就是从{Yt}中将 分离出来一般地，时间序列{Yt}中可观测部分趋势 常被定义为下面的最小化问题的解： 其中，c(L)是滞后算子多项式 将8-7 带入8-6中，则HP滤波的问题就是最小化下面的损失函数，即,,,最小化问题用 来调整趋势的变化，并随着 的增大而增大HP滤波依赖于参数 ，该参数需要先给定 是对趋势光滑程度和对原数据拟合程度的一个权衡参数，读者根据需要在趋势要素对实际序列的跟踪程度和趋势光滑程度之间做一个选择当 =0时，满足最小化问题的趋势序列为{Yt}序列；随着 值的增加，估计的趋势越光滑；当 趋于无穷大时，估计的趋势将接近线性函数。

一般经验， 的取值如下： HP滤波把经济周期看成是宏观经济对某一缓慢变动路径的一种偏离，该路径在期间内是单调增长的，所以称为趋势HP滤波增大了经济周期的频率，使周期波动减弱案例8.2,,,,设置要点： （1）打开lsze序列，点击Proc/Hodrick-Prescott Filter，打开如图8.5所示的H-P滤波操作窗口在Output series选项组中可以设置输出的趋势成分序列和波动成分序列的名称系统默认趋势成分序列名为“hptrend01”，波动成分序列名默认为空如果此栏不填，则系统不输出该序列，本例中填写cycle01以输出该序列在Smoothing Parameter选项组中可以设置滤波参数，即上文背景知识中提到的 值图 8.5 H-P滤波设置窗口,,,,（2）Eviews中提供了两种参数的设定方式，系统默认采用第一种，直接设定 值根据该workfile的时间频率（年度、季度或者月度），系统会自动填入相应的指另一种参数的设定方式是由Ravn and Uhlig 在2002年提出的它的具体规则如下：用一个年度内的周期数量（如月度数据为12，季度数据为4）除以4，再取一个幂值，最后乘上1600。

该幂值由用户给定，Hodrick and Prescott建议取2，Ravn and Uhlig建议取4填入后，上方的 值将自动按上述规则调整若填入Hodrick and Prescott的建议值2，则 值仍为默认的14400不变如填4，系统则会根据计算规则更改 的取值如图8.6所示的就是H-P滤波窗口中过滤参数的设定区域图 8.6 H-P滤波参数的设定区域,,,,（3）趋势分解的结果 点击OK按钮，弹出如图8.7所示的过滤结果图 8.7 H-P滤波趋势分解结果,Band Pass滤波是利用谱分析对时间序列进行长期趋势、循环分解趋势等分解的重要方法其基本思想是：把时间序列看作是互不相关的频率分量叠加，通过研究和比较各分量的周期变化，以充分揭示时间序列的频率域结构，掌握其主要的波动特征 设时间序列数据X={x1,x2,…,xT}，T为样本长度谱分析（spectral analysis）的实质是把时间序列X的变动分解成不同的周期波动之和设频率用 表示，周期用p表示，则频率 和周期p有如下关系： 时间序列X的变动可以分解成各种不同频率波动的叠加和，根据哪种频数的波动具有更大的贡献率来解释X的周期波动的成分，这就是谱分析（频数分析）名称的缘由。

2、Band Pass滤波方法,,这就是说当具有各种周期的无数个波包含于景气变动中时，看看那个频率的波能更强烈地表现这种变动时频域分析中的核心概念是功率谱密度函数，它集中反映了时间序列中不同频率分量对功率何方差的贡献程度限于篇幅，本书只简要介绍经济时间序列功率谱的特征，具体的理论及公式可以参见由董文泉、高铁梅等编著的《经济周期分析与预测方法》一书 对于随机过程 是白噪音的情形，白噪音的功率谱可以表示为 ，其中 是 的方差白噪音的功率谱是水平的所以白噪音的功率谱的所有频率是具有统一权重的随机过程对于随机过程 是一般随机过程的情形，如果低频率处功率谱值较高，则表示长周期变动的比重高，那么该随机过程以长期波动为主相反，如果高频率处的功率谱值较高，则表示短周期变动的比重高，那么该随机过程是比白噪音还不规则的随机过程如果在某个特定的频数附近功率谱值相对较高 ，则说明这个随机过程变动的大部分是由这个频数所确定的周期波动 下面来介绍一下频率响应函数的概念考虑随机过程 的线性变换 其中： 是确定的权重序列，如是 的移动平均权重上面的变换可以用滞后算子表示为：,,,,,,有这种变换构成的滞后算子多项式被称为线性滤波，简称滤波。

那么变换过程就可以称为对 作用了滤波由谱分析知识可知， 的功率谱可以表示为 其中：i是单位虚数 与 相对应 称为滤波的频率响应函数 成为滤波的增益因此，变换后的功率谱给定为实数进一步，增益的平方 称为滤波的功率传递函数 形如8-8的线性变换被称为线性滤波，是因为通过适当设计权重序列，可以使传递函数在某些频率区间内等于0或近似等于0这样根据式8-9就可以将输入中所有在这个频率带中的分量“过滤”掉，留下其他成分根据所保留下来的频率位于低频处、高频处或某个中间带上，分别称为低通滤波、高通滤波和带通滤波根据线性滤波的性质我们可以设计一个能够突出强调某个频率带的最优滤波最基本的是低通滤波，仅保留时间序列中缓慢变动、低频率的部分理想的低通滤波只允许在 区间的频率通过， 是“切断”频率因此，低通滤波的频率响应函数 为 由于滤波的频率响应函数是滤波权重的富士变换，因此 由于时间序列周期最小是2，因此频率最大为 虽然j变得越来越大时，权重将趋于0，但是要想得到理想的滤波，需要无限阶移动平均实际应用中，我们必须要用有限项移动平均近似理想的滤波，设截断点为n，这使得频率响应函数为,,,,,高通滤波与低通滤波正好相反，它剔除低频成分而保留高频成分。

H-P滤波便可以近似的看作是一种高通滤波对于同样的切断频率 ，高通滤波的权重为 而带通滤波（即BP滤波）是只通过范围在 的频率， 分别 为。