控制工程第五章控制系统的稳定性分析.ppt

前情回顾……,自动控制系统稳定的充分必要条件： 系统特征方程的根全部具有负实部， 即:闭环系统的极点全部在S平面左半部注意：稳定性与零点无关,系统特征方程,无需求解特征根，直接通过特征方程的系数判别 系统的稳定性劳思(routh)判据,赫尔维茨(Hurwitz)判据,5.2 代数判据,特征方程的各项系数均不等于零 特征方程各项系数的符号均相同，一般均为正代数判据先决条件,性质：第一列符号改变次数== 系统特征方程含有正实部根的个数劳思阵列,特殊情况1：第一列出现0,特殊情况2：某一行元素均为0,劳思(routh)判据的特殊情况,特殊情况：第一列出现0各项系数均为正数,,,,解决方法：用任意小正数代之特殊情况1：第一列出现0,特殊情况：某一行元素均为0,,解决方法：全0行的上一行 元素构成辅助方程，求导 后方程系数构成一个辅助 方程各项系数均为正数,求导得:,例如：,特殊情况2：某一行元素均为0,一阶系统,a10(全部系数数同号),a10, a20(全部系数数同号),a10, a20, a30(全部系数数同号),a1a2 a0 a3,,a10, a20, a30 , a40(全部系数数同号),,归纳：a00时,二阶系统,三阶系统,四阶系统,劳斯判据采用劳斯阵列，应用不受系统的阶次的影响，且如果系统不稳定还能得出特征方程有几个根在s平面的右半部分，且可以做简单的相对稳定性判断。

赫尔维茨判据采用赫尔维茨行列式，四阶以上赫尔维茨行列式计算较为麻烦，故一般只用于低阶系统乃奎斯特（Nyquist）稳定判据:几何判据1. 利用奈氏判据也不必求取闭环系统的特征根，而是通过系统开环频率特性Ｇ(j)H(j)曲线来分析闭环系统的稳定性2. 由于系统的频率特性可以用实验方法得，所以乃氏判据对那些无法用分析法获得传递函数的系统来说，具有重要的意义3. 乃氏判据还能表明系统的稳定裕度即相对稳定性，进而指出改善系统稳定性的途径5.3 Nyquist稳定性判据,Nyquist稳定判据,系统各特征多项式间的关系,开环含有积分环节,Nyquist稳定判据穿越法,Bode图中的Nyquist稳定判据,米哈伊洛夫定理,对于n阶系统，若有p个根位于复平面的右半面，有q个根在原点上，其余n-p-q个根位于左半面，则当ω由0变化到∞时，矢量D(jω)的相角变化量,,米哈伊洛夫定理：,n 阶系统稳定的条件：当ω由0变化到∞时，矢量D(jω)的相角变化量 系统D(jω)轨迹由正实轴开始，逆时针转过n个象限，则系统是稳定的（其中n为系统的阶数，即特征方程阶数） 工程实际应用意义不大！,,系统的开环传递函数,系统的闭环传递函数,闭环特征多项式,开环特征多项式,设新变量F(s),,,,建立了系统的闭环特征多项式、开环特征多项式和开环传递函数G(s)H(s)之间的关系,系统各特征多项式间的关系,Nyquist稳定性判据,F(s),Db（s）,Dk（s）,F’(s),开环稳定判据,开环不稳定判据,,,,,系统在开环状态稳定的条件,闭环稳定的充要条件是：当ω由0变化到∞时，1+G(j)H (j) 轨迹不包围[1+GH]平面的原点。

Nyquist判据——开环稳定时,系统在开环状态稳定的条件,闭环稳定的充要条件是：当ω由0变化到∞时，开环G(j)H (j) 轨迹不包围GH平面的(-1,j0)点在复平面上将1+G(jω) H(jω)的轨迹向左移动一个单位（或者相当于将虚轴向右移动一个单位），便得到G(jω)H(jω) 的轨迹,若系统开环不稳定，且有p个开环特征根位于右半s 平面，则闭环系统稳定的充要条件： 当ω由0变化到+∞时，开环G(j)H (j) 轨迹逆时针包围 GH平面(-1，j0) 点p /2次ω : 0+∞,而闭环稳定要求：,Nyquist判据——开环不稳定时,Nyquist判据,一个闭环反馈控制系统稳定的充要条件是其开环乃氏图逆时针包围（-1, j0）点的圈数等于其开环右极点的个数的一半系统在闭环状态下是稳定的开环不稳定 (p=2),G(j)H(j)轨迹逆时针方向包围(-1,j0)点一次,开环含有积分环节（原点处存在极点）或者在虚轴上存在极点用半径ε→ 0的半圆在虚轴上极点的右侧绕过这些极点，即将这些极点划到左半s平面含有积分环节的乃奎斯特稳定性判据,常规方法： (1)作出ω由 0+→∞变化时的Nyquist曲线； (2)从G(j0+)开始，以∞为半径逆时针补画v×90°的圆弧(辅助线)。

ω由 0→0+变化时的轨迹,具有零根的开环G(jω)H(jω)轨迹,(I型系统),(II型系统),(III型系统),零根看做左根； 以半径无穷大的圆弧逆时针方向补画v*90º的圆弧作为辅助线，看整体是否包围（-1，j0）点单位反馈系统的开环传递函数为,应用Nyquist判据判别闭环系统的稳定性开环稳定G(j) 轨迹不包围(-1,j0) 点闭环系统稳定穿越：指开环Nyquist曲线穿过 (-1, j0 ) 点左边实轴时的情况正穿越：ω增大时，Nyquist曲线由上而下穿过 -1 ~ -∞段实轴正穿越时相当于Nyquist曲线正向包围(-1, j0 )点一圈负穿越：ω增大时，Nyquist曲线由下而上穿过 -1 ~ -∞段实轴负穿越相当于Nyquist曲线反向包围(-1, j0 )点一圈Nyquist稳定判据穿越法,半次穿越：G(jω)H (jω) 轨迹起始或终止于(-1,j0)点以左的负实轴1/2次穿越,-1/2次穿越,当ω由0变化到∞时，Nyquist曲线在(-1, j0 )点左边实轴上的正负穿越次数之差等于m/2时( m为系统开环右极点数)，闭环系统稳定，否则，闭环系统不稳定开环不稳定 闭环稳定,开环稳定 闭环稳定,Nyquist图与Bode图的对应关系,原点为圆心的单位圆 0 分贝线。

单位圆以外L(ω)0的部分； 单位圆内部L(ω)0的部分负实轴－180°线对数频率特性稳定判据,正穿越对应于对数相频特曲线当ω增大时从下向上穿越 -180°线(相角滞后减小 )；,(-1, j0)点以左实轴的穿越点 L(ω)0范围内的与－180°线的穿越点负穿越对应于对数相频特性曲线当ω增大时，从上向下穿越-180°线( 相角滞后增大)对数频率特性稳定判据,若系统开环传递函数m个位于右半s平面的特征根，则当在L(ω)0 的所有频率范围内，对数相频特性曲线(ω)( 含辅助线 )与-180°线的正负穿越次数之差等于m/2时，系统闭环稳定，否则，闭环不稳定开环特征方程有两个右根，m=2 正负穿越数之和+1,闭环稳定,开环特征方程无右根，m=0 正负穿越数之和0,闭环稳定开环特征方程无右根，m=0L()0范围内()和- 线不相交即正负穿越数之和为0,闭环稳定例：,利用波德图求取相对稳定性具有下列优点：,(1) 波德图可以由渐近线的方法绘出，故比较简便易行；,(2)省去了计算c 、g的繁杂过程；,(3)由于开环波德图是由各波德图迭加而成，因此在波德图上容易确定哪些环节是造成不稳定的主要因素，从而对其参数重新加以选择或修正；,(4)在需要调整开环增益K时，只需将对数幅频特性曲线上下平移即可，这样可很容易地看出增益K取何值时才能使系统稳定。

相对稳定性和稳定裕量,增益交界频率和相位交界频率,系统的稳定性裕量,5.4 稳定性裕量,稳定性裕量可以定量地确定系统离开稳定边界的远 近，是评价系统稳定性好坏的性能指标，是系统动 态设计的重要依据之一相对稳定性和稳定裕量,注意：虚轴是系统的临界稳定边界,G(j)H(j)轨迹靠近(-1,j0)点的程度,GH平面,增益交界频率 c G(j)H (j)轨迹与 单位圆交点,相位交界频率 g G(j)H (j)轨迹与负实轴交点,1-稳定系统,2-不稳定系统,增益交界频率和相位交界频率,单位圆外,单位圆内,增益交界频率 c G(j)H(j)轨迹与单位 圆交点L(j)与0分贝线 的交点c,g,稳定系统,相位交界频率 g G(j)H (j)轨迹与负实轴交点 (j)与-线的交点 :在增益交界频率c上系统达到稳定边界所需要的附加滞后量---相位裕量开环,系统的稳定性裕量,Kg :在增益交界频率 g上,频率特性幅值|G(j)H(j)|的倒数——幅值裕量（增益裕度）开环,,,,,,系统响应速度,增益裕量 相位裕量,闭环系统稳定性,增益裕量 相位裕量 伺服机构： 10-20分贝 40度以上 过程控制： 3-10分贝 20度以上,,稳定性裕量,,某系统的开环传递函数为： 试分别求K=2和K=20时，系统的幅值裕度Kg (dB) 和相位裕度 。

解：系统的开环频率特性为,其中，幅频特性,相频特性,令,有,令,或令,有,而幅值裕度,(1),(2),相位裕度,(1) 当K= 2时，代入式(1)得 增益交角频率 c=1.23 代入式(3)得 相位裕度 =25.3° 代入式(2)得 幅值裕度 Kg=9.52dB,(3),(2) 当K=20时，代入式(1)得 增益交角频率 c=3.93 代入式(3)得 相位裕度 =-23.89° 代入式(2)得 幅值裕度 Kg=-10.47,解2：由开环传递函数知，系统开环稳定分别绘制K=2和K=20时系统的Bode图，如图6-13(a)、(b)所示由图可见： 当K=2时，Kg(dB)=8(dB)；=21° 当K=20时，Kg(dB)=-12(dB)，=-30° 显然，K=20时闭环系统不稳定K=2时系统是稳定的此时相位裕度较小，小于30º ，因此系统不具备满意的相对稳定性图6-13 不同K值的波德图,劳斯阵列的计算顺序是由上两行组成新的一行例如由第一行与第二行可组成第三行，在第二行第三行的基础上产生第四行，这样计算直到只有零为止。

一般情况下可以得到一个n+1行的劳斯阵列而最后两行每行只有一个元素每行计算到出现零元素为止把an，an-1，b1，c1，…，d1，e1 称为劳斯阵列中的第一列元素劳斯稳定判据的必要且充分条件是： （1）系统特征方程的各项系数皆大于零，即ai0； （2）劳斯阵列第一列元素符号一致，则系统稳定否则系统不稳定 第一列元素符号改变次数就是特征方程中所包含的右根数目劳斯稳定判据,小结：,控制系统能在实际中应用的首要条件就是必须稳定一个不能稳定的系统是不能工作的判别系统稳定性的准则，也称为系统的稳定性判据劳斯判据:是依据闭环系统特征方程式对系统的稳定性做出判别，它是一种代数判据奈奎斯特判据:是依据系统的开环奈奎斯特图与坐标上（-1，j0）点之间的位置关系对闭环系统的稳定性作出判别，这是一种几何判据波德判据:实际上是奈奎斯特判据的另一种描述法，它们之间有着相互对应的关系但在描述系统的相对稳定性与稳态裕度这些概念时，波德判据显得更为清晰、直观,从而获得广泛采用小结：,This is End of Chapter 5,。