状态观测器Word版.doc

5.4 状态观测器从前面几节看出，要实现闭环极点的任意配置，离不开状态反馈，然而系统的状态变量并不都是易于直接能检测得到的，有些状态变量甚至根本无法检测这样，就提出所谓状态观测或者状态重构问题由龙伯格（Luenberger）提出的状态观测器理论，解决了在确定性条件下受控系统的状态重构问题，从而使状态反馈成为一种可实现的控制律至于在噪声环境下的状态观测将涉及随机最优估计理论本节只介绍在无噪声干扰下，单输入—单输出系统状态观测器的设计原理和方法5.4.1 状态观测器定义与存在性（1）状态观测器定义设线性定常系统的状态矢量不能直接检测如果动态系统以的输入和输出作为其输入量，能产生一组输出量近似于，即，则称为的一个状态观测器根据上述定义，可得构成观测器的原则是：① 观测器应以的输入和输出为输入量② 为满足，必须完全能观，或其不能观子系统是渐近稳定的③ 的输出应以足够快的速度渐进于，即应有足够宽的频带但从抑制干扰角度看，又希望不要太宽因此，要根据具体情况予以兼顾④ 在结构上应尽量简单即具有尽可能低的维数，以利于物理实现2）状态观测器的存在性定理八 对线性定常系统，状态观测器存在的充要条件是的不能观子系统为渐近稳定。

证明 ① 设不完全能观，可进行能观性结构分解不妨设已具有能观性分解形式即 （5.48）式中 ——能观子状态； ——不能观子状态； ——能观子系统； ——不能观子系统② 构造状态观测器设为状态的估计值，为调节渐近于的速度的反馈增益矩阵于是得观测器方程 （5.49）或 定义为状态误差矢量，可导出状态误差方程 （5.50）③ 确定使渐近的条件由上式，得 （5.51） （5.52）由式（5.51）可知，通过适当选择，可使的特征值均具负实部，因而有 （5.53）同理，由式（5.52）可得其解为 （5.54）由于，因此仅当 （5.55）成立时，才对任意和，有 （5.56）而与特征值均具有负实部等价。

只有的不能观子系统渐近稳定时，才能使定理得证5.4.2 全维观测器定理九 若线性定常系统完全能观，则其状态矢量可由输出和输入进行重构证明 将输出方程对逐次求导，代以状态方程并整理可得 （5.57）将各式等号左边用矢量表示，则有 （5.58） 若系统完全能观，则有 （5.59）根据式（5.58）可以构造一个新系统，它以原系统的、为其输入，它的输出经变换后便得到状态矢量换句话说，只要系统完全能观，那么状态矢量便可由系统的输入、输出及其各阶导数估计出来，状态估计值记为观测器的结构如图5.6所示系统中包含0阶到n-1阶微分器，这些微分器将大大加剧测量噪声对于状态估计的影响因此这构造的观测器是没有工程价值的图5.6 利用u和y重构状态x为了避免微分器，一个直观的想法是仿照系统的结构，设计一个相同的系统来观测状态，如图5.7所示 图5.7 开环观测器结构图容易证明，这种状态观测器只有当观测器的初态与系统初态完全相同时，观测器的输出才严格等于系统的实际状态。

否则，二者相差可能很大但是要严格保持系统初态与观测器初态完全一致，实际上是不可能的此外，干扰和系统参数变化的不一致性也将加大它们之间的差别，所以开环观测器是没有实用意义的如果利用输出信息对状态误差进行校正，便可构成渐近状态观测器，其原理结构如图5.8所示它和开环观测器的差别在于增加了反馈校正通道当观测器的状态与系统实际状态不相等时，反映到他们的输出与也不相等，于是产生一误差信号 ，经反馈矩阵馈送到观测器中每个积分器的输入端，参与调整观测器的状态，使其以一定的精度和速度趋近于系统的真实状态渐近状态观测器因此得名 （a） （b）图5.8 渐近观测器结构图根据图5.8可得状态观测器方程即 （5.60）式中 ——状态观测器的状态矢量，是状态的估计值；——状态观测器的输出矢量；——状态观测器的输出误差反馈矩阵根据式（5.60），可将状态观测器表示成图5.8b从图中看出，它有两个输入，一个是待观测系统的控制作用，一个是待观测系统的输出它的一个输出就是状态估值。

反馈矩阵的设计为了讨论状态估值趋近于状态真值的渐近速度，引入状态误差矢量 （5.61）可得状态误差方程 （5.62）即 （5.63）式（5.63）是一个关于的齐次微分方程，其解为 （5.64）由式（5.62）可以看出，若，则在的所有时间内，，即状态估值与状态真值相等若，二者初值不相等，但的特征值均具有负实部，则将渐近衰减至零，观测器的状态将渐近地逼近实际状态状态逼近的速度将取决于的选择和特征值的配置应当指出，当系统不完全能观，但其不能观子系统是渐近稳定的，则仍可构造状态观测器但这时，趋近于的速度将不能由任意选择，而要受到不能观子系统极点位置的限制例 5-4 已知系统 设计状态观测器使其极点为解：① 检验能观性因 满秩，系统能观，可构造观测器② 将系统化成能观I型系统特征多项式为 得 及 于是 ③ 引入反馈阵得观测器特征多项式 ④ 根据期望极点得期望特征式 ⑤ 比较与各项系统得即 ⑥ 反变换到状态下 ⑦ 观测器方程为 或者 模拟结构图如图5.9所示。

图5.9 例5-4系统状态观测器应当指出，当系统维数降低时，在检验能观性后亦可不经过化能观I型的步骤直接按特征式比较来确定反馈阵例如对本例，有 与期望特征式比较，得 故 与上面结果一致 （注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!） 。