正 态 分 布.ppt

第十三单元 正 态 分 布 教学目的：理解并熟练掌握一维正态分布的密度函数与分布函数，数字特征，线性性质.教学重点：正态分布的密度和分布函数，正态分布的查表，数字特征，线性运算.教学难点：密度函数的曲线的特征，正态分布的查表，线性运算.1 1§4.1 正态分布的概率密度与分布函数2 2计算积分 先计算.因为(利用极坐标计算)所以.记 则利用定积分的换元法有：因为有 ,所以它可以做为某个连续型随机变量的概率密度函数.(正态分布)3 3正态分布的定义.定义1 如果一维连续型随机变量 的概率密 度为则称随机变量 服从正态分布,记作 ,其中的 是正态分布的参数.正态分布 也称为高斯分布.对于 的特殊情况,既如果 ,则 称 服从标准正态分布,它的概率密度记为 ,有 . 4 4函数 的图象.令 得驻点 ,根据 的正负性可 知, 是 的极大值点,该点坐标为 ;令 ,得 ,根据 的正负性可 知,函数 在 和 是凹的,在 上是 凸的, 均是拐点;因为 ,所以 轴是该曲线的渐近线;根据 的偶函数性质,函数 的图象关于 轴对称.5 5根据上面的曲线的特点作出 的曲线如下.拐点极大值点6 6对于一般的正态分布处达到极大值,极大值点为 ;处是拐点;拐点坐标为 ， 在 上是凸的，其他范围是凹的；以 轴为渐近线;图象关于 对称.越大,最大值越小，拐点越偏离 ； 7 7分布函数 与 . 对于 ,它的分布函数为 对于标准正态分布 ,记它的分布函数为 .根据 以及 的正负性质,得 在 整个实数范围内单调递增,在 范围内图图 象是凸的,在 范围内图象是凹的,在 处 是拐点,又 ,得两条渐近线 和 轴,又根据 的对称性质可以得到 .8 8根据上述讨论作出作出 的图形如下: 根据 的性质还可以得到 . 9 9的直接计算是比较困难的,但可以通过查 表得到 在 时的数值.对于 的情况可 以根据 来通过查表后求得. 一般的正态分布 的分布函数 与 的关系如下:1010正态分布的概率的计算.有了正态分布的分布函数的计算方法,就可 以求出正态随机变量 落在某个区间内的 概率.对于 ,某两个数 满足 ,则 有又因为 是连续型随机变量,因此有1111例题 例1 已知 ，求 和 . 解: 服从参数 的正态分布,则有:1212例2 已知 ，求 ， .解:1313例3 已知 ,求随机变量 的概率密 度函数. 解: 因为 ,所以 的密度函数 则 的分布函数 . 显然当 时, ,此时 .对于 的情况此时 1414综上,随机变量 的概率密度函数为:注:称这样的随机变量 服从自由度为1 的 分布.1515§4.2 正态分布的数字特征1616一般正态分布 与 的数字 特征的关系. 由一般的正态分布 的分布函数 与 标准正态分布的分布函数 的关系可以直 接得到:如果随机变量 ,则 .由期望与方差的线性性质:因为 ,所以1717正态分布的期望值对于 注:这个广义积分是绝对收敛的,因此标准 正态分布的期望值存在,且其值为0.对于 , 1818正态分布的方差 ,对于 , 已经得到注:这个广义 积分是绝对 收敛的. 所以 对于 , 综合上面的讨论:正态分布 的期 望值是 ,方差是 .1919二维离散 r.v.的联合分布函数已知联合分布律可以求出其联合分布函数反之, 由分布函数也可求出其联合分布律2020§4.3 正态分布的线性性质2121单个正态分布的线性函数的分布.已知 , ,记 ， 下面讨论一下 的性质：因为 ,又 ,则 ,由此可见 .既单个正态分布的线性函数仍然服从正态分布.2222两个正态分布的和的分布.已知两个独立的随机变量 满足 , 且 ,则 仍然服从正态分布，由数字特征的线性性质可得 ，因此有这个结论不作证明,更广泛地有下面的定理:2323定理:设随机变量 相互独立,都服从正态分布: ,则它们的线性组合 也服从正态分布，且有，其中 为常数．2424。