05 第五节函数极限与最大值最小值.doc

第五节 函数极限与最大值最小值在讨论函数的单调性时，曾遇到这样的情形，函数先是单调增加（或减少），到达某一点后又变为单调减少（或增加），这一类点实际上就是使函数单调性发生变化的分界点. 如在上节例3的图3-4-5中，点和就是具有这样性质的点，易见，对的某个邻域内的任一点，恒有 ，即曲线在点处达到“峰顶”；同样，对的某个邻域内的任一点，恒有 ，即曲线在点处达到“谷底”. 具有这种性质的点在实际应用中有着重要的意义. 由此我们引要入函数极值的概念.分布图示★ 函数极值的定义★ 函数极值的求法★ 例1 ★例2 ★例3★ 第二充分条件★ 例4 ★例5 ★例6★ 最大值最小值的求法 ★例7★ 例8 ★例9 ★例10★ 例11 ★例12 ★例13★ 内容小结 ★课堂练习★ 习题3-5★ 返回内容要点 一、极值的概念 二、极值的必要条件 三、第一充分条件与第二充分条件 四、求函数的极值点和极值的步骤：（1） 确定函数的定义域，并求其导数;（2） 解方程求出的全部驻点与不可导点;（3）讨论在驻点和不可导点左、右两侧邻近符号变化的情况，确定函数的极值点;（4） 求出各极值点的函数值，就得到函数的全部极值. 五、求函数的最大值与最小值 在实际应用中，常常会遇到求最大值和最小值的问题. 如用料最省、容量最大、花钱最少、效率最高、利润最大等. 此类问题在数学上往往可归结为求某一函数（通常称为目标函数）的最大值或最小值问题.求函数在上的最大（小）值的步骤如下：（1）计算函数在一切可能极值点的函数值，并将它们与相比较，这些值中最大的就是最大值，最小的就是最小值；（2） 对于闭区间上的连续函数，如果在这个区间内只有一个可能的极值点，并且函数在该点确有极值，则这点就是函数在所给区间上的最大值（或最小值）点.例题选讲求函数的极值例1 (E01) 求出函数的极值.解 ,令得驻点列表讨论如下：＋0－0＋↑极大值↓极小值↑所以, 极大值极小值例2 (E02) 求函数的极值.解 函数在内连续，除外处处可导，且 令得驻点为的不可导点; 列表讨论如下:＋不存在－0＋↑极大值↓极小值↑ 极大值为极小值为例3 求函数 的单调增减区间和极值.解 求导数当时而 时不存在 ,因此，函数只可能在这两点取得极值. 列表如下:＋不存在－0＋↗极大值0↘极小值↗由上表可见：函数在区间单调增加, 在区间单调减少. 在点处有极大值, 在点处有极小值如图.例4 (E03) 求出函数的极值.解 令得驻点又故极大值故极小值注意：时, 在点 处不一定取极值, 仍用第一充分条件进行判断.函数的不可导点,也可能是函数的极值点.例5 (E04) 求函数的极值.解 由得驻点因故在处取得极小值，极小值为因故用定理3无法判别.考察一阶导数在驻点及左右邻近的符号:当取 左侧邻近的值时, 当取右侧邻近的值时, 因的符号没有改变，故在处没有极值. 同理，在处也没有极值. 如图所示.例6 求出函数 的极值.解 是函数的不可导点.当时, 当时, 为的极大值.例7 (E05) 求的在上的最大值与最小值.解 解方程得计算 比较得最大值最小值例8 求函数在上的最大值及最小值.解 函数在上连续,令得 故在 上最大值为最小值为例9 (E06) 设工厂A到铁路线的垂直距离为20km, 垂足为B. 铁路线上距离B为100km处有一原料供应站C, 如图3-5-4. 现在要在铁路BC中间某处D修建一个原料中转车站, 再由车站D向工厂修一条公路. 如果已知每km的铁路运费与公路运费之比为3:5, 那么, D应选在何处, 才能使原料供应站C运货到工厂A所需运费最省?解 (km), (km), 铁路每公里运费公路每公里记那里目标函数(总运费)的函数关系式:即 问题归结为：取何值时目标函数最小. 求导得令得(km).由于从而当(km)时，总运费最省.例10 某房地产公司有50套公寓要出租, 当租金定为每月180元时, 公寓会全部租出去. 当租金每月增加10元时, 就有一套公寓租不出去, 而租出去的房子每月需花费20元的整修维护费. 试问房租定为多少可获得最大收入?解 设房租为每月元，租出去的房子有套，每月总收入为解得(唯一驻点).故每月每套租金为350元时收入最高.最大收入为 (元).求函数的最大值最小值例11 求内接于椭圆而面积最大的矩形的各边之长.解 设为椭圆上第一象限内任意一点，则以点为一顶点的内接矩形的面积为且由 求得驻点为唯一的极值可疑点. 依题意, 存在最大值,故是的最大值,最大值对应的值为 即当矩形的边长分别为时面积最大.例12 由直线及抛物线围成一个曲边三角形, 在曲边上求一点, 使曲线在该点处的切线与直线及所围成三角形面积最大.解 根据几何分析, 所求三角形面积为由解得(舍去).为极大值.故三角形为所有中面积的最大者.例13 求数列的最大项(已知).解 令则由得唯一驻点当时, 当时, 所以当时, 时, 函数取得极大值 ,由于又因此当时, 得数列的最大项课堂练习 1. 下列命题正确吗? 若为的极小值点, 则必存在的某领域, 在此领域内, 在的左侧下降, 而在的右侧上升.2 .若是在[a, b]上的最大值或最小值, 且存在, 是否一定有?。