线性方程组解的结构.ppt

第四章,线性方程组解的结构,§4.4,线性方程组在几何中的应用,§4.2,齐次线性方程组解的结构,§4.1,线性方程组解的存在性定理,§4.3,非齐次线性方程组解的结构,1,,,,其通解的结构如何,?,如何写出其向量形式的通解,?,齐次线性方程组,解的结构,,本章以向量为工具讨论线性方程组解的结构,主要内容,:,非齐次线性方程组,解的结构,如果当齐次线性方程组,有无穷多解时,,,问题,:,1.,2.,如果当非齐次线性方程组,有无穷多解时,,,其通解的结构如何,?,如何写出其向量形式的通解,?,2,,§4.1,线性方程组解的存在性定理,对于,非齐次,方程组,非齐次方程组解的判别定理,,齐次方程组解的判别定理,对于,齐次,方程组,3,,,第四章,线性方程组解的结构,§4.4,线性方程组在几何中的应用,§4.2,齐次线性方程组解的结构,§4.1,线性方程组解的存在性定理,§4.3,非齐次线性方程组解的结构,4,,记,Ax,= 0,的解集为,:,(1),1.,解向量,:,,,的一个解向量,.,2.,解向量的性质,:,(2),不妨设,是,N,(,A,),的最大无关组,(,称为基础解系,),则,:,由,(1),(2),可知,(,取任意实数,),§4.2,齐次线性方程组解的结构,5,,通过下面的例子,,,来解决以上问题,例,1,问题,:,对于给定的方程组如何求其基础解系,?,解,:,6,,是解吗,?,线性无关吗,?,任一解都 可由,,表示吗,?,基础解系所含向量的个数,= ?,是基础解系吗,?,令自由变量为任意实数,,说明,:,1.,基础解系不惟一,2.,但所含向量的,个数唯一且等于,n-R(A),7,,齐次方程组解的结构定理,齐次方程组 的基础解系所含向量个数为,设一个基础解系为,:,则通解为,:,例２．,设ｎ阶矩阵Ａ的秩为ｎ－１，,Ａ的每行元素之和,为零，写出ＡＸ＝０的通解．,解：,的基础解系所含向量个数为,,则通解为：,8,,例,2,设,,,是 的,两个不同的解向量,,,k,,取任意实数,,,则,Ax,= 0,的通解是,例,3,设,,,证明,重要结论,证,记,则由,说明,都是,的解,因此,移项,9,,例,4.,已知,,,的列向量组是齐次线性,方程组,,的基础解系,,,B,是,m,阶可逆矩阵,,,试,证,:AB,的列向量组也是齐次线性方程组,的基础解系,.,证明,:,,则,AB,的列向量组是齐次线性方程组,的解向量,,,,由条件可知,A,的列向量组线性无关且含,m,个向量,所以,AB,的列向量组线性无关,,,即是方程组,的基础解系,.,10,,,第四章,线性方程组解的结构,§4.4,线性方程组在几何中的应用,§4.2,齐次线性方程组解的结构,§4.1,线性方程组解的存在性定理,§4.3,非齐次线性方程组解的结构,,11,,(,1,),设 都是,(1),的解,,,则,是,(2),的解,.,(,2,),设 是,(1),的解,,,是,(2),的解,,,则 仍是,(1),的解,.,设 是,(1),的一个解,(,固定,),,则对,(1),的任一解,x,是,(2),的解,,,从而存在 使得,由此得,:,1.,解向量,:,,2.,性质,:,§4.3,非齐次线性方程组解的结构,12,,非齐次方程组解的结构定理,的一特解解,,,则当非齐次线性方程组有无穷多解时其通解为,:,例,5.,,,的三个解向量,,,解,:,,的基础解系 含一个向量,,,13,,例,6,解,14,,例,7,设 是非齐次,Ax,=,b,,的两个不同的解,其对应的齐次方程组的基础解系,,,则,Ax,=,b,,的通解是,(,多选,),15,,例,8.,已知方程组,,问,:a,为何值时,,,方程组有唯一解,?,无解,?,无穷多解,?,有无穷多解时求出通解,.,解,:,,,,,所以有无穷多解,,,,16,,,,因为系数矩阵的秩不等于增广矩阵的秩,,,所以方程组无解,.,,,例,9.,,的三个,解向量,,,,,,,17,,例,10,设线性方程组,,的系数矩阵为,A,,存在,,,解,:,,则,B,的列向量组为,AX=0,的解向量,,例,11,,齐次线性方程组,,,则下列结论正确的是,,,18,,例１,2,已知方程组,,问ａ为何值时，方程组有唯一解，无解，无穷多个解？,在方程组有无穷多个解时求出通解．,（考试题）,解：,,方程组有唯一解,即,,当ａ＝０时．．．．．．．,当ａ＝３时．．．．．．．,19,,思考题,:,1.,求,:,2.,设,A,为,3,阶方阵,,,且,,,,,3.,如果非齐次方程组的增广矩阵经过初等行变换化为,,求该方程组的通解,?,20,,方程组,21,,作业,,,22,,。