2022年行列式的计算方法.docx

运算 n 阶行列式的如干方法举例n 阶行列式的运算方法许多, 除非零元素较少时可利用定义运算 （①依据某一列或某一行开放②完全开放式）外,更多的是利用行列式的性质运算,特别要留意观看所求题目的特点,灵敏选用方法,值得留意的是,同一个行列式,有时会有不同的求解方法.下面介绍几种常用的方法,并举例说明.1．利用行列式定义直接运算0L010例运算行列式Dn0ML2M0M0Mn1L0000 L 0 0 n可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载解 Dn 中不为零的项用一般形式表示为a1n1a2n 2 Lan 11annn. .可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载〔n该项列标排列的逆序数 t（ n－1 n－ 2 1n）等于1〕〔n 2〕,2可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载故 Dn〔n〔 1〕1〕〔 n22〕n..可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载2 ．利用行列式的性质运算可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载例： 一个 n 阶行列式 Dnaij的元素中意aija ji ,i , j1,2,L, n,就称 Dn 为反对称可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载行列式, 证明：奇数阶反对称行列式为零 .可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载证明：由aija ji知 aiiaii,即 aii0, i1,2,L ,n可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载故 行 列 式 Dn 可 表 示 为 Dn0a12 a13a12 0a23a13 La23 L0 La1n a2n a3n, 由 行 列 式 的 性 质 A A ,可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载L L L L L可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载0a12a12 0a13 La23 La1n a2 na1 n0a12a2na12 0a3nLa13 a230L a1nL a2n可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载D a a0 L a n〔 1〕n D可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载n 13 23 3 n〔 1〕a13a230 L a3n n可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载L L L L LL L L L L可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载a1na2 na3 n L 0a1 na2na3 n L 0可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载当 n 为奇数时,得 Dn =－Dn,因而得 Dn = 0.1可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载3．化为三角形行列式如能把一个行列式经过适当变换化为三角形, 其结果为行列式主对角线上元素的乘积. 因此化三角形是行列式运算中的一个重要方法.化三角形法是将原行列式化为上（下）三角形行列式或对角形行列式运算的一种方法.这是计算行列式的基本方法重要方法之一. 由于利用行列式的定义简洁求得上 （下）三角形行列式或对角形行列式的性质将行列式化为三角形行列式运算.原就上,每个行列式都可利用行列式的性质化为三角形行列式.但对于阶数高的行列式,在一 般情形下, 运算往往较繁. 因此,在许多情形下, 总是先利用行列式的性质将其作为某种保值变形,再将其化为三角形行列式.1123133795例 1 运算行列式 D20421．3571464 4解 这是一个阶数不高的数值行列10 10 2式,通常将它化为上（下）三角行列式来运算．23132111231112311-12-3145341100102203204140204-1200-10-2001-120022-2D 0 2 0 4 1 0 0 1 0 20 2 1 5 3 0 2 1 5 3可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载0 0 21 141021211612 .4 32 222002231112 3 1可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载0 3 0 4 1 0 2 05 2 3 5 2 40 0 1 0 2 0 0 10000000000001 0 1 02 6 0 6可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载1 a1 a1a21 a2a3 L ana3 L an可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载例2 运算 n 阶行列式D a1a2 1 a3 Lan ．可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载L L L L L可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载a1 a2a3 L1 an可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载解 这个行列式每一列的元素,除了主对角线上的外,都是相同的,且各列的结构相像,因 此 n 列之和全同．将第 2,3, ,n 列都加到第一列上,就可以提出公因子且使第一列的元素全是 1．2可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载111 iD 1LLLL1a1a2Lana2a3L1i 2, L , na1 a2 La1 a2 La1 a2 Lan a2an 1 a2 an a2a3 L ana3 L an1 a3 L ann1 aii 11 a21 1 a21 a2a3 L ana3 L an1 a3 L an可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载L L L L L L可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载i 1 nan 1 a21a2a3Lan010L0ai001L01LLLLL000L1n na3 L1 an可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载1i 2, L , n i 1ai g1 1 ai .i 1 i 1可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载例 3 运算 n 阶行列式a b b L b b a b L bD b b a L b可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载L L L L Lb b b L a解：这个行列式的特点是每行（列）元素的和均相等,依据行列式的性质,把第 2,3, , n列都加到第 1 列上,行列式不变,得可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载a 〔 na 〔 nD a 〔 n1〕b b b L1〕b a b L1〕b b a Lb bb [ a11〔n 1〕b] 1b b L ba b L bb a L b可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载L L L L L L L L L L可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载a 〔 n1〕b b b L a1 b b L a可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载1 b b L b0 a b 0 L 0可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载[ a 〔 n1〕b] 0 0 a b L 0[ a 〔n1〕b]〔 a b〕 n 1可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载L L L L L0 0 0 L a b例 4： 浙江高校 2004 年攻读硕士争论生入学考试试题第一大题第 2 小题（重庆高校 2004 年攻读硕士争论生入学考试试题第三大题第 1 小题）的解答中需要运算如下行列式的值：1 2 3 L n 1 n234Ln1Dn345L12MMMMMn 1 2 L n 2 n 1[ 分析] 明显如直接化为三角形行列式,运算很繁,所以我们要充分利用行列式的性质.留意到3可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载从第 1 列开头. 每一列与它一列中有 n-1 个数是差 1 的,依据行列式的性质, 先从第 n-1 列开头乘以－ 1 加到第 n 列,第 n-2 列乘以－ 1 加到第 n-1 列,始终到第一列乘以－ 1 加到第 2 列.然后把第 1 行乘以－ 1 加到各行去,再将其化为三角形行列式,运算就简洁多了.解：111L11 1211L11 n 1Dn311L1 n1 2MM MMri r1M Mn1n1L11n11Ln0L00〔 i 2,L ,n〕10L0n1 1 L 1 1可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载〔 i 2,L, n〕0 0 L 0 n0 0 L n 0可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载M M M Mn 0 L 0 00 0 L 0 n120 L。